Sprawdź się

Pokaż ćwiczenia:

RNttFtklkjaIB1

Ćwiczenie 1

Zaznacz poprawną odpowiedź. Przez wieś prowadzą dwie równoległe drogi. Przy pierwszej drodze stoją cztery domy, a przy drugiej trzy. Prawdopodobieństwo tego, że trzy losowo wybrane domy, zaznaczone na planie, mogą być wierzchołkami trójkąta jest równe:

$\frac{3}{14}$
$\frac{1}{7}$
$\frac{6}{7}$
$\frac{12}{35}$

R1XMATjyhbWj81

Ćwiczenie 2

W dwóch skrzyniach znajdują się monety zrabowane przez piratów. W pierwszej skrzyni są $4$ sakiewki z monetami srebrnymi i $6$ sakiewek z monetami złotymi. W drugiej skrzyni są $2$ sakiewki z monetami srebrnymi i $5$ sakiewek z monetami złotymi. Kukułka w zepsutym zegarze kuka w sposób losowy. Może zakukać raz, dwa razy, trzy razy, cztery razy, pięć razy lub sześć razy. Jeśli zakuka co najmniej trzy razy – możesz wyciągnąć dwie sakiewki z pierwszej skrzyni. W przeciwnym razie – wyciągasz dwie sakiewki z drugiej skrzyni. Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że wyciągniesz dwie sakiewki ze złotymi monetami? Zaznacz poprawną odpowiedź.

$\frac{17}{42}$
$\frac{8}{21}$
$\frac{247}{735}$
$\frac{347}{980}$

Ćwiczenie 3

Uczniów Szkoły dla Czarodziejów zapytano o liczbę posiadanych smoków. Otrzymane wyniki zapisano w tabeli.

Liczba smoków	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$
Liczba uczniów	$6$	$11$	$7$	$3$	$2$	$1$

R1bqcQ8FCOaI9

Dostępne opcje do wyboru:

\frac{180}{203}

\frac{184}{203}

\frac{174}{203}

\frac{3}{5}

\frac{48}{145}

\frac{2}{5}

\frac{40}{145}

\frac{52}{145}

\frac{1}{5}

. Polecenie: Uzupełnij zdania, przeciągając odpowiednie ułamki zwykłe nieskracalne. Prawdopodobieństwo tego, że losowo wybrany uczeń z tej szkoły ma więcej niż dwa smoki jest równe luka do uzupełnienia .
Wylosowano trzech uczniów z tej szkoły. Prawdopodobieństwo, że co najmniej dwie osoby mają smoki jest równe luka do uzupełnienia .
Losowo wybrano dwóch uczniów z tej szkoły. Prawdopodobieństwo, że jeden ma smoka, a drugi nie jest równe luka do uzupełnienia .

Uzupełnij zdania, przeciągając odpowiednie ułamki zwykłe nieskracalne.

$\frac{48}{145}$ , $\frac{52}{145}$ , $\frac{1}{5}$ , $\frac{180}{203}$ , $\frac{3}{5}$ , $\frac{184}{203}$ , $\frac{174}{203}$ , $\frac{40}{145}$ , $\frac{2}{5}$

Prawdopodobieństwo tego, że losowo wybrany uczeń z tej szkoły ma więcej niż dwa smoki jest równe .
Wylosowano trzech uczniów z tej szkoły. Prawdopodobieństwo, że co najmniej dwie osoby mają smoki jest równe .
Losowo wybrano dwóch uczniów z tej szkoły. Prawdopodobieństwo, że jeden ma smoka, a drugi nie jest równe .

RPIqHo5RloZxl21

Ćwiczenie 4

Dostępne opcje do wyboru:

(x + 6) (x + 5) + 90 = 20 x + 120

\frac{1}{2}

\frac{23}{66}

\frac{2}{15}

\frac{17}{32}

(x + 6) (x + 5) = 10 x + 15

. Polecenie: W akwarium pana Lucyferskiego pływa

6

piranii i

10

skrzydlic.
Uzupełnij zdania, przeciągając odpowiednie liczby, bądź wyrażenia. Lucyferski wyławia dwie ryby. Prawdopodobieństwo wyłowienia piranii i skrzydlicy jest równe luka do uzupełnienia .
Lucyferski wyławia jedną rybę, wrzuca ją z powrotem i wyławia drugą rybę. Prawdopodobieństwo, że wyłowił dwie ryby tego samego gatunku jest równe luka do uzupełnienia .
Do akwarium Lucyferskiego wpuszczono jeszcze

x

piranii. Okazało się wtedy, że prawdopodobieństwo wyłowienia dwóch ryb tego samego gatunku (losowanie bez zwrotu) jest równe prawdopodobieństwu wyłowienia dwóch ryb w różnych gatunkach. Równanie na wyznaczenie liczby wpuszczonych ryb można zapisać w postaci luka do uzupełnienia .

W akwarium pana Lucyferskiego pływa $6$ piranii i $10$ skrzydlic.
Uzupełnij zdania, przeciągając odpowiednie liczby, bądź wyrażenia.

$\frac{23}{66}$ , $(x + 6) (x + 5) + 90 = 20 x + 120$ , $(x + 6) (x + 5) = 10 x + 15$ , $\frac{17}{32}$ , $\frac{2}{15}$ , $\frac{1}{2}$

Lucyferski wyławia dwie ryby. Prawdopodobieństwo wyłowienia piranii i skrzydlicy jest równe .
Lucyferski wyławia jedną rybę, wrzuca ją z powrotem i wyławia drugą rybę. Prawdopodobieństwo, że wyłowił dwie ryby tego samego gatunku jest równe .
Do akwarium Lucyferskiego wpuszczono jeszcze $x$ piranii. Okazało się wtedy, że prawdopodobieństwo wyłowienia dwóch ryb tego samego gatunku (losowanie bez zwrotu) jest równe prawdopodobieństwu wyłowienia dwóch ryb w różnych gatunkach. Równanie na wyznaczenie liczby wpuszczonych ryb można zapisać w postaci .

R3lEivrH2O65T2

Ćwiczenie 5

Każdy z członków Rady Imperium Galaktycznego oznaczony jest trzycyfrowym numerem zbudowanym z cyfr $1$ , $2$ , $3$ , $4$ , $5$ , $6$ , $7$ , $8$ , $9$ . Żeby wybrać prezesa Rady najmłodszy sekretarz spośród cyfr $1$ , $2$ , $3$ , $4$ , $5$ , $6$ , $7$ , $8$ , $9$ losuje kolejno trzy cyfry (bez zwracania).
Zaznacz wszystkie zdania prawdziwe.

Wszystkich możliwych zdarzeń elementarnych w takim doświadczeniu losowym jest mniej niż $500$ .
Sekretarz zapisuje cyfry w kolejności losowania (od strony lewej do prawej). Prawdopodobieństwo, że otrzyma liczbę $359$ (i tym samym oznaczona tym numerem osoba zostanie prezesem Rady) jest równe $\frac{3!}{504}$ .
Prawdopodobieństwo, że sekretarz wylosuje trzy cyfry, za pomocą których będzie można utworzyć numer $279$ jest równe $\frac{1}{84}$ .
Prawdopodobieństwo, że sekretarz, zapisując cyfry w kolejności losowania (od lewej strony do prawej) otrzyma liczbę mniejszą od $451$ jest równe $\frac{3}{8}$ .

RSWxTVX5iPnXV2

Ćwiczenie 6

Na parterze dziesięciopiętrowego wieżowca wsiedli do windy trzej kominiarze, którzy wysiadali na losowo wybranych piętrach.
Połącz w pary stwierdzenie z odpowiednią liczbą. Prawdopodobieństwo zdarzenia: wszyscy kominiarze wysiądą na tym samym piętrze: trzecim czwartym lub piątym. Możliwe odpowiedzi: 1.

210

, 2.

3

, 3.

0, 21

, 4.

0, 003

Liczba zdarzeń sprzyjających zdarzeniu: każdy z kominiarzy wysiadł na innym piętrze, ale powyżej trzeciego piętra. Możliwe odpowiedzi: 1.

210

, 2.

3

, 3.

0, 21

, 4.

0, 003

Liczba zdarzeń sprzyjających zdarzeniu: wszyscy kominiarze wysiedli na tym samym piętrze, ale powyżej drugiego i poniżej szóstego piętra. Możliwe odpowiedzi: 1.

210

, 2.

3

, 3.

0, 21

, 4.

0, 003

Prawdopodobieństwo zdarzenia: każdy z kominiarzy wysiadł na innym piętrze, ale powyżej trzeciego piętra. Możliwe odpowiedzi: 1.

210

, 2.

3

, 3.

0, 21

, 4.

0, 003

Na parterze dziesięciopiętrowego wieżowca wsiedli do windy trzej kominiarze, którzy wysiadali na losowo wybranych piętrach.
Połącz w pary stwierdzenie z odpowiednią liczbą.

Prawdopodobieństwo zdarzenia: wszyscy kominiarze wysiądą na tym samym piętrze: trzecim czwartym lub piątym.
Liczba zdarzeń sprzyjających zdarzeniu: każdy z kominiarzy wysiadł na innym piętrze, ale powyżej trzeciego piętra.
Liczba zdarzeń sprzyjających zdarzeniu: wszyscy kominiarze wysiedli na tym samym piętrze, ale powyżej drugiego i poniżej szóstego piętra.
Prawdopodobieństwo zdarzenia: każdy z kominiarzy wysiadł na innym piętrze, ale powyżej trzeciego piętra.

Ćwiczenie 7

Chcesz wejść do piramidy, którą strzeże Sfinks. Rzucasz pięć razy kostką do gry. Jeśli co najmniej pięć oczek wypadnie co najwyżej trzy razy, Sfinks otworzy wejście. Jeśli nie – zamieni cię w kamień. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że wejdziesz do piramidy.

Skorzystamy ze schematu Bernoulliego.

$n = 5$

Sukces – w pojedynczym rzucie wypadło co najmniej pięć oczek (czyli pięć lub sześć oczek)
$p$ – prawdopodobieństwo sukcesu w pojedynczej próbie

$p = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$

$q = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$

Oznaczmy:
$A$ – zdarzenie polegające na tym, że wejdziesz do piramidy (czyli co najmniej pięć oczek wyrzucisz co najwyżej trzy razy).

Wtedy

$A^{'}$ – zdarzenie polegające na tym, że co najmniej pięć oczek wyrzucisz cztery lub pięć razy.

Obliczymy najpierw prawdopodobieństwo zdarzenia $A^{'}$ .

$P (A^{'}) = P (S_{5}^{4} \cup S_{5}^{5}) = (\begin{matrix} 5 \\ 4 \end{matrix}) \cdot {(\frac{1}{3})}^{4} \cdot \frac{2}{3} + (\begin{matrix} 5 \\ 5 \end{matrix}) \cdot {(\frac{1}{3})}^{5} \cdot {(\frac{2}{3})}^{0}$

$P (A^{'}) = \frac{5 \cdot 2}{243} + \frac{1}{243} = \frac{11}{243}$

Obliczamy prawdopodobieństwo zdarzenia przeciwnego.

$P (A) = 1 - \frac{11}{243} = \frac{232}{243}$

Prawdopodobieństwo tego, że wejdziesz do piramidy jest równe $\frac{232}{243} .$ .

Ćwiczenie 8

Stwierdzono, że na dwudziestu mężczyzn przekraczających pewne przejście graniczne, jeden to przemytnik. Natomiast na pięćset kobiet przekraczających to przejście graniczne, jedna to przemytniczka. Zatrzymano grupę osób, w której jest tyle samo kobiet co mężczyzn i wybrano w sposób losowy jedną osobę z tej grupy. Oblicz prawdopodobieństwo, że wybrana osoba jest kobietą, jeśli okazało się, że jest przemytniczką.

Oznaczmy:
$K$ – zdarzenie polegające na tym, że wybrana osoba to kobieta,
$A$ – zdarzenie polegające na tym, że z grupy zatrzymanych osób wybrano osobę zajmującą się przemytem.

$P (A) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{20} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{500} = \frac{13}{500}$

$P (K \cap A) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{500} = \frac{1}{1000}$

Korzystamy ze wzoru na prawdopodobieństwo warunkowe.

$P (K | A) = \frac{P (K \cap A)}{P (A)}$

$P (K | A) = \frac{\frac{1}{1000}}{\frac{13}{500}} = \frac{1}{26}$

Prawdopodobieństwo tego, że wybrana osoba jest kobietą, jeśli okazało się, że jest przemytniczką jest równe $\frac{1}{26}$ .

Galeria zdjęć interaktywnych

Dla nauczyciela