Sprawdź się

Pokaż ćwiczenia:

RSupupHZZAjS61

Ćwiczenie 1

Oceń prawdziwość podanych zadań zaznaczając odpowiednio prawdę lub fałsz.

Zdanie	Prawda	Fałsz
Kula o promieniu $3 cm$ jest opisana na sześcianie o krawędzi $2 \sqrt{3} cm$ .	□	□
Kula o promieniu $3 dm$ jest opisana na sześcianie o objętości $27 {dm}^{3}$ .	□	□
Kula o objętości $36 π$ jest opisana na sześcianie o krawędzi $2 \sqrt{3}$ .	□	□

Rloghgu1ieGiq1

Ćwiczenie 2

Oblicz pole powierzchni kuli opisanej na sześcianie o objętości $216 {cm}^{3}$ . Podaj cyfrę setek, dziesiątek i jedności otrzymanego wyniku. Przyjmij przybliżenie $π \approx 3, 14$ .

$P =$ ............

RiNnhlSuS7GXw1

Ćwiczenie 3

Objętość kuli opisanej na sześcianie o powierzchni całkowitej $72$ jest równa:

$36 π$
$7776 π$
$2916 π$
$972 π$

RkGDP0SW4rO4u2

Ćwiczenie 4

Przekrój sześcianu płaszczyzną zawierającą jego przekątną i przekątną podstawy sześcianu jest prostokątem o polu równym

8 \sqrt{2}

. Oblicz objętość kuli opisanej na tym sześcianie. Uzupełnij tekst tak, aby otrzymać rozwiązanie zadania. Zauważmy, że opisany w treści zadania prostokąt jest prostokątem o bokach 1.

R = \sqrt{6}

, 2.

V = \frac{4}{3} π {(\sqrt{6})}^{3}

, 3.

V = 8 \sqrt{6} π

, 4.

a = 2 \sqrt{2}

, 5.

a \sqrt{2}

a

, 6.

a^{2} \sqrt{2} = 8 \sqrt{2}

, 7.

R = \frac{1}{2} a \sqrt{3}

. Wykorzystując podane w zadaniu pole tego prostokąta otrzymujemy równanie 1.

R = \sqrt{6}

, 2.

V = \frac{4}{3} π {(\sqrt{6})}^{3}

, 3.

V = 8 \sqrt{6} π

, 4.

a = 2 \sqrt{2}

, 5.

a \sqrt{2}

a

, 6.

a^{2} \sqrt{2} = 8 \sqrt{2}

, 7.

R = \frac{1}{2} a \sqrt{3}

. Stąd krawędź sześcianu jest równa 1.

R = \sqrt{6}

, 2.

V = \frac{4}{3} π {(\sqrt{6})}^{3}

, 3.

V = 8 \sqrt{6} π

, 4.

a = 2 \sqrt{2}

, 5.

a \sqrt{2}

a

, 6.

a^{2} \sqrt{2} = 8 \sqrt{2}

, 7.

R = \frac{1}{2} a \sqrt{3}

. Promień kuli opisanej na sześcianie jest równy 1.

R = \sqrt{6}

, 2.

V = \frac{4}{3} π {(\sqrt{6})}^{3}

, 3.

V = 8 \sqrt{6} π

, 4.

a = 2 \sqrt{2}

, 5.

a \sqrt{2}

a

, 6.

a^{2} \sqrt{2} = 8 \sqrt{2}

, 7.

R = \frac{1}{2} a \sqrt{3}

, czyli 1.

R = \sqrt{6}

, 2.

V = \frac{4}{3} π {(\sqrt{6})}^{3}

, 3.

V = 8 \sqrt{6} π

, 4.

a = 2 \sqrt{2}

, 5.

a \sqrt{2}

a

, 6.

a^{2} \sqrt{2} = 8 \sqrt{2}

, 7.

R = \frac{1}{2} a \sqrt{3}

. Podstawiając do wzoru na objętość kuli otrzymujemy 1.

R = \sqrt{6}

, 2.

V = \frac{4}{3} π {(\sqrt{6})}^{3}

, 3.

V = 8 \sqrt{6} π

, 4.

a = 2 \sqrt{2}

, 5.

a \sqrt{2}

a

, 6.

a^{2} \sqrt{2} = 8 \sqrt{2}

, 7.

R = \frac{1}{2} a \sqrt{3}

czyli 1.

R = \sqrt{6}

, 2.

V = \frac{4}{3} π {(\sqrt{6})}^{3}

, 3.

V = 8 \sqrt{6} π

, 4.

a = 2 \sqrt{2}

, 5.

a \sqrt{2}

a

, 6.

a^{2} \sqrt{2} = 8 \sqrt{2}

, 7.

R = \frac{1}{2} a \sqrt{3}

Przekrój sześcianu płaszczyzną zawierającą jego przekątną i przekątną podstawy sześcianu jest prostokątem o polu równym $8 \sqrt{2}$ . Oblicz objętość kuli opisanej na tym sześcianie. Uzupełnij tekst tak, aby otrzymać rozwiązanie zadania.

$R = \sqrt{6}$ , $R = \frac{1}{2} a \sqrt{3}$ , $a^{2} \sqrt{2} = 8 \sqrt{2}$ , $V = 8 \sqrt{6} π$ , $a \sqrt{2}$ i $a$ , $V = \frac{4}{3} π {(\sqrt{6})}^{3}$ , $a = 2 \sqrt{2}$

Zauważmy, że opisany w treści zadania prostokąt jest prostokątem o bokach ................. Wykorzystując podane w zadaniu pole tego prostokąta otrzymujemy równanie
................. Stąd krawędź sześcianu jest równa ................. Promień kuli opisanej na sześcianie jest równy ................, czyli ................. Podstawiając do wzoru na objętość kuli otrzymujemy ................ czyli .................

R1effuM6F0REO2

Ćwiczenie 5

Przeciągnij poprawną odpowiedź.

$\frac{2}{π}$ , $\frac{π}{6}$ , $\frac{6}{π}$ , $2 π$ , $\frac{π}{2}$ , $6 π$

Stosunek pola powierzchni sześcianu do pola powierzchni kuli opisanej na tym sześcianie wynosi: ............

R12gxfP48qSYB2

Ćwiczenie 6

Krawędź sześcianu zwiększono $3$ razy. Powierzchnia kuli opisanej na tym sześcianie zwiększy się wówczas dziewięciokrotnie. Wybierz odpowiedź TAK lub NIE i jej uzasadnienie spośród podanych.

TAK czy NIE	Uzasadnienie
TAK □	ponieważ skala podobieństwa $k = 3$ co oznacza, że przekątna sześcianu zwiększy się $3$ razy, zatem promień kuli zwiększy się trzykrotnie. Stąd powierzchnia kuli zwiększy się $6$ –krotnie. □
	ponieważ skala podobieństwa $k = 3$ co oznacza, że pole powierzchni sześcianu zwiększy się $9$ –krotnie, zatem pole powierzchni kuli również zwiększy się $9$ –krotnie. □
NIE □	ponieważ powierzchnia kuli zwiększy się również trzykrotnie. □

Ćwiczenie 7

W pewnym sześcianie długość krawędzi zwiększono o $6$ . Zauważono wówczas, że przekątna tego sześcianu zwiększyła się czterokrotnie. Oblicz o ile zwiększyła się objętość kuli opisanej na tym sześcianie.

Wykonajmy dwa rysunki: dla sytuacji początkowej oraz po zmianach opisanych w zadaniu.

Rysunek dla sytuacji początkowej:

RBegEoJG9aU7a

Ilustracja przedstawia okrąg opisany na prostokącie o krótszym boku długości a oraz dłuższym boku długości a pierwiastków z dwóch. Zaznaczono przekątną tego prostokąta o długości a pierwiastków z trzech, której środek stanowi punkt S.

Przyjmijmy oznaczenia:

$R_{1}$ – promień kuli opisanej na tym sześcianie

$V_{1}$ – objętość kuli opisanej na tym sześcianie

Rysunek po zmianach opisanych w zadaniu

RENCYhKYMo8n0

Ilustracja przedstawia okrąg opisany na prostokącie o krótszym boku długości a plus 6 oraz dłuższym boku długości nawias a dodać sześć zamknięcie nawiasu razy pierwiastek z dwóch. Zaznaczono przekątną tego prostokąta o długości nawias a dodać sześć zamknięcie nawiasu razy pierwiastek z trzech, której środek stanowi punkt S.

Przyjmijmy oznaczenia:

$R_{2}$ – promień kuli opisanej na tym sześcianie

$V_{2}$ – objętość kuli opisanej na tym sześcianie

Na podstawie informacji podanych w treści zadania możemy zapisać równanie

$(a + 6) \sqrt{3} = 4 a \sqrt{3}$

$a + 6 = 4 a$

$a = 2$

Promień kuli opisanej na szecianie o krawędzi $a$ jest równy $R_{1} = \frac{1}{2} \cdot 2 \sqrt{3} = \sqrt{3}$ .

Stąd objętość kuli $V_{1} = \frac{4}{3} π {(\sqrt{3})}^{3} = 4 \sqrt{3} π$ .

Promień kuli opisanej na szecianie o krawędzi $(a + 6)$ jest równy $R_{2} = \frac{1}{2} \cdot 8 \sqrt{3} = 4 \sqrt{3}$ .

Stąd objętość $V_{2} = \frac{4}{3} π {(4 \sqrt{3})}^{3} = 256 \sqrt{3} π$ .

Zatem objętość kuli zwiększyła się o $252 \sqrt{3} π$ .

Ćwiczenie 8

W pewnym sześcianie, przekątna jest o $2$ dłuższa od krawędzi tego sześcianu. Wykaż, że pole powierzchni kuli opisanej na tym sześcianie jest równe $(12 + 6 \sqrt{3}) π$ .

Do rozwiązania zadania wykorzystamy przekrój płaszczyzną przechodzącą przez przekątną podstawy i przekątną sześcianu.

Na rysunku wprowadźmy dane wynikające z treści zadania.

R1DDX4vjSz2xH

Obliczmy długość krawędzi sześcianu wykorzystując twierdzenie Pitagorasa:

${(a + 2)}^{2} = {(a \sqrt{2})}^{2} + a^{2}$

$a^{2} + 4 a + 4 = 2 a^{2} + a^{2}$

$a^{2} - 2 a - 2 = 0$

Rozwiązaniami tego równania są liczby $a_{1} = 1 - \sqrt{3} < 0$ oraz $a_{2} = 1 + \sqrt{3} > 0$ .

Odrzucamy rozwiązanie ujemne i otrzymujemy długość przekątnej sześcianu $a \sqrt{3} = 3 + \sqrt{3}$ .

Stąd $R = \frac{1}{2} a \sqrt{3} = \frac{3 + \sqrt{3}}{2}$ .

Pole powierzchni kuli jest równe $P_{k} = 4 π R^{2} = 4 π \frac{(3 + \sqrt{3})^{2}}{4} = (12 + 6 \sqrt{3}) π$ .

Co należało wykazać.

Symulacja interaktywna

Dla nauczyciela