Sprawdź się

Pokaż ćwiczenia:

RXlHYJQvz2Xlj1

Ćwiczenie 1

Zaznacz poprawną odpowiedź. Równanie $\frac{x - m}{x + m} = 2$ nie ma rozwiązania dla:

$m = 0$
$m = - 1$
$m = 1$

R3MDm4CNaVqOD1

Ćwiczenie 2

Dane jest równanie wymierne $\frac{m x}{x - 3} = 1$ , gdzie $m \in ℝ$ . Zaznacz zdania, które są prawdziwe.

Dla $m \neq 1$ oraz $m \neq 0$ równanie ma zawsze jedno rozwiązanie.
Równanie ma zawsze nieskończenie wiele rozwiązań.
Jeżeli $m = 2$ , to rozwiązaniem równania jest liczba $3$ .
Dla $m = 1$ równanie jest sprzeczne.

R1SUv22a1wYjF2

Ćwiczenie 3

Dane jest równanie

\frac{m x - m}{x} = m^{2}

, gdzie

m \in ℝ

. Połącz w pary wartość parametru

m

z odpowiadającą mu liczbą rozwiązań równania:

m = 1

Możliwe odpowiedzi: 1. brak rozwiązań, 2. jedno rozwiązanie, 3. nieskończenie wiele rozwiązań

m = 0

Możliwe odpowiedzi: 1. brak rozwiązań, 2. jedno rozwiązanie, 3. nieskończenie wiele rozwiązań

m \neq 0 \land m \neq 1

Możliwe odpowiedzi: 1. brak rozwiązań, 2. jedno rozwiązanie, 3. nieskończenie wiele rozwiązań

Dane jest równanie $\frac{m x - m}{x} = m^{2}$ , gdzie $m \in ℝ$ . Połącz w pary wartość parametru $m$ z odpowiadającą mu liczbą rozwiązań równania:

brak rozwiązań, nieskończenie wiele rozwiązań, jedno rozwiązanie

$m = 1$
$m = 0$
$m \neq 0 \land m \neq 1$

R1Cq1vpFsrSff2

Ćwiczenie 4

Uzupełnij tekst odpowiednimi liczbami.

Jeżeli miejscem zerowym funkcji określonej wzorem $f (x) = \frac{x^{3} + m x^{2} - 13 x - 10}{x - 2}$ jest liczba $5$ , to $m =$ .............
Jeżeli miejscem zerowym funkcji określonej wzorem $f (x) = \frac{(- 4 m + 16) x}{x - 3}$ jest liczba $2$ , to $m =$ .............
Jeżeli miejscem zerowym funkcji określonej wzorem $f (x) = \frac{(- m + 2) x + 8}{x + 1}$ jest liczba $(- 2)$ , to $m =$ .............

RI24lbfazWUtH21

Ćwiczenie 5

Wstaw w tekst odpowiednie liczby.

$- 2$ , $\frac{- 17}{4}$ , $1$ , $2$ , $0$ , $- 1$

Równanie $\frac{x^{2} - x - m}{x + 1} = 2$ ma dwa rozwiązania, gdy $m \in ($ ............ $,$ ............ $) \cup (2, \infty)$ .
Równanie $\frac{x^{2} - m}{x} = 2$ ma dwa rozwiązania, gdy $m \in ($ ............ $,$ ............ $) \cup (0, \infty)$ .

Ćwiczenie 6

Wykaż, że równanie $\frac{x}{x - a} = \frac{a - 1}{x}$ ma dokładnie jedno rozwiązanie, gdy $a = - \frac{1}{3}$ .

Ustalimy dziedzinę równania $\frac{x}{x - a} = \frac{a - 1}{x}$ .

$x - a \neq 0 \land x \neq 0 \Rightarrow x \in ℝ ∖ \{a, 0\}$

Następnie równanie przekształcamy do postaci

$x^{2} = (x - a) (a - 1)$

$x^{2} - (a - 1) x + a^{2} - a = 0$ .

Otrzymaliśmy równanie kwadratowe. Obliczamy jego wyróżnik:

$∆ = {(a - 1)}^{2} - 4 \cdot (a^{2} - a) = a^{2} - 2 a + 1 - 4 a^{2} + 4 a = - 3 a^{2} + 2 a + 1$ .

Równanie ma jedno rozwiązanie, gdy wyróżnik jest równy $0$ .

Zatem $- 3 a^{2} + 2 a + 1 = 0$ , więc $a \in \{- \frac{1}{3}, 1\}$ .

Jeżeli $x = 0$ , to $a^{2} - a = 0$ .

Zatem $a \in \{0, 1\}$ .

Jeżeli $x = a$ , to $a^{2} = 0$ , więc $a = 0$ .

Wobec tego rozpatrywane równanie ma dokładnie jedno rozwiązanie dla $a = - \frac{1}{3}$ .

Ćwiczenie 7

Wyznacz, dla jakich wartości parametru $m$ równanie $\frac{- x^{2} - 2 m x + m^{2} - 1}{x} = 0$ ma dwa różne pierwiastki dodatnie.

Ustalimy dziedzinę równania $\frac{- x^{2} - 2 m x + m^{2} - 1}{x} = 0$ .

$x \neq 0 \Rightarrow x \in ℝ ∖ \{0\}$

W celu ustalenia liczby rozwiązań podanego równania, rozpatrujemy liczbę rozwiązań równania $- x^{2} - 2 m x + m^{2} - 1 = 0$ .

Otrzymaliśmy równanie kwadratowe. Równanie kwadratowe ma dwa różne pierwiastki $x_{1}$ oraz $x_{2}$ , które są dodatnie, gdy spełnione są następujące warunki:

$\{\begin{cases} ∆ > 0 \\ x_{1} + x_{2} > 0 \\ x_{1} \cdot x_{2} > 0 \end{cases}$ .

Obliczamy wyróżnik:

$∆ = {(- 2 m)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (m^{2} - 1) = 4 m^{2} + 4 m^{2} - 4 = 8 m^{2} - 4$

$8 m^{2} - 4 > 0 \Rightarrow m \in (- \infty, - \frac{\sqrt{2}}{2}) \cup (\frac{\sqrt{2}}{2}, \infty)$ .

Do wyznaczenia wartości parametru $m$ z pozostałych warunków, użyjemy wzorów Viete'a.

Zatem:

$x_{1} + x_{2} > 0 \Rightarrow \frac{2 m}{- 1} > 0 \Rightarrow m < 0 \Rightarrow m \in (- \infty, 0)$ ,

$x_{1} \cdot x_{2} > 0 \Rightarrow \frac{m^{2} - 1}{- 1} > 0 \Rightarrow m \in (- 1, 1)$ .

Dla $x = 0$ mamy $m^{2} - 1 = 0$ , czyli $m \in \{- 1, 1\}$ .

Wobec tego rozpatrywane równanie ma dwa różne rozwiązania dodatnie, gdy $m \in (- 1, - \frac{\sqrt{2}}{2})$ .

Ćwiczenie 8

Określ liczbę rozwiązań równania $\frac{m - 2}{x - 1} = 4 x$ w zależności od wartości parametru $m$ , gdzie $m \in ℝ$ .

Ustalimy dziedzinę równania $\frac{m - 2}{x - 1} = 4 x$ .

$x - 1 \neq 0 \Rightarrow x \in ℝ ∖ \{1\}$

Mnożymy obie strony równania przez wyrażenie $x - 1$ .

Zatem

$4 x^{2} - 4 x - m + 2 = 0$ .

Otrzymaliśmy równanie kwadratowe, zatem obliczamy jego wyróżnik.

$∆ = {(- 4)}^{2} - 4 \cdot 4 \cdot (- m + 2) = 16 + 16 m - 32 = 16 m - 16$

Wobec tego równanie:

ma dwa rozwiązania, gdy $∆ > 0$
$16 m - 16 > 0 \Rightarrow m > 1 \Rightarrow m \in (1, \infty)$ ,

jedno rozwiązanie, gdy $∆ = 0$
$16 m - 16 = 0 \Rightarrow m = 1$ ,

nie ma rozwiązania, gdy $∆ < 0$
$16 m - 16 < 0 \Rightarrow m < 1 \Rightarrow m \in (- \infty, 1)$ .

Sprawdzimy, dla jakiej wartości parametru $m$ rozwiązaniem równania jest liczba $1$ .

Mamy:

$4 \cdot 1^{2} - 4 \cdot 1 - m + 2 = 0 \Rightarrow m = 2$ .

Zatem równanie ma dwa rozwiązania, gdy $m \in (1, 2) \cup (2, \infty)$ , jedno rozwiązanie, gdy $m = 1$ oraz nie ma rozwiązania, gdy $m \in (- \infty, 1)$ .

Animacja

Dla nauczyciela