Sprawdź się

Pokaż ćwiczenia:

R1TVN4r9F6Ck51

Ćwiczenie 1

Ćwiczenie 2

Dane są graniastosłupy prawidłowe sześciokątne takie, jak na rysunku.

RpUxFKWdnD3EO

Ilustracja przedstawia dwa graniastosłupy prawidłowe sześciokątne. Długość krawędzi podstawy pierwszego z nich wynosi dwa. Długość jego krawędzi bocznej wynosi cztery. Długość krawędzi podstawy drugiego graniastosłupa wynosi cztery, a długość jego krawędzi bocznej wynosi dwa.

RT7t2tCAlfcpn

R1Kfzesklwszh2

Ćwiczenie 3

RB1K9wpT5aQzZ21

Ćwiczenie 4

R17mFy7099rHZ

Ćwiczenie 4

Rdia3pB7xLt8G2

Ćwiczenie 5

Roh4dgnCDxtAN2

Ćwiczenie 6

Ćwiczenie 7

Pole powierzchni graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego, którego wszystkie krawędzie są tej samej długości wynosi $75 \sqrt{3} + 150$ . Oblicz objętość tego graniastosłupa.

Oznaczmy przez $a$ długość krawędzi tego graniastosłupa. Korzystając ze wzoru na pole całkowite graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego mamy:

$3 a^{2} \sqrt{3} + 6 a^{2} = 75 \sqrt{3} + 150$

A stąd $a^{2} (3 \sqrt{3} + 6) = 25 (3 \sqrt{3} + 6)$

Dzieląc stronami przez $(3 \sqrt{3} + 6)$ mamy: $a^{2} = 25$ , a stąd $a = 5$ .

A zatem $V = 6 \cdot \frac{25 \sqrt{3}}{4} \cdot 5 = \frac{375 \sqrt{3}}{2}$ .

Ćwiczenie 8

Pole podstawy graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego jest trzykrotnie mniejsze od pola powierzchni bocznej. Oblicz cosinus kąta nachylenia krótszej przekątnej tego graniastosłupa do podstawy.

Wiemy, że $P_{b} = 3 P_{p}$ .

Czyli $6 a H = 3 \cdot 6 \cdot \frac{a^{2} \sqrt{3}}{4}$ .

Dzieląc stronami przez $6 a$ (wiemy, że $a \neq 0$ ), otrzymujemy $H = \frac{3 a \sqrt{3}}{4}$ .

Zróbmy rysunek pomocniczy:

R1XZd1wi0Z4kM

Obrazek przedstawia trójkąt prostokątny umieszczony w graniastosłupie sześciokątnym prawidłowym. Trójkąt umieszczono tak, że jedną z jego przyprostokątnych jest wysokość graniastosłupa równa trzy a pierwiastków kwadratowych z trzech podzielić na cztery. Podstawą trójkąta jest krótsza przekątna sześciokąta równa a pierwiastków kwadratowych z trzech. Przeciwprostokątna jest nachylona do podstawy graniastosłupa pod kątem alfa. Wartość przeciwprostokątnej jest równa x.

Obliczamy długość odcinka $x$ z twierdzenia Pitagorasa:

${(a \sqrt{3})}^{2} + {(\frac{3 a \sqrt{3}}{4})}^{2} = x^{2}$

Przekształcając to równanie otrzymujemy kolejno:

$3 a^{2} + \frac{27 a^{2}}{16} = x^{2}$

$\frac{48 a^{2} + 27 a^{2}}{16} = x^{2}$

$\frac{75 a^{2}}{16} = x^{2}$

I ostatecznie $x = \frac{5 a \sqrt{3}}{4}$ .

A zatem $\cos α = \frac{a \sqrt{3}}{\frac{5 a \sqrt{3}}{4}} = \frac{4}{5}$ .

Animacja 3D

Dla nauczyciela