Sprawdź się

Pokaż ćwiczenia:

Ćwiczenie 1

R1be6B0gFBPii

RQ1tk8DQhEwK7

Ilustracja przedstawia pozioma oś x od minus 3 do 3 i pionową oś y od minus 3 do trzy. W układzie zaznaczono wykres funkcji f. Ma ona kształt hiperboli, której asymptotami są osie układu współrzędnych. Pierwsza część znajduje się w drugiej ćwiartce układu i przechodzi przez punkt nawias minus jeden średnik jeden zamknięcie nawiasu. Druga część znajduje się w czwartej ćwiartce i przechodzi przez punkt nawias jeden średnik minus jeden zamknięcie nawiasu. Możliwe odpowiedzi: 1.

f (x) = - \frac{1}{|x|}

, 2.

f (x) = - \frac{1}{x}

, 3.

f (x) = |- \frac{1}{x}|

Ilustracja przedstawia pozioma oś x od minus 3 do 3 i pionową oś y od minus 3 do trzy. W układzie zaznaczono wykres funkcji f. Wykres składa się z dwóch krzywych, których asymptotami są osie układu współrzędnych. Pierwsza część znajduje się w trzeciej ćwiartce układu, ma kształt łuku wybrzuszonego w stronę środka układu współrzędnych i przechodzi przez punkt nawias minus jeden średnik minus jeden zamknięcie nawiasu. Druga część znajduje się w czwartej ćwiartce, ma kształt łuku wybrzuszonego w stronę środka układu współrzędnych i przechodzi przez punkt nawias jeden średnik minus jeden zamknięcie nawiasu. Możliwe odpowiedzi: 1.

f (x) = - \frac{1}{|x|}

, 2.

f (x) = - \frac{1}{x}

, 3.

f (x) = |- \frac{1}{x}|

Ilustracja przedstawia pozioma oś x od minus 3 do 3 i pionową oś y od minus 3 do trzy. W układzie zaznaczono wykres funkcji f. Wykres składa się z dwóch krzywych, których asymptotami są osie układu współrzędnych. Pierwsza część znajduje się w drugiej ćwiartce układu, ma kształt łuku wybrzuszonego w stronę środka układu współrzędnych i przechodzi przez punkt nawias minus jeden średnik jeden zamknięcie nawiasu. Druga część znajduje się w pierwszej ćwiartce, ma kształt łuku wybrzuszonego w stronę środka układu współrzędnych i przechodzi przez punkt nawias jeden średnik jeden zamknięcie nawiasu. Możliwe odpowiedzi: 1.

f (x) = - \frac{1}{|x|}

, 2.

f (x) = - \frac{1}{x}

, 3.

f (x) = |- \frac{1}{x}|

R1cM1ic1WiQVp1

Ćwiczenie 2

Uzupełnij:

$I$ , $II$ , $IV$ , $III$

Wykres funkcji $f (x) = \frac{π}{"|"x"|" + 1}$ znajduje się w ............ oraz ............ ćwiartce układu współrzędnych.

Ćwiczenie 3

RGWjqAPxtbtvC

R1586mzX9oAU2

Ćwiczenie 4

Dany jest wykres funkcji.

R19osf1JslhUn

Ilustracja przedstawia pozioma oś x od minus 6 do 6 i pionową oś y od minus 4 do sześć. W układzie zaznaczono wykres funkcji y=fx. Wykres składa się z trzech krzywych i posiada trzy asymptoty: x=-1, x=1 oraz y=0. Pierwsza część pojawia się w drugiej ćwiartce nad poziomą asymptotą i biegnie po łuku i wychodzi poza płaszczyznę układu również w drugiej ćwiartce wzdłuż lewej strony asymptoty x=-1. Druga część pojawia się w trzecuej ćwiartce i biegnie po łuku po prawej stronie asymptoty x=-1, pod rzędną minus jeden przecina oś y i biegnie po lewej stronie asymptoty x=-1x=1 i wychodzi poza płaszczyznę układu w czwartej ćwiartce. Trzecia krzywa pojawia się w pierwszej ćwiartce po prawej stronie asymptoty x=1 i biegnie po łuku iwychodzi poza płaszczyznę układu w pierwszej ćwiartce nad poziomą asymptotą.

R9tinzTO44ntJ

Dopasuj wzór do wykresu funkcji.

$f (x) = \frac{\sqrt{2}}{"|"x"|" - 1}$
$f (x) = "|"\frac{\sqrt{2}}{x - 1}"|"$
$f (x) = "|"\frac{\sqrt{2}}{"|"x"|" - 1}"|"$

Ćwiczenie 5

Narysuj wykres funkcji $f (x) = \frac{1}{|x| - 3} - 2$ oraz opisz jej własności.

Opisz wykres funkcji $f (x) = \frac{1}{|x| - 3} - 2$ oraz podaj jej własności.

RWJqfcjvmJoXb

Ilustracja przedstawia pozioma oś x od minus 6 do 6 i pionową oś y od minus 5 do pięć. W układzie zaznaczono dwa wykresy. Pierwszy z nich ma równanie gx=1x−3−2. Wykres ten ma kształt hiperboli, której asymptotami są x=3 i y=-2. Pierwsza część pojawia się pod poziomą asymptotą w trzeciej ćwiartce układu, biegnie po łuku i wychodzi poza płaszczyznę układu po lewej stronie pionowej asymptoty w czwartej ćwiartce układu. Wykres ten namalowano linią przerywaną. Drugi wykres ma równanie fx=1x−3−2, składa się on z trzech części i ma trzy asymptoty: x=-3, x=3 i y=-2. Pierwsza część pojawia się w trzeciej ćwiartce tuż nad pozioma asymptotą, następnie przecina oś x i wychodzi poza płaszczyznę układu w drugiej ćwiartce po lewej stronie asymptoty x=-3. Druga część pojawia się w trzeciej ćwiartce po prawej stronie asymptoty x=-3 i biegnie po łuku przecina oś y tuż pod rzędną równą minus dwa, dalej biegnie również po łuku i wychodzi poza płaszczyznę układu po lewej stronie asymptoty x=3. Trzecia część pojawia się w pierwszej ćwiartce po prawej stronie asymptoty x=3 i biegnie po łuku, przecina oś x i wychodzi poza płaszczyznę układu w czwartej ćwiartce tuż nad poziomą asymptota.

Własności funkcji:

$D_{f} = ℝ ∖ \{- 3; 3\}$
$Z W_{f} = (- \infty, - 2 \frac{1}{3}⟩ \cup (- 2; \infty)$
$x_{0} \in \{- \frac{7}{2}; \frac{7}{2}\}$
funkcja jest rosnąca w przedziałach: $(- \infty; - 3), (- 3; 0)$
funkcja jest malejąca w przedziałach: $(0; 3), (3; \infty)$
równania asymptot: $x = - 3; x = 3; y = - 2$
$f (x) > 0 \Leftrightarrow x \in (- \frac{7}{2}; - 3) \cup (3; \frac{7}{2})$
$f (x) < 0 \Leftrightarrow x \in (- \infty; - \frac{7}{2}) \cup (- 3; 3) \cup (\frac{7}{2}; \infty)$
funkcja jest parzysta;

Rh5NWQD2FvwlJ2

Ćwiczenie 6

Wskaż funkcje parzyste.

$f (x) = \frac{\sqrt{5} + 3}{"|"x"|" + 2} + π$
$f (x) = "|"\frac{- 5}{x} - 4"|"$
$f (x) = "|"\frac{2}{x - 5}"|"$
$f (x) = "|"\frac{π}{"|"x"|" - 4}"|" - 3$

RTnxHUaWlr7Ol3

Ćwiczenie 7

Podaj zbiór wartości funkcji $f (x) = \frac{"|"x"|" + 2}{"|"x"|" - 2}$ .

$(- \infty; - 1"⟩" \cup (1; \infty)$
$ℝ ∖ "{"1"}"$
$ℝ ∖ "{"- 2; 2"}"$

Ćwiczenie 8

RrnCUpiV3zx3y

Uzupełnij dane dotyczące funkcji $f (x) = \frac{- 2 "|"x"|" + 1}{"|"x"|" - 1}$ .

$(0; 1)$ , $(- 1; 0)$ , ---, $x = 1, x = - 1$ , $(- \infty; - 1) \cup (- 1; 0),$ $(0; 1) \cup (1; \infty)$

przedział, w którym funkcja jest rosnąca	przedział, w którym funkcja jest malejąca	miejsca zerowe
$(0; 1)$
	$(- 1; 0)$	---

f (x) = \frac{- 2 x + 1}{x - 1} = \frac{- 2 (x - 1) - 1}{x - 1} = - 2 - \frac{1}{x - 1}

RFV1vqWniWf2B

Ilustracja przedstawia pozioma oś x od minus 6 do 6 i pionową oś y od minus 4 do pięć. W układzie zaznaczono wykres funkcji gx=−2x+1x−1. Wykres ma kształt hiperboli, której asymptotami są x=1 oraz y=-2. Pierwsza część przechodzi przez trzecią, czwartą i pierwszą ćwiartkę. Przechodzi ona przez punkt nawias zero średnik minus jeden zamknięcie nawiasu. Druga część w całości znajduje się w czwartej ćwiartce i przechodzi przez punkt nawias dwa średnik minus trzy.

R1PVCEslJcF0M

Ilustracja przedstawia pozioma oś x od minus 6 do 6 i pionową oś y od minus 4 do pięć. W układzie zaznaczono wykres funkcji fx=−2x+1x−1. Wykres składa się z trzech krzywych i posiada trzy asymptoty: x=-1, x=1 oraz y=-2. Pierwsza część pojawia się w trzeciej ćwiartce pod poziomą asymptotą, biegnie po łuku i wychodzi poza płaszczyznę układu w również trzeciej ćwiartce wzdłuż lewej strony asymptoty x=-1. Druga część pojawia się w drugiej ćwiartce i biegnie po łuku po prawej stronie asymptoty x=-1 w punkcie nawias zero średnik minus jeden zamknięcie nawiasu przecina oś y i biegnie po lewej stronie asymptoty x=1 następnie wychodzi poza płaszczyznę układu w pierwszej ćwiartce. Trzecia krzywa pojawia się w czwartej ćwiartce po prawej stronie asymptoty x=1 i biegnie po następnie wychodzi poza płaszczyznę układu w drugiej ćwiartce pod poziomą asymptotą.

funkcja $f$ jest rosnąca w przedziałach: $(0; 1)$ , $(1; \infty)$ ,
malejąca w przedziałach: $(- \infty; - 1)$ , $(- 1; 0)$ ,
miejsca zerowe: $x = - \frac{1}{2}$ oraz $x = \frac{1}{2}$ ,

Ćwiczenie 9

RJrkDdc3NDqFN

Wskaż własności funkcji $f (x) = "|"\frac{3 "|"x"|" - 3}{"|"x"|" - 2}"|"$ :

funkcja jest parzysta
równania asymptot: $y = 2$ , $y = - 2$ , $x = 3$
$Z W_{f} = ℝ$
$D_{f} = ℝ \ "{"- 2; 2"}"$
równania asymptot: $x = 2$ , $x = - 2$ , $y = 3$
$Z W_{f} = "⟨"0; \infty)$
funkcja jest rosnąca w przedziałach: $(- \infty; - 2)$ , $(- 1; 0)$ , $(1, 2)$
funkcja jest malejąca w przedziałach: $(- \infty; - 2)$ , $(- 1; 0)$ , $(1, 2)$
wykres funkcji $f$ powstał w wyniku przekształceń funkcji $y = - \frac{3}{x}$
wykres funkcji $f$ powstał w wyniku przekształceń pewnej funkcji, m.in. przesunięcia o wektor $\vec{v} = "["2; 3"]"$

Kolejne etapy powstawania wykresu funkcji przedstawiają rysunki:

R1FPXgThkuIT5

Ilustracja przedstawia pozioma oś x od minus 6 do 6 i pionową oś y od minus 1 do siedem. W układzie zaznaczono wykres funkcji rx=3x−3x−2. Wykres ma kształt hiperboli, której asymptotami są x=2 oraz y=3 . Pierwsza część przechodzi przez drugą i czwartą ćwiartkę. Przechodzi ona przez punkt nawias jeden średnik zero zamknięcie nawiasu. Druga część w całości znajduje się w pierwszej ćwiartce i przechodzi przez punkt nawias trzy średnik sześć zamknięcie nawiasu.

RJ1tU5XgNwv2B

Ilustracja przedstawia pozioma oś x od minus 6 do 6 i pionową oś y od minus 1 do siedem. W układzie zaznaczono wykres funkcji qx=3x−3x−2. Wykres składa się z trzech krzywych i posiada trzy asymptoty: x=-2, x=2 oraz y=3. Pierwsza część pojawia się w drugiej ćwiartce nad poziomą asymptotą i biegnie po łuku i wychodzi poza płaszczyznę układu również w drugiej ćwiartce wzdłuż lewej strony asymptoty x=-1. Druga część pojawia się w trzeciej ćwiartce i biegnie po łuku po prawej stronie asymptoty x=-1, pod rzędną dwa przecina oś y i biegnie po lewej stronie asymptoty x=-1x=1, wychodzi poza płaszczyznę układu w czwartej ćwiartce. Trzecia krzywa pojawia się w pierwszej ćwiartce po prawej stronie asymptoty x=1 i biegnie po łuku i wychodzi poza płaszczyznę układu w pierwszej ćwiartce nad poziomą asymptotą.

R1CfYFRCOsXmW

Ilustracja przedstawia pozioma oś x od minus 6 do 6 i pionową oś y od minus 1 do siedem. W układzie zaznaczono wykres funkcji px=3x−3x−2. Wykres składa się z trzech krzywych i posiada trzy asymptoty: x=-2, x=2 oraz y=3. Pierwsza część pojawia się w drugiej ćwiartce nad poziomą asymptotą, biegnie po łuku i wychodzi poza płaszczyznę układu w również drugiej ćwiartce wzdłuż lewej strony asymptoty x=-2. Druga część pojawia się w drugiej ćwiartce i biegnie po łuku po prawej stronie asymptoty x=-1 w punkcie nawias zero średnik minus jeden zamknięcie nawiasu dotyka osi y, dalej biegnie po łuku do osi x, nad rzędną jeden przecina oś i biegnie po łuku do punktu nawias jeden średnik zero zamknięcie nawiasu, dalej biegnie po lewej stronie asymptoty x=2 następnie wychodzi poza płaszczyznę układu w pierwszej ćwiartce. Trzecia krzywa pojawia się w pierwszej ćwiartce po prawej stronie asymptoty x=1 i biegnie po łuku następnie wychodzi poza płaszczyznę układu również w pierwszej ćwiartce nad poziomą asymptotą.

Animacja

Dla nauczyciela