Sprawdź się

Pokaż ćwiczenia:

Ćwiczenie 1

Paweł znalazł nietypową kostkę do gry, której siatkę przedstawiamy poniżej.

R1ISTHusna5Js

Na ilustracji przedstawiono siatkę kostki do gry. Wygląda następująco. W linii poziomej znajdują się 4 pola, z liczbą oczek wynoszącą kolejno jeden, dwa, trzy, jeden. Nad polem z jednym oczkiem, oraz poniżej tego pola, znajdują się pola z trzema oczkami.

R1JjSwavbQ6Vt

Paweł rzucił kostką i wypadła trójka. Które z liczb nie mogą znajdować się na spodzie kostki?

$2$
$1$
$3$
Każda z liczb może się znajdować na spodzie kostki.

R4qEgRuGSYOru1

Ćwiczenie 2

Doniczkę w kształcie sześcianu napełniamy do $\frac{4}{5}$ wysokości. Za pomocą $50 l$ worka ziemi możemy napełnić $4$ doniczki w ten sposób.

Krawędź wewnętrzna tej doniczki ma długość: ............ $cm$ .

RuWtoMY1NGBWC2

Ćwiczenie 3

Do sześciennego naczynia o krawędzi $15 cm$ częściowo wypełnionego wodą dolano $1 l$ wody, wypełniając je po brzegi. Do jakiej wysokości napełnione było naczynie na początku? Wynik podaj z dokładnością do $1 cm$ .

$11 cm$
$10 cm$
$5 cm$
$2 cm$

Ćwiczenie 4

W ułożonej kostce Rubika ściany parami przeciwległe to odpowiednio: niebieski i zielony, żółty i biały, czerwony i pomarańczowy.

R1KpDSCrxnUsB

Na ilustracji przedstawiono siatkę sześcianu, będącego kostką Rubika. Każda ściana jest w innym kolorze i składa się z 9 mniejszych, przystających do siebie kwadratów. W linii poziomej znajdują się trzy ściany, kolejno, pomarańczowa, zielona oraz czerwona. Nad ścianą pomarańczową znajduje się biała. Po lewej stronie ściany białej, znajduje się ściana niebieska. Pod ścianą zieloną, znajduje się ściana żółta.

R13dqAMC5WYiW

Łączenie par. . Powyższa siatka jest siatką ułożonej kostki Rubika.. Możliwe odpowiedzi: Prawda, Fałsz. Kostka Rubika ma

8

małych kostek pomalowanych dwoma kolorami.. Możliwe odpowiedzi: Prawda, Fałsz. Z kostki Rubika usuwamy po jednej małej kostce z każdego wierzchołka. Objętość bryły zmniejszyła się, ale pole powierzchni pozostało bez zmian.. Możliwe odpowiedzi: Prawda, Fałsz

Oceń prawdziwość zdań.

	Prawda	Fałsz
Powyższa siatka jest siatką ułożonej kostki Rubika.	□	□
Kostka Rubika ma $8$ małych kostek pomalowanych dwoma kolorami.	□	□
Z kostki Rubika usunięto po jednej małej kostce z każdego wierzchołka. Objętość bryły zmniejszyła się, ale pole powierzchni pozostało bez zmian.	□	□

Ćwiczenie 5

W dwóch naczyniach sześciennych znajduje się woda. Pierwsze z nich o krawędzi $20 cm$ jest napełnione do $\frac{7}{20}$ wysokości, a drugie o krawędzi $12 cm$ do $\frac{3}{4}$ wysokości. Wodę z tych naczyń przelewamy do trzeciego naczynia w kształcie sześcianu wypełniając je po brzegi. Podaj pojemność trzeciego naczynia w litrach oraz oblicz długość jego krawędzi.

R6hwZwsIF4yRC

Ilustracja przedstawia trzy sześciany, z czego dwa pierwsze wypełnione są częściowo wodą. Sześcian pierwszy ma krawędź o długości 20 i woda wypełnia go w mniej, niż w pięćdziesięciu procentach. Drugi sześcian ma krawędź o długości 12 i jest niemal cały wypełniony wodą. Trzeci sześcian jest mniejszy pierwszego i większy od drugiego, jest pusty i ma krawędź o długości a.

Obliczamy objętość wody w obu naczyniach:

$V_{1} = \frac{7}{20} \cdot 20^{3} = 2800 {cm}^{3}$ oraz $V_{2} = \frac{3}{4} \cdot 12^{3} = 1296 {cm}^{3}$ .

Sumując te objętości otrzymamy pojemność trzeciego naczynia:

$V = 2800 + 1296 = 4096 {cm}^{3} = 4, 096 l$ .

Ponieważ $V = a^{3}$ , to krawędź trzeciego naczynia ma długość $a = \sqrt[3]{4096} = 16 cm$ .

Ćwiczenie 6

Panu Zaradnemu został jeden drewniany sześcienny klocek o krawędzi $10 cm$ . Z jednego z wierzchołków odciął część w taki sposób, że każdej ze ścian z tego wierzchołka odciął trójkąt prostokątny o przyprostokątnej długości $4 cm$ (patrz rysunek). Czy większą powierzchnię Pan Zaradny miał do pomalowania przed odcięciem, czy po odcięciu części? O ile różniły się oba pola powierzchni od siebie? Zaokrąglij wynik do $0, 1 {cm}^{2}$ .

R9xjcM0Usfvz4

Na ilustracji przedstawiono sześcienny klocek. Kolorem fioletowym zaznaczono ostrosłup trójkątny, który odcięto z bryły. Wierzchołek ostrosłupa pokrywa się z wierzchołkiem górnej podstawy, a jego ściany przylegają do ścian sześcianu.

Pan Zaradny odciął odciął ostrosłup, w którym ściany boczne to trójkąty prostokątne o przyprostokątnych długości $4 cm$ .

Pole powierzchni do pomalowania tej części wynosiło więc

$P = 3 \cdot \frac{4 \cdot 4}{2} = 24 {cm}^{2}$ .

Po odcięciu powstaje trójkąt równoboczny o boku $4 \sqrt{2} cm$ .

Jego pole wynosi $P = \frac{32 \sqrt{3}}{4} = 8 \sqrt{3} {cm}^{2}$ .

Przed odcięciem powierzchnia była większa o $24 - 8 \sqrt{3} \approx 10, 1 {cm}^{2}$ .

Ćwiczenie 7

Dwa sześcienne pudełka mają krawędzie różniące się o $2 cm$ . Ich pola powierzchni różnią się o $312 {cm}^{2}$ . Ile papieru zużyjemy na zapakowanie tych pudełek w ozdobny papier? Uwzględnij $2 {dm}^{2}$ na zakładki dla obu pudełek.

Oznaczmy krawędź mniejszego sześcianu przez $a$ .

Wtedy krawędź większego sześcianu wynosi $a + 2$ .

Pola powierzchni tych sześcianów będą wynosić

$P_{c 1} = 6 a^{2}$ oraz $P_{c 2} = 6 \cdot {(a + 2)}^{2}$ .

Zależność między tymi polami powierzchni można zapisać w postaci

$6 a^{2} = 6 \cdot {(a + 2)}^{2} - 312$ .

Rozwiążmy powstałe równanie:

$6 a^{2} = 6 \cdot (a^{2} + 4 a + 4) - 312$

$6 a^{2} = 6 a^{2} + 24 a + 24 - 312$

$24 a = 288 | : 24$

$a = 12$ .

Mamy zatem

$P_{c 1} = 6 \cdot 12^{2} = 864 {cm}^{2} = 8, 64 {dm}^{2}$ oraz $P_{c 2} = 1176 {cm}^{2} = 11, 76 {dm}^{2}$ .

Łącznie wraz z zakładkami potrzebujemy

$8, 64 + 11, 76 + 2 = 22, 4 {dm}^{2}$ .

Ćwiczenie 8

Do dwóch naczyń w kształcie sześcianu, których krawędzie różnią się o $4 cm$ włożono kolejno tę samą słomkę. Na rysunku poniżej przedstawiono jej położenie w obu naczyniach.

R1LfDUm7FsNaV

Na ilustracji przedstawiono dwa sześciany, różniące się długością krawędzi o 4 centymetry. W mniejszym sześcianie zaznaczono przekątną bryły. W większym sześcianie zaznaczono przekątną podstawy.

Na opakowaniu napisano, że słomki mają długość $30 cm$ . Oblicz błąd bezwzględny długości użytej słomki do długości podanej na opakowaniu. Wynik podaj zaokrąglony do części dziesiątych przybliżenia .

Oznaczmy krawędź pierwszego sześcianu przez $a$ , a długość słomki przez $d$ .

Dla pierwszego sześcianu słomka stanowi przekątną bryły, czyli $d = a \sqrt{3}$ .

Dla drugiego sześcianu, którego krawędź ma długość $a + 4$ słomka jest przekątną podstawy, więc $d = (a + 4) \sqrt{2}$ .

Otrzymujemy więc równanie $a \sqrt{3} = (a + 4) \sqrt{2}$ .

Rozwiążemy to równanie krok po kroku:

$a \sqrt{3} = a \sqrt{2} + 4 \sqrt{2}$

$a \sqrt{3} - a \sqrt{2} = 4 \sqrt{2}$

$a (\sqrt{3} - \sqrt{2}) = 4 \sqrt{2} | : (\sqrt{3} - \sqrt{2})$

$a = \frac{4 \sqrt{2}}{\sqrt{3} - \sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{3} + \sqrt{2}}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} = 4 \sqrt{6} + 8$ .

A zatem długość słomki wynosi $a \sqrt{3} = 12 \sqrt{2} + 8 \sqrt{3} \approx 30, 8 cm$ .

Błąd bezwzględny: $|30, 8 - 30| = 0, 8 cm$ .

Animacja 3D

Dla nauczyciela