Sprawdź się

Pokaż ćwiczenia:

R1Z44L6DaLYve1

Ćwiczenie 1

RQCJnpCn2Ssxo1

Ćwiczenie 2

RLuzzxCXWJANl2

Ćwiczenie 3

RtEbMfam5fOuv2

Ćwiczenie 4

R1NkTS7ixM1gN2

Ćwiczenie 5

Dostępne opcje do wyboru:

\frac{3}{20}

\frac{1}{4}

\frac{2}{5}

\frac{4}{5}

\frac{2}{3}

\frac{3}{4}

. Polecenie: W sekretariacie stoją trzy telefony, które dzwonią niezależnie od siebie. Prawdopodobieństwo, że między godziną

8 : 00

9 : 00

zadzwoni pierwszy telefon jest równe

\frac{1}{3}

, że zadzwoni drugi telefon jest równe

\frac{1}{4}

, że zadzwoni trzeci jest równe

\frac{1}{5}

. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia

A

– między godziną

8 : 00

9 : 00

zadzwonią dokładnie dwa telefony i zdarzenia

B

– nie zadzwoni żaden telefon.
Uzupełnij rozwiązanie zadania, przeciągając odpowiednie liczby.

P (A) = \frac{1}{3} \cdot

luka do uzupełnienia

\cdot \frac{4}{5} + \frac{1}{3} \cdot

luka do uzupełnienia

\cdot \frac{1}{5} +

luka do uzupełnienia

\cdot \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{5} =

luka do uzupełnienia

P (B) = \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{4} \cdot

luka do uzupełnienia

=

luka do uzupełnienia

Ćwiczenie 6

Rzucamy jednocześnie trzema kostkami do gry. Oznaczmy przez $A$ zdarzenie polegające na tym, że na każdej kostce wypadła nieparzysta liczba oczek, przez $B$ zdarzenie polegające na tym, że suma liczb oczek, które wypadły na trzech kostkach jest równa $5$ . Wykaż, że zdarzenia $A$ i $B$ są zależne.

$|Ω| = 6^{3} = 216$

$|A| = 3 \cdot 3 \cdot 3 = 27$

$|B| = 6$

$|A \cap B| = 3$

$P (A) = \frac{27}{216} = \frac{1}{8}$

$P (B) = \frac{6}{216} = \frac{1}{36}$

$P (A) \cdot P (B) = \frac{1}{8} \cdot \frac{1}{36} = \frac{1}{288}$

$P (A \cap B) = \frac{3}{216} = \frac{1}{72}$

$P (A) \cdot P (B) \neq P (A \cap B)$ – zdarzenia są zależne.

RYwfwSD8v5F2t3

Ćwiczenie 7

Ze zbioru

\{- 4, - 3, - 2, - 1, 1, 2, 3, 4, 5, 6\}

losujemy dwie liczby ze zwracaniem. Niech

A

oznacza zdarzenie, że pierwsza wylosowana liczba jest ujemna,

B

– druga wylosowana liczba jest podzielna przez dwa. Sprawdź, czy zdarzenia

A

B

są niezależne.
Poukładaj w odpowiedniej kolejności rozwiązanie zadania.

Obliczamy moc zbioru zdarzeń elementarnych. Elementy do uszeregowania: 1.

P (A) \cdot P (B) = \frac{2}{5} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{5}

, 2. Wyznaczamy liczbę zdarzeń sprzyjających zajściu zdarzenia

A

., 3.

|A \cap B| = 4 \cdot 5 = 20

, 4.

|B| = 10 \cdot 5 = 50

, 5. Wyznaczamy liczbę zdarzeń sprzyjających zajściu zdarzenia

A \cap B

., 6. Wyznaczamy prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia

A \cap B

., 7.

P (A \cap B) = \frac{20}{100} = \frac{1}{5}

, 8. Formułujemy wniosek: zdarzenia

A

B

są niezależne., 9. Wyznaczamy prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia

A

., 10. Porównujemy wyznaczone prawdopodobieństwa., 11. Wyznaczamy iloczyn prawdopodobieństwa zajścia zdarzenia

A

przez prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia

B

., 12.

|A| = 4 \cdot 10 = 40

, 13. Wyznaczamy prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia

B

., 14.

P (A) \cdot P (B) = P (A \cap B)

, 15.

P (A) = \frac{40}{100} = \frac{2}{5}

, 16.

|Ω| = 10^{2} = 100

, 17.

P (B) = \frac{50}{100} = \frac{1}{2}

, 18. Wyznaczamy liczbę zdarzeń sprzyjających zajściu zdarzenia

B

Ćwiczenie 8

Wykaż, że jeżeli $A \subset Ω$ , $B \subset Ω$ , $P (B) > 0$ , $P (B') > 0$ i $P (A / B) = P (A / B')$ to zdarzenia $A$ i $B$ są niezależne.

$P (A / B) = \frac{P (A \cap B)}{P (B)}$

$P (A / B') = \frac{P (A \cap B')}{P (B')}$

Stąd:

$\frac{P (A \cap B)}{P (B)} = \frac{P (A \cap B')}{P (B')}$

Przekształcamy zapisaną równość:

$P (A \cap B) \cdot P (B') = P (A \cap B') \cdot P (B)$

$P (A \cap B) \cdot [1 - P (B)] = P (A \cap B') \cdot P (B)$

$P (A \cap B) = P (A \cap B') \cdot P (B) + P (A \cap B) \cdot P (B)$

$P (A \cap B) = [P (A \cap B') + P (A \cap B)] \cdot P (B)$

$P (A \cap B) = P (A) \cdot P (B)$

Ostatnia równość oznacza, że zdarzenia $A$ , $B$ są niezależne.

Film samouczek

Dla nauczyciela