Sprawdź się

Pokaż ćwiczenia:

RYkChDul7PMTh1

Ćwiczenie 1

Czy znając tylko mimośród i wielką półoś orbity, potrafisz obliczyć odległości do peryhelium i aphelium?

Odpowiedź: {#tak} / {nie}

RzM3ZOtfSm9351

Ćwiczenie 2

Które prawo Keplera pozwoli obliczyć masę gwiazdy centralnej w układzie planetarnym?

Ćwiczenie 3

R1WrF38P7U33h

Kometa Hale-Bopp jest jedną z najdłużej obserwowanych komet 20 wieku. Jest to jedna z najjaśniejszych znanych komet Układu Słonecznego. Wiadomo, że, znajduje się ona najbliżej Słońca w odległości zaledwie 0,9174 AU, a odległość największa wynosi 363 AU. Oblicz jej mimośród z dokładnością do części tysięcznych.

Odpowiedź: ............

$r_{a}=a+c,\hspace{2mm}r_{p}=a-c$ , $c = ea$ , więc $r_{a}=a(1+e)$ , $r_{p}=a(1-e)$ , dodatkowo $2a=r_{a}+r_{p}$ .

$e=\frac{r_a-r_P}{r_a+r_p}$

R1bXwmNzfZNUu2

Ćwiczenie 4

Uzupełnij tabelę informacjami o planetach gazowych. Wykorzystaj do obliczeń odpowiednie prawo Keplera. Pamiętaj, że ziemski rok to 365,25 dni, a wielka półoś orbity to 1 AU. Używaj jednostek zgodnych z tymi w tabeli.

Nazwa planety	Odległość od Słońca [AU]	Okres obiegu [dni]
Jowisz	5,20
Saturn		10756
Uran		30707
Neptun	30,07

Ćwiczenie 5

RYrjcatp8DpPK

Oblicz, ile czasu trwa obieg Marsa wokół Słońca, wiedząc, że jego odległość od Słońca wynosi 1,52 AU. Wynik podaj w Ziemskich latach zaokrąglony do części tysięcznych.

Odpowiedź: ............

Stosujemy III prawo Keplera w postaci zależności pomiędzy okresem i promieniem dwóch planet w tym samym układzie: $\frac{T_{1}^{2}}{a_{1}^{3}}=\frac{T_{2}^{2}}{a_{2}^{3}}$ , podstawiając odpowiednio dane Ziemi i Marsa (wielkie półosie orbity w AU, a okresy obiegu w latach).

$\left(T_{Mars}\right)^{2}$ = (1 rok)Indeks górny 2 · (1,52 au)Indeks górny 3 / (1 au)Indeks górny 3

$T_{Mars}$ = 1,874 roku

Ćwiczenie 6

RsynMqpp3c4o0

Fobos, naturalny satelita Marsa, okrąża planetę po prawie kołowej orbicie o promieniu równym 9,4 · 10⁶ m. Wiedząc, że okres obiegu tego satelity wokół Marsa wynosi 7 godzin i 39 minut, wyznacz masę Marsa. W odpowiedzi podaj mnożnik zaokrąglony do części dziesiętnej i wykładnik liczby 10. $G$ = 6,6743 · 10^-11 m³/(kg·s²)

Odpowiedź: $M_{M}$ = ............ · 10^............ kg

Korzystamy z uogólnionego III prawa Keplera: $a^{3}=G\frac{M_{S}+m}{4\pi^{4}}T^{2}$ lecz zamiast masy Słońca używamy masy Marsa. Ponieważ masa Fobosa jest znikomo mała w porównaniu z masą planety, to sumę mas przybliżamy masą Marsa i przekształcamy wzór do uproszczonej postaci $M_{M}=\frac{4\pi^{2}}{GT^{2}}a^{3}$ .

Podstawiamy dane z zadania. Dostajemy wynik $M_{M}$ = 6,5 · 10Indeks górny 23 kg.

Ćwiczenie 7

R8C78P3pzZCcS

Wokół Ziemi krążą dwa sztuczne satelity o podobnych orbitach. Pierwszy znajduje się na orbicie, której wielka półoś jest krótsza o 1000 km od wielkiej półosi orbity drugiego satelity $a_{2}$ = 10000 km. Okres obiegu drugiego satelity wynosi około 112 minut. Oblicz okres obiegu pierwszego satelity. Wynik podaj w zaokrągleniu do pełnych minut.

Odpowiedź: ............ minut

Z III prawa Keplera wiemy, że

$\frac{T_1^2}{a_1^3}=\frac{T_2^2}{a_2^3}$

Z warunków zadania:

$a_2-a_1=d=1000\text{ km}$

Mamy więc:

$\frac{T_1^2}{(a_2-d)^3}=\frac{T_2^2}{a_2^3}$

Po przekształceniu otrzymujemy:

$T_{1}=T_{2}\sqrt{\frac{(a_{2}-d)^{3}}{a_{2}^{3}}}.$

Podstawiamy dane z zadania i otrzymujemy wynik $T_{1}$ = 95,63 min.

Podstawiając dane liczbowe od razu do III prawa Keplera (czyli do pierwszego z równań) możemy wynik końcowy uzyskać prościej:

$\frac{T_1^2}{9000\text{ km}}=\frac{(112\text{ min})^2}{10000\text{ km}}$

Wobec tego:

$T_1=112\text{ min}\sqrt{(0,9)^3}=95,63$

Ćwiczenie 8

R14uTF3ldyIUJ

Współczesne, uogólnione III prawo Keplera pozwoliło na określenie masy czarnej dziury znajdującej się w centrum Drogi Mlecznej. Za jej odkrycie dwoje astronomów, Reinhard Genzel i Andrea Ghez, otrzymało w 2020 roku nagrodę Nobla. Oblicz masę tej czarnej dziury M_cd wiedząc, że jedna z gwiazd obiega środek Galaktyki w ciągu 15 lat w średniej odległości 900 a.u. od centrum. Przyjmij, że w obliczeniach masę tej gwiazdy można zaniedbać w porównaniu z masą czarnej dziury. Do obliczeń przyjmij, że wartość stałem grawitacji wynosi

G \approx 4 π^{2} \frac{{(a . u .)}^{3}}{m_{s} {(l a t)}^{2}}

, gdzie m_s, to masa Sońca. Masa czarnej dziury M_cd = Tu uzupełnij m_s.

Wykorzystamy uogólnione III prawo Keplera w postaci zapisanej w części „Warto przeczytać”:

$\frac{a^3}{T^2}=G\frac{M_{cd}+m_g}{4\pi^2}\approx G\frac{M_{cd}}{4\pi^2}$

Masa czarnej dziury w centrum naszej Galaktyki wynosi więc:

$M_{cd}=\frac{(900\text{ a.u.})^3}{(15\text{ lat})^2}\frac{4\pi^2}{G}=3,24\text{ mln }m_s$

Aktualnie przyjmuje się, że masa czarnej dziury w centrum Drogi Mlecznej wynosi 4,3 mln mas Słońca. Jest to efektem uśrednienia wyników obserwacji 28 gwiazd.

Film samouczek

Dla nauczyciela