Sprawdź się

Pokaż ćwiczenia:

R1TVN4r9F6Ck51

Ćwiczenie 1

Zaznacz wszystkie zdania prawdziwe.

Pole powierzchni graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego o krawędzi podstawy $2$ i krawędzi bocznej $4$ wyraża się liczbą wymierną.
Jeżeli pole podstawy graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego jest równe polu powierzchni bocznej, to $H = \frac{a \sqrt{3}}{2}$ .
Jeśli krawędź podstawy graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego zwiększymy dwukrotnie, a wysokość pozostawimy bez zmian, to pole powierzchni tego graniastosłupa wzrośnie dwukrotnie.
Pole powierzchni bocznej graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego jest dwukrotnie większe od pola powierzchni bocznej graniastosłupa prawidłowego trójkątnego jeśli bryły mają równe wysokości i równe długości krawędzi podstawy.

Ćwiczenie 2

Dane są graniastosłupy prawidłowe sześciokątne takie, jak na rysunku.

RpUxFKWdnD3EO

Ilustracja przedstawia dwa graniastosłupy prawidłowe sześciokątne. Długość krawędzi podstawy pierwszego z nich wynosi dwa. Długość jego krawędzi bocznej wynosi cztery. Długość krawędzi podstawy drugiego graniastosłupa wynosi cztery, a długość jego krawędzi bocznej wynosi dwa.

RT7t2tCAlfcpn

R1Kfzesklwszh2

Ćwiczenie 3

Zaznacz poprawną odpowiedź. Pole powierzchni graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego o dłuższej przekątnej graniastosłupa $5$ i krawędzi podstawy $2$ wynosi:

$48 \sqrt{3} + 120$
$12 \sqrt{3} + 120$
$12 \sqrt{3} + 36$
$48 \sqrt{3} + 36$

RB1K9wpT5aQzZ21

Ćwiczenie 4

R17mFy7099rHZ

Ćwiczenie 4

Dopasuj podane pola powierzchni do opisów graniastosłupów. Rysunek przedstawia graniastosłup prawidłowy sześciokątny, długość krawędzi podstawy tego graniastosłupa wynosi 2. Długość dłuższej przekątnej graniastosłupa wynosi 5. Możliwe odpowiedzi: 1.

36 + 12 \sqrt{3}

, 2.

36 + 9 \sqrt{3}

, 3.

72 + 12 \sqrt{3}

Rysunek przedstawia graniastosłup prawidłowy sześciokątny, długość krawędzi podstawy tego graniastosłupa wynosi 2. Długość krawędzi bocznej tego graniastosłupa wynosi 6. Możliwe odpowiedzi: 1.

36 + 12 \sqrt{3}

, 2.

36 + 9 \sqrt{3}

, 3.

72 + 12 \sqrt{3}

Rysunek przedstawia graniastosłup prawidłowy sześciokątny, długość krótszej przekątnej podstawy tego graniastosłupa wynosi 3. Długość przekątnej ściany bocznej tego graniastosłupa wynosi

\sqrt{15}

. Możliwe odpowiedzi: 1.

36 + 12 \sqrt{3}

, 2.

36 + 9 \sqrt{3}

, 3.

72 + 12 \sqrt{3}

Rdia3pB7xLt8G2

Ćwiczenie 5

Zaznacz poprawną odpowiedź. Przekątna ściany bocznej graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego jest nachylona pod kątem $60 °$ do płaszczyzny podstawy. Wysokość graniastosłupa ma długość $6$ . Pole powierzchni tego graniastosłupa wynosi:

$108 + 72 \sqrt{3}$
$108 + 108 \sqrt{3}$
$108 \sqrt{3}$
$36 + 72 \sqrt{3}$

Roh4dgnCDxtAN2

Ćwiczenie 6

Zaznacz poprawną odpowiedź. Stosunek krawędzi podstawy do wysokości w graniastosłupie prawidłowym sześciokątnym wynosi $\sqrt{3}$ , a pole boczne $48 \sqrt{3}$ . Krótsza przekątna graniastosłupa ma długość:

$4 \sqrt{26}$
$4 \sqrt{5}$
$4 \sqrt{3}$
$6 \sqrt{2}$

Ćwiczenie 7

Pole powierzchni graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego, którego wszystkie krawędzie są tej samej długości wynosi $75 \sqrt{3} + 150$ . Oblicz objętość tego graniastosłupa.

Oznaczmy przez $a$ długość krawędzi tego graniastosłupa. Korzystając ze wzoru na pole całkowite graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego mamy:

$3 a^{2} \sqrt{3} + 6 a^{2} = 75 \sqrt{3} + 150$

A stąd $a^{2} (3 \sqrt{3} + 6) = 25 (3 \sqrt{3} + 6)$

Dzieląc stronami przez $(3 \sqrt{3} + 6)$ mamy: $a^{2} = 25$ , a stąd $a = 5$ .

A zatem $V = 6 \cdot \frac{25 \sqrt{3}}{4} \cdot 5 = \frac{375 \sqrt{3}}{2}$ .

Ćwiczenie 8

Pole podstawy graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego jest trzykrotnie mniejsze od pola powierzchni bocznej. Oblicz cosinus kąta nachylenia krótszej przekątnej tego graniastosłupa do podstawy.

Wiemy, że $P_{b} = 3 P_{p}$ .

Czyli $6 a H = 3 \cdot 6 \cdot \frac{a^{2} \sqrt{3}}{4}$ .

Dzieląc stronami przez $6 a$ (wiemy, że $a \neq 0$ ), otrzymujemy $H = \frac{3 a \sqrt{3}}{4}$ .

Zróbmy rysunek pomocniczy:

R1XZd1wi0Z4kM

Obrazek przedstawia trójkąt prostokątny umieszczony w graniastosłupie sześciokątnym prawidłowym. Trójkąt umieszczono tak, że jedną z jego przyprostokątnych jest wysokość graniastosłupa równa trzy a pierwiastków kwadratowych z trzech podzielić na cztery. Podstawą trójkąta jest krótsza przekątna sześciokąta równa a pierwiastków kwadratowych z trzech. Przeciwprostokątna jest nachylona do podstawy graniastosłupa pod kątem alfa. Wartość przeciwprostokątnej jest równa x.

Obliczamy długość odcinka $x$ z twierdzenia Pitagorasa:

${(a \sqrt{3})}^{2} + {(\frac{3 a \sqrt{3}}{4})}^{2} = x^{2}$

Przekształcając to równanie otrzymujemy kolejno:

$3 a^{2} + \frac{27 a^{2}}{16} = x^{2}$

$\frac{48 a^{2} + 27 a^{2}}{16} = x^{2}$

$\frac{75 a^{2}}{16} = x^{2}$

I ostatecznie $x = \frac{5 a \sqrt{3}}{4}$ .

A zatem $\cos α = \frac{a \sqrt{3}}{\frac{5 a \sqrt{3}}{4}} = \frac{4}{5}$ .

Animacja 3D

Dla nauczyciela