Sprawdź się

Pokaż ćwiczenia:

RU0gplJpZ8jIt1

Ćwiczenie 1

Co opisuje III prawo Keplera?

prędkość danej planety w różnych punktach orbity wokół Słońca
kształt orbit planet
ruch satelitów wokół Ziemi
zależność pomiędzy okresem obiegu a wielkością orbity

Ćwiczenie 2

R18V3mPFv9vlc

Jaką postać przyjmuje III prawo Keplera, jeżeli chcemy wyznaczyć dowolną:
a) wielką półoś orbity,
b) okres obiegu planety.
Dla uproszczenia przyjmijmy oznaczenie, że stała w III prawie Keplera równa jest $K = \frac{4 π^{2}}{G M_{⊙}}$ .

$K \cdot T^{2}$ , $\frac{\sqrt[3]{a^{3}}}{K}$ , $\frac{\sqrt[3]{T^{2}}}{K}$ , $\sqrt[3]{T^{2}}$ , $\sqrt{K \cdot a^{3}}$ , $K \cdot a^{3}$

a) wielka półoś orbity =

R1RlQ9WKjWvLi1

$K \cdot a^{3}$ , $\frac{\sqrt[3]{T^{2}}}{K}$ , $\sqrt{K \cdot a^{3}}$ , $K \cdot T^{2}$ , $\frac{\sqrt[3]{a^{3}}}{K}$ , $\sqrt[3]{T^{2}}$

b) okres obiegu planety =

Ćwiczenie 3

RUjCPvBrXMapI

Uzupełnij tabelę wykorzystując III prawo Keplera. Wyniki podaj z dokładnością do trzech cyfr znaczących.

planeta	Wielka półoś [AU]	Okres obiegu [lata ziemskie]
Merkury		0,241
Wenus		0,616
Ziemia	1,000	1,000
Mars	1,524

Skorzystaj z faktu, że

$K=\frac{T^2}{a^3}=\frac{T_Z^2}{a_Z^3}$ .

$a=a_Z\left(\frac{T}{T_Z}\right)^{2/3}$

$T=T_Z\left(\frac{a}{a_Z}\right)^{3/2}$

gdzie $T_Z$ to okres obiegu Ziemi, a $a_Z$ to wielka półoś Ziemi.

Stosując zadane w tabeli jednostki $T_Z=1\text{ rok}$ oraz $a_Z=1\ \text{AU}$ , dostajemy zależność:

$a = \sqrt[3]{T^{2}}$ wyrażoną w jednostkach astronomicznych oraz $T = \sqrt{a^{3}}$ wyrażony w ziemskich latach.

Ćwiczenie 4

RaC6y6W7fNPMm

Uzupełnij tabelę. Za jednostki przyjmij AU dla wielkiej półosi oraz rok ziemski dla okresów. Wyniki podaj z dokładnością do trzech cyfr znaczących.

planeta	Wielka półoś [AU]	Okres obiegu [lata ziemskie]
Jowisz		11,86
Saturn		29,45
Uran	19,19
Neptun	30,07

Stosując takie jednostki jak narzucone w zadaniu - dla Ziemi $T_Z=1\text{ rok}$ oraz $a_Z=1\ \text{AU}$ - zacznij od wyznaczenia stałej $K$ .

Ćwiczenie 5

RCvxIvSCkcHOR

Wyznacz wielką półoś orbity komety Hale'a-Boppa wiedząc, że okres jej obiegu wokół Słońca to 2456 lat. Wynik podaj w zaokrągleniu do pełnych AU.

Wielką półoś orbity wynosi: ............ AU.

Skorzystaj z relacji

\frac{T_{Z}^{2}}{a_{Z}^{3}} = \frac{T_{(H - B)}^{2}}{a_{(H - B)}^{3}}

Ponieważ we wzorze

\frac{T_{Z}^{2}}{a_{Z}^{3}} = \frac{T_{(H - B)}^{2}}{a_{(H - B)}^{3}}

$T_Z=1\text{ rok}$ oraz $a_Z=1\ \text{AU}$ , zatem $a_{(H - B)} = \sqrt[3]{T_{(H - B)}^{2}}$ .

Ćwiczenie 6

R1cGrkM8OB725

Planeta skalista Mars ma dwa niewielkie księżyce : Fobos i Deimos. Fobos okrąża Marsa po orbicie o wielkiej półosi równej 9375 km, z okresem 0,319 dnia (nieco ponad pół godziny). Wiedząc, ze Deimos znajduje się w średniej odległości 23458 km od Marsa, oblicz jego okres obiegu. Wynik podaj w godzinach, minutach.

Okres obiegu wynosi ............ godzin ............ minut.

Wyznacz stałą $K$ dla układu Marsa i Fobosa, a następnie wykorzystaj ją do relacji wiążącej Marsa i Deimosa.

Stosując III prawo Keplera dostajemy zależność na okres wyrażony w dniach:

$T_D=\left(\frac{a_D}{a_F}\right)^{3/2}\cdot T_F$

$T_D=0{,}319\text{ dnia}\cdot \left(\frac{23458\text{ km}}{9375\text{ km}}\right)^{3/2}=1{,2}62613\text { dnia}$ ,

czyli $30{,}3027$ godzin, czyli 30 godzin i 18 minut.

Ćwiczenie 7

RvRsTYSH5JdjG

Tak samo jak Ziemia okrąża Słońce, tak też Księżyc okrąża Ziemię. Wyznacz wielką półoś orbity Księżyca w jednostkach astronomicznych z zaokrągleniem do dwóch cyfr znaczących. Przyjmij, że masa Ziemi wynosi 5,972 ∙10²⁴kg, okres obiegu Księżyca wokół niej to 27,3 dnia, a $G = 6, 6743 \cdot 10^{- 11} \frac{m^{3}}{k g s^{2}}$ .

Wielką półoś orbity wynosi ............ AU.

$a^{3} = G \frac{M_{Z}}{4 π^{2}} T^{2}$ , w którym $M_Z$ to masa Ziemi.

T= 27,3 dni = 27,3∙24∙60∙60 s = 2358720 s

$a = \sqrt[3]{6, 6743 \cdot 10^{- 11} \frac{m^{3}}{k g s^{2}} \frac{5, 972 \cdot 10^{24} k g}{4 π^{2}} (2358720 s)^{2}}$

$a\approx 382982316\text{ m}\approx0{,}0026\text{ AU}$

Ćwiczenie 8

Rlt6VoeIKQmLw

Pewnego satelitę wojskowego wystrzelono na orbitę okołoziemską. Znajduje się on na orbicie o wielkiej półosi równej 23 222 km. Oblicz okres jego obiegu wokół Ziemi w godzinach. Masa Ziemi : $5, 972 \cdot 10^{24} k g$ , $G = 6, 6743 \cdot 10^{- 11} \frac{m^{3}}{k g s^{2}}$ . Wynik zaokrąglij do całości.

Okres obiegu wynosi ............ h

Korzystając z III prawa Keplera, obierając za masę centralną masę Ziemi dostajemy zależność na okres: $T^{2} = \frac{4 π^{2}}{M_{Z} G} a^{3}$ .

$T = \sqrt{23222000^{3} \frac{4 π^{2}}{6, 6743 \cdot 10^{- 11} \cdot 5, 972 \cdot 10^{24}}} = 35218, 15 s = 9, 7828 h$

2ciekawostka

Ćwiczenie 9

W centrum naszej galaktyki znajduje się supermasywna czarna dziura Sagittarius A*. Od 1992 roku międzynarodowy zespół naukowy w obserwatorium ESO Very Large Telescope (VLT) w Chile obserwuje gwiazdę S2 krążącą wokół tej czarnej dziury. Spróbuj wypatrzeć na poniższym filmie poklatkowym (łączącym zdjęcia zrobione na przestrzeni kilkunastu lat) tę gwiazdę.

RGv2JvozM7KnX

ESO/ R.Genzel and S. Gillessen
Źródło: *https://www.eso.org/public/usa/videos/eso0846j/?lang*, domena publiczna.

Na pewno udało Ci się zauważyć eliptyczną orbitę tej gwiazdy w centralnej części filmu. Na poniższym rysunku przedstawiono szcegółowe wyniki pomiaru trajektorii gwiazdy S2.

RPOX0RG00Cjmc

Wykres przedstawia położenie pewnej galaktyki na obwodzie eliptycznej orbity wokół czarnej dziury. Orbitę narysowano w postaci pionowej elipsy, niebieską linią. Czarną dziurę pokazano w postaci czarnego kółka opisanego w języku angielskim Black Whole, w dolnej części wewnątrz elipsy. Zdjęcia, na podstawie których zaznaczono położenia galaktyki wykonywano w jednakowych odstępach czasowych, co oznaczono w legendzie różnymi kolorami. Im bardziej jest odległa część odbity od czarnej dziury, tym większe jest zagęszczeniu punktów, co sugeruje, że galaktyka porusza się wolniej. Odległości pomiędzy punktami w dolnej części elipsy są większe, ponieważ galaktyka ma w tej części ruchu większą prędkość. Lata, w których wykonywano zdjęcia zaznaczono odrębnymi kolorami, co pokazano również na wykresie w zaznaczeniu punktów. — ESO/MPE/GRAVITY Collaboration
Źródło: dostępny w internecie: https://www.eso.org/public/usa/images/eso1825c/ [dostęp 4.05.2022], domena publiczna.

Na podstawie tych pomiarów oszacowano czas obiegu gwiazdy S2 wokół czarnej dziury na $T=16$ lat. Korzystając z danych pokazanych na tym rysunku (dopasowanej do punktów pomiarowych elipsy i skali w niej umieszczonej) oszacuj, ile razy cięższa od Słońca jest badana czarna dziura. Podczas obliczeń przyjmij, że masa S2 jest zaniedbywalnie mała w stosunku do masy Sagittariusa A*.

RGnhgacdL3DjQ

$\frac{M_{Sgr A*}}{M_{⊙}}$ = 10^{^............}.

Skorzystaj z podstawowego prawa Keplera:

\frac{T^{2}}{a^{3}} = \frac{4 π^{2}}{G M}

Użyj linijki i znajdź długość półosi wielkiej na podstawie rysunku i zaznaczonego tam odcinka o długości 400 jednostek astronomicznych.

Przykładając linijkę do ekranu można oszacować stosunek długości osi wielkiej do długości odcinka o długości 400 au na:

$\frac{2a}{400}=3{,}8$ .

Stąd

$a\approx 760\text{ au}$ .

Prawo Keplera dla układu Ziemia‑Słońce możemy zapisać w następujący sposób:

$\frac{4\pi^2}{GM_{\odot}}=\frac{(1\text{ rok})^2}{(1\text{ au})^3}$

i podobnie dla układu S2‑Sagittarius A* :

$\frac{4\pi^2}{GM_{SgrA*}}=\frac{(16\text{ lat})^2}{(760\text{ au})^3}$

Dzieląc oba równania stronami otrzymujemy:

$\frac{M_{SgrA*}}{M_{\odot}}=\frac{760^3}{16^2}\approx1,7\cdot10^6$ .

Grafika interaktywna

Dla nauczyciela