Sprawdź się

Pokaż ćwiczenia:

R1L4fzEIxbbhH1

Ćwiczenie 1

Podaną trójkę liczb oznaczającą długości boków trójkąta wrzuć do odpowiedniego pojemnika: Trójkąt prostokątny Możliwe odpowiedzi: 1. nawias, cztery, przecinek, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, przecinek, pierwiastek kwadratowy z dziewiętnaście koniec pierwiastka, zamknięcie nawiasu, 2. nawias, pięć przecinek pięć, przecinek, osiem, zamknięcie nawiasu, 3. nawias, pięć przecinek pięć, przecinek, sześć, zamknięcie nawiasu, 4. nawias, dziewięć przecinek jeden dwa, przecinek, szesnaście, zamknięcie nawiasu, 5. nawias, trzy, przecinek, pierwiastek kwadratowy z pięć koniec pierwiastka, przecinek, cztery, zamknięcie nawiasu, 6. nawias, dziewięć przecinek jeden dwa, przecinek, czternaście, zamknięcie nawiasu, 7. nawias, dwa przecinek trzy, przecinek, cztery, zamknięcie nawiasu, 8. nawias, dziewięć przecinek jeden dwa, przecinek, piętnaście, zamknięcie nawiasu, 9. nawias, jeden przecinek pięć, przecinek, pięć, zamknięcie nawiasu, 10. nawias, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, przecinek, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, przecinek, pierwiastek kwadratowy z sześć koniec pierwiastka, zamknięcie nawiasu, 11. nawias, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, przecinek, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, przecinek, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, zamknięcie nawiasu, 12. nawias, dwa przecinek trzy, przecinek, pierwiastek kwadratowy z trzynaście koniec pierwiastka, zamknięcie nawiasu Trójkąt rozwartokątny Możliwe odpowiedzi: 1. nawias, cztery, przecinek, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, przecinek, pierwiastek kwadratowy z dziewiętnaście koniec pierwiastka, zamknięcie nawiasu, 2. nawias, pięć przecinek pięć, przecinek, osiem, zamknięcie nawiasu, 3. nawias, pięć przecinek pięć, przecinek, sześć, zamknięcie nawiasu, 4. nawias, dziewięć przecinek jeden dwa, przecinek, szesnaście, zamknięcie nawiasu, 5. nawias, trzy, przecinek, pierwiastek kwadratowy z pięć koniec pierwiastka, przecinek, cztery, zamknięcie nawiasu, 6. nawias, dziewięć przecinek jeden dwa, przecinek, czternaście, zamknięcie nawiasu, 7. nawias, dwa przecinek trzy, przecinek, cztery, zamknięcie nawiasu, 8. nawias, dziewięć przecinek jeden dwa, przecinek, piętnaście, zamknięcie nawiasu, 9. nawias, jeden przecinek pięć, przecinek, pięć, zamknięcie nawiasu, 10. nawias, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, przecinek, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, przecinek, pierwiastek kwadratowy z sześć koniec pierwiastka, zamknięcie nawiasu, 11. nawias, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, przecinek, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, przecinek, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, zamknięcie nawiasu, 12. nawias, dwa przecinek trzy, przecinek, pierwiastek kwadratowy z trzynaście koniec pierwiastka, zamknięcie nawiasu Trójkąt ostrokątny Możliwe odpowiedzi: 1. nawias, cztery, przecinek, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, przecinek, pierwiastek kwadratowy z dziewiętnaście koniec pierwiastka, zamknięcie nawiasu, 2. nawias, pięć przecinek pięć, przecinek, osiem, zamknięcie nawiasu, 3. nawias, pięć przecinek pięć, przecinek, sześć, zamknięcie nawiasu, 4. nawias, dziewięć przecinek jeden dwa, przecinek, szesnaście, zamknięcie nawiasu, 5. nawias, trzy, przecinek, pierwiastek kwadratowy z pięć koniec pierwiastka, przecinek, cztery, zamknięcie nawiasu, 6. nawias, dziewięć przecinek jeden dwa, przecinek, czternaście, zamknięcie nawiasu, 7. nawias, dwa przecinek trzy, przecinek, cztery, zamknięcie nawiasu, 8. nawias, dziewięć przecinek jeden dwa, przecinek, piętnaście, zamknięcie nawiasu, 9. nawias, jeden przecinek pięć, przecinek, pięć, zamknięcie nawiasu, 10. nawias, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, przecinek, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, przecinek, pierwiastek kwadratowy z sześć koniec pierwiastka, zamknięcie nawiasu, 11. nawias, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, przecinek, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, przecinek, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, zamknięcie nawiasu, 12. nawias, dwa przecinek trzy, przecinek, pierwiastek kwadratowy z trzynaście koniec pierwiastka, zamknięcie nawiasu

Ćwiczenie 2

Na rysunku punkt $E$ jest punktem przecięcia prostopadłych odcinków $A B$ i $C D$ o długościach $10$ i $6$ odpowiednio. Ponadto $|E F| = 1$ , $|E G| = 2$ , $|E D| = 3$ , $|E B| = 4$ .

R1dduXgOChzfR

Na ilustracji przedstawiono poziomy odcinek AB, oraz prostopadły do niego odcinek CD. Odcinki przecinają się w punkcie E. Na odcinku AE zaznaczono punkt G, znajdujący się w odległości równej dwa od punktu przecięcia E. Na odcinku CE zaznaczono punkt F, znajdujący się w odległości równej jeden od punktu przecięcia E. Odcinek EB wynosi cztery, natomiast odcinek ED wynosi trzy.

Wtedy:

R1LIdflZUEi5n

Rjoxs2abKMCfP

RSSJdtrpyYUYe

R14vYH64HCnz6

R1LIdflZUEi5n

Rjoxs2abKMCfP

RSSJdtrpyYUYe

R14vYH64HCnz6

Ćwiczenie 3

Trójkąt $A B C$ ma boki długości $|A B| = 6$ , $|A C| = 10$ . Jaką długość powinien mieć bok $|B C|$ , aby trójkąt był prostokątny?

Przeciwprostokątna w trójkącie prostokątnym jest najdłuższym bokiem. Ponieważ $|A B| < |A C|$ , to kąt prosty może być tylko przy wierzchołkach $A$ lub $B$ .

Jeżeli kąt prosty jest przy wierzchołku $A$ , to $B C$ jest najdłuższym bokiem i wtedy

${|A B|}^{2} + {|A C|}^{2} = {|B C|}^{2}$ . Czyli ${|B C|}^{2} = 100 + 36 = 136$ , więc $|B C| = \sqrt{136} = 2 \sqrt{34}$ .

Jeżeli kąt prosty jest przy wierzchołku $B$ , to $A C$ jest najdłuższym bokiem i wtedy

${|A B|}^{2} + {|B C|}^{2} = {|A C|}^{2}$ . Czyli ${|B C|}^{2} = 100 - 36 = 64$ , więc $|B C| = \sqrt{64} = 8$ .

Bok $B C$ powinien mieć długość $2 \sqrt{34}$ lub $8$ .

Ćwiczenie 4

Trójkąt $A B C$ ma boki długości $|A B| = 16$ , $|A C| = 20$ . Jaką długość powinien mieć bok $|B C|$ , aby trójkąt był ostrokątny.

Ponieważ bok o maksymalnej długości leży naprzeciwko maksymalnego kąta i $|A B| < |A C|$ , to $A C$ lub $B C$ jest bokiem maksymalnej długości.

Jeżeli $B C$ jest bokiem o maksymalnej długości i trójkąt jest ostrokątny, to $|B C| \geq 20$ i ${|B C|}^{2} < {|A B|}^{2} + {|A C|}^{2} = 400 + 256 = 656$ . Czyli $|B C| < \sqrt{656} = 4 \sqrt{41}$ , więc $20 \leq |B C| < 4 \sqrt{41}$ .

Jeżeli $A C$ jest bokiem o maksymalnej długości i trójkąt jest ostrokątny, to $|B C| \leq 20$ i ${|A C|}^{2} < {|A B|}^{2} + {|B C|}^{2}$ . Czyli ${|B C|}^{2} > 400 - 256 = 144$ , więc $|B C| > \sqrt{144} = 12$ . Zatem $12 < |B C| \leq 20$ .

Ostatecznie, $|B C| \in (12, 20⟩ \cup ⟨20, 4 \sqrt{41}) = (12, 4 \sqrt{41})$

Bok $B C$ powinien mieć długość z przedziału $(12, 4 \sqrt{41})$ .

Ćwiczenie 5

Trójkąt $A B C$ ma boki długości $|A B| = c$ , $|A C| = b$ takie, że $c \geq b$ . Jaką długość powinien mieć bok $|B C|$ , aby trójkąt był rozwartokątny.

Ponieważ w trójkącie rozwartokątnym najdłuższy bok leży naprzeciwko kąta rozwartego i $|A B| \geq |A C|$ , to kąt rozwarty nie może być przy wierzchołku $B$ .

Jeżeli kąt rozwarty jest przy wierzchołku $A$ , to $B C$ jest najdłuższym bokiem i $c < |B C| < b + c$ i ${|B C|}^{2} > {|A B|}^{2} + {|A C|}^{2} = c^{2} + b^{2}$ . Czyli $|B C| > \sqrt{c^{2} + b^{2}} > c$ , więc $\sqrt{c^{2} + b^{2}} < |B C| < b + c$ .

Jeżeli kąt rozwarty jest przy wierzchołku $C$ , to $A B$ jest najdłuższym bokiem i $c - b < |B C| < c$ i ${|A B|}^{2} > {|A C|}^{2} + {|B C|}^{2}$ . Czyli ${|B C|}^{2} < c^{2} - b^{2}$ , więc $|B C| < \sqrt{c^{2} - b^{2}} < c$ , więc $c - b < |B C| < \sqrt{c^{2} - b^{2}}$ .

Ostatecznie, $|B C| \in (c - b, \sqrt{c^{2} - b^{2}}) \cup (\sqrt{c^{2} + b^{2}}, c + b)$

Bok $B C$ powinien mieć długość z zakresu $(c - b, \sqrt{c^{2} - b^{2}}) \cup (\sqrt{c^{2} + b^{2}}, c + b)$ .

Ćwiczenie 6

W trapezie prostokątnym przedstawionym na rysunku podstawa $A B$ jest o $3$ dłuższa od podstawy $D C$ .

RonW4KQa5L9p5

Na ilustracji przedstawiono trapez prostokątny ABCD, z kątem prostym przy wierzchołku A. Górna podstawa DC ma długość 5, natomiast bok AD jest równy trzy. Zaznaczono przekątną AC trapezu.

Oceń jakiego rodzaju trójkątem jest trójkąt $A B C$ .

Wyznaczamy $A C$ z twierdzenia Pitagorasa ${|A C|}^{2} = 3^{2} + 5^{2} = 9 + 25 = 34$ , więc $|A C| = \sqrt{34}$ .

Podstawa $A B$ ma długość $5 + 3 = 8$ . Spodek wysokości poprowadzonej z punktu $C$ jest w odległości $3$ od wierzchołka $B$ . Z twierdzenia Pitagorasa możemy wyznaczyć długość ramienia $C B$ .

${|C B|}^{2} = 3^{2} + 3^{2} = 9 + 9 = 18$ , więc $|C B| = 3 \sqrt{2}$ .

Teraz możemy sprawdzić rodzaj kąta $A C B$ :

${|A C|}^{2} + {|C B|}^{2} = 34 + 18 = 52 < 64 = 8^{2} = {|A B|}^{2}$

Stąd trójkąt $A B C$ jest trójkątem rozwartokątnym.

Ćwiczenie 7

Dłuższa przekątna deltoidu dzieli krótszą przekątną o długości $a$ w połowie. A krótsza przekątna deltoidu dzieli dłuższą przekątną w stosunku $1 : 3$ . Wyznacz dla jakich długości dłuższej przekątnej trójkąty równoramienne, z których składa się deltoid, są ostrokątne.

Warunki zadania przedstawione są na rysunku.

Rb22aQEQhcfbS

Na ilustracji przedstawiono deltoid ABCD. Zaznaczono krótszą przekątną AC, oraz dłuższą przekątną BD. Przekątne przecinają się w punkcie E. Punkt E dzieli dłuższą przekątną w stosunku jeden do trzech. Stąd, długość odcinka BE wynosi x, natomiast długość odcinka ED wynosi 3x. Punkt E, dzieli krótszą przekątną w stosunku jeden do dwóch, stąd długość odcinka AE, oraz EC wynosi a2.

Punkty $B$ i $D$ są punktami na symetralnej krótszej przekątnej. Ponieważ krótsza przekątna deltoidu dzieli dłuższą przekątną w stosunku $1 : 3$ , to odcinki na jakie dzieli się ta przekątna oznaczmy jako $x$ i $3 x$ .

Trójkąt $A B C$ jest ostrokątny, jeśli $2 {|A B|}^{2} > a^{2}$ . Wyznaczymy ${|A B|}^{2}$ z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie $A B E$ .

${|A B|}^{2} = {(\frac{a}{2})}^{2} + x^{2}$

Wstawiając do powyższej nierówności dostajemy $2 {|A B|}^{2} = \frac{a^{2}}{2} + 2 x^{2} > a^{2}$

Stąd $4 x^{2} > a^{2}$ i stąd $x > \frac{a}{2}$ .

Podobne rozważania przeprowadzone dla trójkąta $A D C$ prowadzi do nierówności

$2 {|A D|}^{2} = \frac{a^{2}}{2} + 2 \cdot 9 x^{2} > a^{2}$

Stąd $36 x^{2} > a^{2}$ i stąd $x > \frac{a}{6}$ .

Część wspólna obu rozwiązań, to $x > \frac{a}{2}$ . Stąd $4 x > 2 a$ .

Trójkąty równoramienne w deltoidzie są ostrokątne, jeśli dłuższa przekątna ma długość większą niż $2 a$ .

R10jDsXeiGZEq31

Ćwiczenie 8

Symulacja interaktywna

Dla nauczyciela