Sprawdź się

Pokaż ćwiczenia:

Ćwiczenie 1

Ile wynosi suma krawędzi ostrosłupa prawidłowego czworokątnego przedstawionego na poniższym rysunku?

RjAx5GkuQ8PtB

Rysunek przedstawia ostrosłup prawidłowy czworokątny o krawędzi bocznej x. Z górnego wierzchołka upuszczono wysokość H=8 i poprowadzono odcinek y biegnący po podstawie bryły od spodka wysokości do prawego dolnego wierzchołka ostrosłupa. Utworzono w ten sposób trójkąt prostokątny. Trójkąt ten ma pionową przyprostokątną H, podstawę y oraz przeciwprostokątną x. Wewnątrz trójkąta zaznaczono dwa kąty: kąt prosty między bokami H i y oraz kąt α między bokami H i x. Obok bryły zapisano dodatkową informację: sinα=-12.

RQnwPMlFjlQOF

$\frac{24 \sqrt{3}}{3}$
$\frac{32}{3} (\sqrt{6} + 2 \sqrt{3})$
$\frac{8 \sqrt{6}}{3} + \frac{16 \sqrt{3}}{3}$
$\frac{32}{3} (\sqrt{6} + \sqrt{3})$

R1VqLlRtluurd1

Ćwiczenie 2

Uzupełnij zdanie, przyciągając odpowiednią liczbę w puste miejsce.

$k$ , $4 k$ , $\frac{1}{2} k$ , $2 k$

Wysokość ściany bocznej ostrosłupa prawidłowego czworokątnego o krawędzi podstawy $k$ i sinusie kąta pomiędzy wysokością ostrosłupa a wysokością ściany bocznej równym $\frac{1}{4}$ wynosi .............

Ćwiczenie 3

Na poniższym rysunku przedstawiono ostrosłup prawidłowy czworokątny.

R1Se2ILgUBGlQ

Rysunek przedstawia ostrosłup prawidłowy czworokątny. Z górnego wierzchołka upuszczono wysokość H i poprowadzono odcinek biegnący po podstawie bryły od spodka wysokości do prawego dolnego wierzchołka ostrosłupa. Utworzono w ten sposób trójkąt prostokątny. Wewnątrz trójkąta zaznaczono dwa kąty: kąt prosty między bokiem H a podstawą oraz kąt α między podstawą a przeciwprostokątną będącą krawędzią boczną bryły.

R9Mf0Rw27EoBn

Uzupełnij zdania, przeciągając odpowiedzi w puste miejsca.

Krawędź boczna ostrosłupa prawidłowego czworokątnego przedstawionego na rysunku ma długość 1. $\frac{H}{tg α}$ , 2. $\frac{H \sqrt{2}}{tg α}$ , 3. $\frac{4 H (1 + \sqrt{2} \cos α)}{\sin α}$ , 4. $\frac{H}{\sin α}$ , 5. $\frac{H}{\cos α}$ , 6. $\frac{4 H (1 + \sqrt{2} \sin α)}{\cos α}$

, 7.

\frac{H \sqrt{2}}{\cos α}

, 8.

\frac{2 H}{tg α}

Przekątna podstawy ma długość 1.

\frac{H}{tg α}

, 2.

\frac{H \sqrt{2}}{tg α}

, 3.

\frac{4 H (1 + \sqrt{2} \cos α)}{\sin α}

, 4.

\frac{H}{\sin α}

, 5.

\frac{H}{\cos α}

, 6.

\frac{4 H (1 + \sqrt{2} \sin α)}{\cos α}

, 7.

\frac{H \sqrt{2}}{\cos α}

, 8.

\frac{2 H}{tg α}

Krawędź podstawy ma więc długość 1.

\frac{H}{tg α}

, 2.

\frac{H \sqrt{2}}{tg α}

, 3.

\frac{4 H (1 + \sqrt{2} \cos α)}{\sin α}

, 4.

\frac{H}{\sin α}

, 5.

\frac{H}{\cos α}

, 6.

\frac{4 H (1 + \sqrt{2} \sin α)}{\cos α}

, 7.

\frac{H \sqrt{2}}{\cos α}

, 8.

\frac{2 H}{tg α}

, a suma długości wszystkich krawędzi wynosi 1.

\frac{H}{tg α}

, 2.

\frac{H \sqrt{2}}{tg α}

, 3.

\frac{4 H (1 + \sqrt{2} \cos α)}{\sin α}

, 4.

\frac{H}{\sin α}

, 5.

\frac{H}{\cos α}

, 6.

\frac{4 H (1 + \sqrt{2} \sin α)}{\cos α}

, 7.

\frac{H \sqrt{2}}{\cos α}

, 8.

\frac{2 H}{tg α}

$\frac{H \sqrt{2}}{tg α}$ , $\frac{H}{tg α}$ , $\frac{H \sqrt{2}}{\cos α}$ , $\frac{H}{\cos α}$ , $\frac{4 H (1 + \sqrt{2} \cos α)}{\sin α}$ , $\frac{H}{\sin α}$ , $\frac{2 H}{tg α}$ , $\frac{4 H (1 + \sqrt{2} \sin α)}{\cos α}$

Krawędź boczna ostrosłupa prawidłowego czworokątnego przedstawionego na rysunku ma długość ...................................
Przekątna podstawy ma długość ...................................
Krawędź podstawy ma więc długość .................................., a suma długości wszystkich krawędzi wynosi ...................................

Ćwiczenie 4

Ile wynosi pole ściany bocznej ostrosłupa prawidłowego czworokątnego przedstawionego na poniższym rysunku?

RNIrGSfdkzfqd

Rysunek przedstawia ostrosłup prawidłowy czworokątny. Z górnego wierzchołka upuszczono wysokość H i poprowadzono odcinek o długości P2 biegnący po podstawie bryły od spodka wysokości do środka prawej krawędzi podstawy ostrosłupa. Utworzono w ten sposób trójkąt prostokątny. Wewnątrz trójkąta zaznaczono dwa kąty: kąt prosty między bokiem H a podstawą o długości P2 oraz kąt γ między podstawą a przeciwprostokątną będącą wysokością ściany bocznej ostrosłupa.

R4vmsTj7TmKAK

$\frac{P}{4 \cos γ}$
$\frac{P}{4 tg γ}$
$P \cos γ$
$\frac{1}{2} \sqrt{P} \cos γ$

Ry8nQYXHvDZXT2

Ćwiczenie 5

Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny o krawędziach bocznych długości $k$ . Wskaż zdania prawdziwe.

Jeśli wysokość ostrosłupa wynosi $\frac{k \sqrt{3}}{3}$ , to przekątna podstawy ma długość $\frac{2 \sqrt{6}}{3} k$ .
Jeśli kąt płaski przy wierzchołku ostrosłupa ma miarę $60 °$ , to wysokość ściany bocznej wynosi $\frac{k}{2}$ .
Jeśli kąt nachylenia krawędzi bocznej do krawędzi podstawy ma miarę $α$ , to pole ściany bocznej jest równe $k^{2} \sin α \cos α$ .

RlL0pONxdWgMe2

Ćwiczenie 6

Krawędź boczna jest dwa razy dłuższa od krawędzi podstawy ostrosłupa prawidłowego czworokątnego. Sinus kąta płaskiego przy wierzchołku ostrosłupa wynosi:

$- \frac{7}{8}$
$\frac{7}{8}$
$\frac{\sqrt{15}}{8}$
$\frac{15}{64}$

Ćwiczenie 7

Pole podstawy ostrosłupa prawidłowego czworokątnego wynosi $P$ . Wykaż, że cosinus kąta płaskiego wynosi $\frac{31}{32}$ , jeśli wiemy, że krawędź boczna jest $4$ razy dłuższa od krawędzi podstawy.

Skoro pole podstawy wynosi $P$ , to krawędź podstawy ma długość $\sqrt{P}$ .

Niech $α$ - miara kąta płaskiego przy wierzchołku ostrosłupa.

Wykonajmy rysunek pomocniczy ściany bocznej ostrosłupa.

R1Qo8M4QBCkbZ

Rysunek przedstawia trójkąt równoramienny o długości ramion równej 4P oraz o podstawie o długości P. Zaznaczono kąt wewnętrzny trójkąta między jego ramionami. Kąt ten wynosi α.

Wówczas z twierdzenia cosinusów mamy:

${(\sqrt{P})}^{2} = {(4 \sqrt{P})}^{2} + {(4 \sqrt{P})}^{2} - 2 \cdot 4 \sqrt{P} \cdot 4 \sqrt{P} \cdot \cos α$ ,

$P = 16 P + 16 P - 32 P \cdot \cos α$ ,

$- 31 P = - 32 P \cdot \cos α$ .

Zatem $\cos α = \frac{31}{32}$ .

Ćwiczenie 8

W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym kąt nachylenia krawędzi bocznej do krawędzi podstawy ma miarę $α$ . Oblicz sumę krawędzi ostrosłupa, wiedząc, że jego wysokość ma długość $H$ .

Wykonajmy rysunek pomocniczy i wprowadźmy oznaczenia odcinków w ostrosłupie.

Rp8Ms8yo5gPnc

Rysunek przedstawia ostrosłup prawidłowy czworokątny. Z górnego wierzchołka upuszczono wysokość H. Ze spodka wysokości poprowadzono odcinek x biegnący po podstawie do środka prawej krawędzi podstawy ostrosłupa. Krawędź podstawy opisano jako a i zaznaczono na rysunku, że jest ona dwa razy dłuższa od odcinka x. Z górnego wierzchołka bryły poprowadzono również wysokość ściany h, która domknęła trójkąt prostokątny jako przekątna. Powstały wewnątrz ostrosłupa trójkąt prostokątny o bokach H, x oraz h, wyróżniono kolorem. Wewnątrz trójkąta zaznaczono kąt prosty między bokiem H a podstawą trójkąta x. Krawędź boczną ostrosłupa opisano jako b, krawędź podstawy jako a oraz zaznaczono kąt między nimi. Jest to kąt α.

Niech:

$a$ – długość krawędzi podstawy,

$x$ – długość połowy krawędzi podstawy,

$h$ – wysokość ściany bocznej,

$b$ – długość krawędzi bocznej.

Wówczas mamy:

$\frac{h}{x} = tg α$ , czyli $h = x tg α$ .

Z twierdzenia Pitagorasa mamy:

$H^{2} + x^{2} = h^{2}$

$H^{2} + x^{2} = {(x tg α)}^{2}$

$H^{2} + x^{2} = x^{2} {tg}^{2} α$

$H^{2} = x^{2} ({tg}^{2} α - 1)$

$H = x \sqrt{{tg}^{2} α - 1}$ .

Zatem $x = \frac{H}{\sqrt{{tg}^{2} α - 1}}$ .

Krawędź podstawy ma więc długość: $a = \frac{2 H}{\sqrt{{tg}^{2} α - 1}}$ .

Obliczmy długość krawędzi bocznej, tym razem korzystając z definicji funkcji cosinus. $\frac{x}{b} = \cos α$ . Mamy więc, że $b = \frac{x}{\cos α}$ i podstawiając wyznaczoną wartość $x$ otrzymujemy: $b = \frac{H}{\cos α \sqrt{{tg}^{2} α - 1}} = \frac{H}{\sqrt{\sin^{2} α - \cos^{2} α}}$ .

Suma długości krawędzi ostrosłupa wynosi więc: $4 a + 4 b = 4 \cdot \frac{2 H}{\sqrt{{tg}^{2} α - 1}} + 4 \cdot \frac{H}{\sqrt{\sin^{2} α - \cos^{2} α}} =$

$= \frac{4 H (2 \cos α + 1)}{\sqrt{\sin^{2} α - \cos^{2} α}}$ .

Test samosprawdzający

Dla nauczyciela