Sprawdź się

Pokaż ćwiczenia:

RCA8JBuTLPZWr1

Ćwiczenie 1

Wanna ma pojemność

240

litrów. Napełniamy ją w ciągu

16

minut (odpływ z wanny jest zamknięty szczelnym korkiem). Wannę można napełnić także przy otwartym odpływie, ale trwa to

3

razy dłużej. Uzupełnij zdania odpowiednimi liczbami. Wydajność kranu wynosi: Tu uzupełnij litrów na minutę. Wydajność odpływu wynosi: Tu uzupełnij litrów na minutę. Przy otwartym odpływie wannę napełnimy w ciągu Tu uzupełnij minut.

Wanna ma pojemność $240$ litrów. Napełniamy ją w ciągu $16$ minut (odpływ z wanny jest zamknięty szczelnym korkiem). Wannę można napełnić także przy otwartym odpływie, ale trwa to $3$ razy dłużej. Uzupełnij zdania odpowiednimi liczbami.

Wydajność kranu wynosi: ............ litrów na minutę.
Wydajność odpływu wynosi: ............ litrów na minutę.
Przy otwartym odpływie wannę napełnimy w ciągu ............ minut.

Rhdaa2CxuTqbL1

Ćwiczenie 2

Pierwsza pompa opróżnia zbiornik w czasie $3$ godzin, a druga w czasie $6$ godzin. Czas opróżnienia tego zbiornika przy użyciu obu pomp wynosi:

$2$ godziny
$5$ godzin
$1, 5$ godziny

Ćwiczenie 3

Czas napełnienia basenu wodą tylko z pierwszej rury dopływowej trwa $8$ godzin $30$ minut, zaś z drugiej – $3, 5$ godziny. Ile trwa napełnianie basenu, jeśli otworzymy obie rury jednocześnie? Uporządkuj rozwiązanie zadania.

Wprowadźmy oznaczenia:

$V$ – objętość basenu; $V > 0$ ;
$t$ – czas napełniania basenu przy użyciu obydwu rur jednocześnie, $t > 0$ .

R1JdCiniXbWFp

$\frac{8, 5 + 3, 5}{29, 75} = \frac{1}{t}$
$\frac{V}{8, 5} + \frac{V}{3, 5} = \frac{V}{t}$
$t = 148, 75$ minut
Ułóżmy równanie:
$t = \frac{29, 75}{12} \cdot 60$
$t = \frac{29, 75}{12}$
$\frac{1}{8, 5} + \frac{1}{3, 5} = \frac{1}{t}$

Czas napełniania basenu przy użyciu obydwu rur wynosi $2$ godziny $28$ minut $45$ sekund.

R11kfif5PsHvX2

Ćwiczenie 4

Napełnienie wodą basenu pierwszą rurą dopływową trwa $8$ godzin. Czas napełnienia basenu dwiema rurami jednocześnie wynosi $6$ godzin. W jakim czasie druga rura napełni ten basen?

$14 h$
$24 h$
$48 h$

RotAwtU8VNquf2

Ćwiczenie 5

Napełnienie zbiornika wodą wypływającą z dwóch rur trwa

175

minut. Jeżeli napełnienie miałoby się odbyć za pomocą jednej rury, to użycie mniejszej oznaczałoby czas pracy o

2

godziny dłuższy niż przy użyciu większej rury. Wyznacz czas nalewania wody rurą o mniejszej wydajności. Przeciągnij w puste miejsca brakujące fragmenty rozwiązania. Wprowadźmy oznaczenia:

V

- objętość zbiornika;

V > 0

;

t

- czas napełniania zbiornika użyciu większej rury;

t + 2

- czas napełniania zbiornika użyciu mniejszej rury.

Ułóżmy równanie:

\frac{V}{t} +

\frac{V}{t + 2}

, 2.

(t + 2 + t)

, 3.

12

, 4.

\frac{1}{t}

, 5.

7

, 6.

35

, 7.

\frac{V}{2 \frac{11}{12}}

, 8.

5

=

\frac{V}{t + 2}

, 2.

(t + 2 + t)

, 3.

12

, 4.

\frac{1}{t}

, 5.

7

, 6.

35

, 7.

\frac{V}{2 \frac{11}{12}}

, 8.

5

\frac{V}{t + 2}

, 2.

(t + 2 + t)

, 3.

12

, 4.

\frac{1}{t}

, 5.

7

, 6.

35

, 7.

\frac{V}{2 \frac{11}{12}}

, 8.

5

+ \frac{1}{t + 2} = \frac{1}{\frac{35}{12}}

\frac{V}{t + 2}

, 2.

(t + 2 + t)

, 3.

12

, 4.

\frac{1}{t}

, 5.

7

, 6.

35

, 7.

\frac{V}{2 \frac{11}{12}}

, 8.

5

: (t (t + 2)) =

\frac{V}{t + 2}

, 2.

(t + 2 + t)

, 3.

12

, 4.

\frac{1}{t}

, 5.

7

, 6.

35

, 7.

\frac{V}{2 \frac{11}{12}}

, 8.

5

:

\frac{V}{t + 2}

, 2.

(t + 2 + t)

, 3.

12

, 4.

\frac{1}{t}

, 5.

7

, 6.

35

, 7.

\frac{V}{2 \frac{11}{12}}

, 8.

5

Przekształćmy równanie do równania kwadratowego:

t = \frac{23 - 37}{12}

- nie spełnia warunków zadania
lub

t = \frac{23 + 37}{12} =

\frac{V}{t + 2}

, 2.

(t + 2 + t)

, 3.

12

, 4.

\frac{1}{t}

, 5.

7

, 6.

35

, 7.

\frac{V}{2 \frac{11}{12}}

, 8.

5

Odp. Czas napełniania zbiornika przy użyciu mniejszej rury wynosi 1.

\frac{V}{t + 2}

, 2.

(t + 2 + t)

, 3.

12

, 4.

\frac{1}{t}

, 5.

7

, 6.

35

, 7.

\frac{V}{2 \frac{11}{12}}

, 8.

5

godzin.

Napełnienie zbiornika wodą wypływającą z dwóch rur jednocześnie trwa $175$ minut. Jeżeli napełnienie miałoby się odbyć za pomocą jednej rury, to użycie mniejszej oznaczałoby czas pracy o $2$ godziny dłuższy niż przy użyciu większej rury. Wyznacz czas wypełnienia wodą w całości zbiornika za pomocą rury o mniejszej wydajności. Przeciągnij w puste miejsca brakujące fragmenty rozwiązania.

$(t + 2 + t)$ , $35$ , $\frac{V}{2 \frac{11}{12}}$ , $\frac{V}{t + 2}$ , $5$ , $7$ , $\frac{1}{t}$ , $12$

Wprowadźmy oznaczenia:
$V$ - objętość zbiornika; $V > 0$ ;
$t$ - czas napełniania zbiornika użyciu większej rury;
$t + 2$ - czas napełniania zbiornika użyciu mniejszej rury.

Ułóżmy równanie:
$\frac{V}{t} +$ ............ $=$ ............
............ $+ \frac{1}{t + 2} = \frac{1}{\frac{35}{12}}$
............ $: (t (t + 2)) =$ ............ $:$ ............

Przekształćmy równanie do równania kwadratowego:
$t = \frac{23 - 37}{12}$ - nie spełnia warunków zadania
lub
$t = \frac{23 + 37}{12} =$ ............

Odp. Czas napełniania zbiornika przy użyciu mniejszej rury wynosi ............ godzin.

Ćwiczenie 6

Do zbiornika można doprowadzić wodę dwiema rurami. Czas napełniania zbiornika tylko pierwszą rurą jest o $4$ godziny krótszy od czasu napełniania tego zbiornika tylko drugą rurą. Napełnienie tego zbiornika wodą wypływającą z dwóch rur jednocześnie trwa $2$ godziny $40$ minut. Oblicz, w ciągu ilu godzin pusty zbiornik zostanie napełniony, jeśli woda będzie doprowadzana tylko pierwszą rurą.

Wprowadźmy oznaczenia:

$V$ - objętość zbiornika, $V > 0$

$t$ - czas napełniania zbiornika przez pierwszą rurę, $t > 0$

$t + 4$ - czas opróżniania zbiornika przez drugą rurę

Ułóżmy równanie:

$\frac{V}{t} + \frac{V}{t + 4} = \frac{V}{2 \frac{2}{3}}$

$\frac{1}{t} + \frac{1}{t + 4} = \frac{1}{\frac{8}{3}}$

Po przekształceniu otrzymujemy równanie kwadratowe:

$8 (t + 4 + t) = 3 t (t + 4)$

$16 t + 32 = 3 t^{2} + 12 t$

$3 t^{2} - 4 t - 32 = 0$

$Δ = 16 + 384 = 400$ , $\sqrt{Δ} = 20$

Rozwiązaniem równania są $2$ liczby:

$t = \frac{4 - 20}{6} < 0$ lub $t = \frac{4 + 20}{6} = 4$

Czas napełniania zbiornika przy użyciu pierwszej rury wynosi $4$ godziny.

Ćwiczenie 7

Większa pompa opróżnia basen z wody w ciągu $6$ godzin. Mniejsza pompa opróżnia basen w ciągu $8$ godzin. Właściciel włączył większą pompę o godzinie $09 : 00$ . O której godzinie powinien włączyć mniejszą pompę, jeśli chce zakończyć pracę o godzinie $13 : 00$ ?

Wprowadźmy oznaczenia:

$V$ - objętość basenu; $V > 0$

$t$ - czas pracy małej pompy w godzinach

$\frac{V}{6}$ - wydajność większej pompy w czasie $1$ godziny

$\frac{V}{6} \cdot 4 = \frac{4 V}{6} = \frac{2 V}{3}$ - ilość wody, którą duża pompa wypompuje z basenu w czasie $4$ godzin

$V - \frac{2 V}{3} = \frac{V}{3}$ - ilość wody, którą mała pompa musi wypompować z basenu

$\frac{V}{8}$ - wydajność mniejszej pompy w czasie $1$ godziny

$\frac{V}{8} \cdot t$ - ilość wody, którą mała pompa wypompuje z basenu w szukanym czasie

Ułóżmy równanie, wykorzystując pracę małej pompy:

$\frac{V}{8} \cdot t = \frac{V}{3}$

Równanie podzielmy obustronnie przez $V$ :

$\frac{t}{8} = \frac{1}{3}$

$t = \frac{8}{3} h$

Jeżeli zbiornik ma być opróżniony do godziny $13 : 00$ , właściciel powinien włączyć małą pompę o godzinie $10 : 20$ .

Ćwiczenie 8

Pierwsza pompa opróżnia basen o $1$ godzinę $40$ minut szybciej niż druga, a dwie pompy jednocześnie robią to o $1$ godzinę i $20$ minut szybciej niż pierwsza. W jakim czasie każda pompa oddzielnie opróżnia basen?

Wprowadźmy oznaczenia:

$V$ - objętość basenu; $V > 0$

$t$ - czas w godzinach opróżniania basenu przez drugą pompę

$t - 1 \frac{2}{3}$ - czas w godzinach opróżniania basenu przez pierwszą pompę

$(t - 1 \frac{2}{3}) - 1 \frac{1}{3}$ - czas w godzinach opróżniania basenu przez obie pompy jednocześnie

$(t - 1 \frac{2}{3}) - 1 \frac{1}{3} = t - 3$ ; $t > 3$

Ułóżmy równanie:

$\frac{V}{t - 1 \frac{2}{3}} + \frac{V}{t} = \frac{V}{t - 3}$

Równanie $\frac{V}{t - 1 \frac{2}{3}} + \frac{V}{t} = \frac{V}{t - 3}$ podzielmy obustronnie przez $V$ :

$\frac{1}{t - 1 \frac{2}{3}} + \frac{1}{t} = \frac{1}{t - 3}$

$\frac{1}{t - \frac{5}{3}} + \frac{1}{t} = \frac{1}{t - 3}$

$\frac{t}{t (t - \frac{5}{3})} + \frac{t - \frac{5}{3}}{t (t - \frac{5}{3})} = \frac{1}{t - 3}$

$\frac{2 t - \frac{5}{3}}{t (t - \frac{5}{3})} = \frac{1}{t - 3}$

$(2 t - \frac{5}{3}) (t - 3) = t (t - \frac{5}{3})$

Po przekształceniu otrzymujemy równanie kwadratowe:

$t^{2} - 6 t + 5 = 0$

Rozwiązaniami równania są liczby:

$t = 1$ lub $t = 5$

Pierwsze rozwiązanie jest sprzeczne z warunkami zadania $(t > 3)$ .

Pierwsza pompa opróżni basen w $3$ godziny i $20$ minut; druga – w $5$ godzin.

Animacja

Dla nauczyciela