Sprawdź się

Pokaż ćwiczenia:

RcxBUym53r2IM1

Ćwiczenie 1

W urnie znajduje się $100$ losów, a wśród nich losy które upoważniają do odbioru nagrody pieniężnej. Jeden upoważniający do odbioru nagrody w wysokości $100 zł$ , trzy upoważniające do odbioru nagrody w kwocie $40 zł$ , sześć – w kwocie $20 zł$ i piętnaście – w kwocie $10 zł$ . Kupiono jeden los. Wynika z tego, że prawdopodobieństwo wygrania co najmniej $40 zł$ jest mniejsze od prawdopodobieństwa wygrania co najwyżej $40 zł$ o:

$0, 04$
$0, 24$
$0, 92$
$0, 96$

R1ONtkadURZpX1

Ćwiczenie 2

Dwaj zawodnicy rzucili jednocześnie strzałkami do tej samej tarczy. Pierwszy trafia do tarczy z prawdopodobieństwem $0, 8$ , drugi z prawdopodobieństwem $0, 9$ . Prawdopodobieństwo tego, że tarcza została trafiona co najmniej raz, jest równe:

$1, 7$
$0, 98$
$0, 72$
$0, 1$

R1Jge51tWsstV2

Ćwiczenie 3

Dostępne opcje do wyboru:

\frac{(\begin{matrix} 5 \\ 2 \end{matrix})}{(\begin{matrix} 8 \\ 2 \end{matrix})}

(\begin{matrix} 3 \\ 2 \end{matrix}) (\begin{matrix} 5 \\ 2 \end{matrix})

\frac{30}{392}

(\begin{matrix} 3 \\ 2 \end{matrix})

\frac{5}{14}

\frac{3}{28}

3 \cdot 5

. Polecenie: Na półce stoją trzy powieści przygodowe i pięć tomików wierszy. Wyciągamy w sposób losowy dwie książki. Uzupełnij , przeciągając odpowiednie wyrażenia, wyznaczania prawdopodobieństwa

p

tego, że żadna z wylosowanych książek nie jest powieścią.

p =

luka do uzupełnienia

=

luka do uzupełnienia

Na półce stoją trzy powieści przygodowe i pięć tomików wierszy. Wyciągamy w sposób losowy dwie książki.
Uzupełnij, przeciągając odpowiednie wyrażenia, wyznaczania prawdopodobieństwa $p$ tego, że żadna z wylosowanych książek nie jest powieścią.

$\frac{3}{28}$ , $(\begin{matrix} 3 \\ 2 \end{matrix})$ , $(\begin{matrix} 2 \\ 5 \end{matrix})$ , $\frac{30}{392}$ , $3 \cdot 5$ , $(\begin{matrix} 3 \\ 2 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 5 \\ 2 \end{matrix})$ , $(\begin{matrix} 8 \\ 2 \end{matrix})$ , $\frac{5}{14}$ , $(\begin{matrix} 5 \\ 2 \end{matrix})$ , $(\begin{matrix} 2 \\ 8 \end{matrix})$

$p =$ $:$ $=$

R6EGbn3wEumGh21

Ćwiczenie 4

Łączenie par. . Prawdopodobieństwo, że zepsują się dokładnie dwie żarówki jest równe

(\begin{matrix} 5 \\ 2 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 4 \\ 2 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 4 \\ 3 \end{matrix})

. Możliwe odpowiedzi: Prawda, Fałsz. Prawdopodobieństwo, że zepsuje się dokładnie jedna żarówka jest równe

(\begin{matrix} 5 \\ 1 \end{matrix}) \cdot {(\frac{1}{4})}^{1} \cdot {(\frac{3}{4})}^{4}

. Możliwe odpowiedzi: Prawda, Fałsz. Prawdopodobieństwo, że zepsuje się co najwyżej jedna żarówka jest równe

(\begin{matrix} 5 \\ 1 \end{matrix}) \cdot {(\frac{1}{4})}^{1} \cdot {(\frac{3}{4})}^{4} + (\begin{matrix} 5 \\ 0 \end{matrix}) \cdot {(\frac{1}{4})}^{0} \cdot {(\frac{3}{4})}^{5}

. Możliwe odpowiedzi: Prawda, Fałsz. Prawdopodobieństwo, że zepsuje się co najmniej jedna żarówka jest równe

(\begin{matrix} 5 \\ 2 \end{matrix}) \cdot {(\frac{1}{4})}^{2} \cdot {(\frac{3}{4})}^{3}

. Możliwe odpowiedzi: Prawda, Fałsz

W żyrandolu pali się pięć żarówek. Prawdopodobieństwo, że popsuje się każda z nich, jest równe $\frac{1}{4}$ . Żarówki psują się niezależnie od siebie. Włączamy żyrandol.
Zaznacz, czy dane zdanie jest prawdziwe, czy fałszywe.

Zdanie	Prawda	Fałsz
Prawdopodobieństwo, że zepsują się dokładnie dwie żarówki jest równe $(\begin{matrix} 5 \\ 2 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 4 \\ 2 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 4 \\ 3 \end{matrix})$ .	□	□
Prawdopodobieństwo, że zepsuje się dokładnie jedna żarówka jest równe $(\begin{matrix} 5 \\ 1 \end{matrix}) \cdot {(\frac{1}{4})}^{1} \cdot {(\frac{3}{4})}^{4}$ .	□	□
Prawdopodobieństwo, że zepsuje się co najwyżej jedna żarówka jest równe $(\begin{matrix} 5 \\ 1 \end{matrix}) \cdot {(\frac{1}{4})}^{1} \cdot {(\frac{3}{4})}^{4} + (\begin{matrix} 5 \\ 0 \end{matrix}) \cdot {(\frac{1}{4})}^{0} \cdot {(\frac{3}{4})}^{5}$ .	□	□
Prawdopodobieństwo, że zepsuje się co najmniej jedna żarówka jest równe $(\begin{matrix} 5 \\ 2 \end{matrix}) \cdot {(\frac{1}{4})}^{2} \cdot {(\frac{3}{4})}^{3}$ .	□	□

R1dWAxvHriEFq2

Ćwiczenie 5

Wśród dwudziestoosobowej grupy uczniów, wśród których jest $6$ dziewczynek rozlosowano pięć karnetów na basen.
Uzupełnij zdanie, wpisując odpowiednie liczby tak, aby otrzymany ułamek był nieskracalny. Prawdopodobieństwo $p$ tego, że wśród posiadaczy karnetów znajdą się dokładnie $3$ dziewczyny jest równe:

$p =$ ............ $:$ ............

Ćwiczenie 6

W partii towaru składającej się z $N$ sztuk jabłek znajduje się $M$ jabłek robaczywych. Wybieramy losowo $n$ $(n ⩽ N)$ jabłek. Oblicz prawdopodobieństwo, że wśród nich znajdzie się dokładnie $m$ $(m ⩽ n)$ jabłek robaczywych.

$|Ω| = (\begin{matrix} N \\ n \end{matrix})$

$A$ – zdarzenie polegające na wybraniu dokładnie $m$ robaczywych jabłek

$|A| = (\begin{matrix} M \\ m \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} N - M \\ n - m \end{matrix})$

$P (A) = \frac{(\begin{matrix} M \\ m \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} N - M \\ n - m \end{matrix})}{(\begin{matrix} N \\ n \end{matrix})}$

Ćwiczenie 7

$|Ω| = (\begin{matrix} N \\ n \end{matrix})$

$A$ – zdarzenie polegające na wybraniu co najwyżej $m$ robaczywych jabłek

$|A| = (\begin{matrix} M \\ 0 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} N - M \\ n \end{matrix}) + (\begin{matrix} M \\ 1 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} N - M \\ n - 1 \end{matrix}) + \dots + (\begin{matrix} M \\ m \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} N \\ n - m \end{matrix})$

$P (A) = \frac{(\begin{matrix} M \\ 0 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} N - M \\ n \end{matrix}) + (\begin{matrix} M \\ 1 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} N - M \\ n - 1 \end{matrix}) + \dots + (\begin{matrix} M \\ m \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} N \\ n - m \end{matrix})}{(\begin{matrix} N \\ n \end{matrix})}$

Ćwiczenie 8

Rzucasz pięć razy symetryczną kostką do gry.

Oblicz prawdopodobieństwo otrzymania:

co najwyżej trzech „trójek”,
„trójki” dokładnie trzy razy.

W obu przypadkach mamy do czynienia z doświadczeniami, które spełniają założenia schematu Bernoulliego. Każda z pięciu prób to jednokrotny rzut kostką.

Sukcesem jest wyrzucenie „trójki”.

$n = 5$

$p = \frac{1}{6}$

$q = \frac{5}{6}$

Otrzymanie co najwyżej trzech „trójek” oznacza, że możemy otrzymać jedną trójkę, dwie trójki, trzy trójki lub wcale nie otrzymać trójki.
Obliczymy więc najpierw zdarzenie przeciwne – otrzymanie czterech lub pięciu „trójek”.
Oznaczmy:
$A$ – otrzymanie co najwyżej trzech „trójek”
$P (A') = (\begin{matrix} 5 \\ 4 \end{matrix}) \cdot {(\frac{1}{6})}^{4} \cdot {(\frac{5}{6})}^{1} + (\begin{matrix} 5 \\ 5 \end{matrix}) \cdot {(\frac{1}{6})}^{5} \cdot {(\frac{5}{6})}^{0}$
$P (A') = 5 \cdot \frac{1}{1296} \cdot \frac{5}{6} + 1 \cdot \frac{1}{7776} \cdot 1$
$P (A') = \frac{26}{7776}$
$P (A) = 1 - \frac{26}{7776} = \frac{7750}{7776} = \frac{3875}{3888}$
$p = (\begin{matrix} 5 \\ 3 \end{matrix}) \cdot {(\frac{1}{6})}^{3} \cdot {(\frac{5}{6})}^{2}$
$p = \frac{5 \cdot 4}{2} \cdot \frac{1}{216} \cdot \frac{25}{36} = \frac{125}{3888}$

Prawdopodobieństwo otrzymania co najwyżej trzech „trójek” jest równe $\frac{3875}{3888}$ , a prawdopodobieństwo otrzymania dokładnie trzy razy „trójki” jest równe $\frac{125}{3888}$ .

Film samouczek

Dla nauczyciela