Sprawdź się

Pokaż ćwiczenia:

Ćwiczenie 1

Ra2tkc6hD8skF

RLcwmzmTztXqV

Ćwiczenie 2

Trójkąt równoboczny o boku $8 cm$ jest siatką czworościanu foremnego. Wysokość ściany czworościanu foremnego ma długość:

R16z3hu3TgQZc

Na ilustracji przedstawiono trójkąt równoboczny A B C o boku długości 8 centymetrów. Wewnątrz trójkąta A B C zacieniowano trójkąt równoboczny D E F, którego wierzchołki stanowią środki boków trójkąta A B C.

R1EZF7RJVMZD6

Zaznacz poprawną odpowiedź.

$4 \sqrt{3}$
$\sqrt{3}$
$2 \sqrt{2}$
$2 \sqrt{3}$

R1JrlKTy8TIsU2

Ćwiczenie 3

Zaznacz poprawną odpowiedź. Pole powierzchni czworościanu foremnego o boku długości $a$ obliczamy ze wzoru:

$P = \frac{a^{2} \sqrt{3}}{4}$
$P = a^{2} \sqrt{6}$
$P = a^{2} \sqrt{3}$
$P = \frac{a^{2}}{2} \sqrt{3}$

R7eWFnsnlEPRC2

Ćwiczenie 4

Połącz parami: pole siatki czworościanu foremnego i długość krawędzi czworościanu zbudowanego z tej siatki.

$P = 16 \sqrt{3}$
$P = 12 \sqrt{3}$
$P = 96 \sqrt{3}$
$P = 4 \sqrt{3}$

Ćwiczenie 5

Pole powierzchni całkowitej czworościanu foremnego jest równe $16 \sqrt{3}$ . Oblicz długość krawędzi bryły.

Doskonale wiemy, że na pole całkowite bryły składa się pole podstawy oraz pole powierzchni bocznej (suma pól ścian bryły).

W czworościanie foremnym wszystkie ściany są trójkątami równobocznymi, zatem:

$P_{c} = 4 \cdot \frac{a^{2} \sqrt{3}}{4} = a^{2} \sqrt{3}$

Wiemy z treści zadania, że: $P_{c} = 16 \sqrt{3}$ , biorąc to po uwagę mamy:

$a^{2} \sqrt{3} = 16 \sqrt{3}$

$a^{2} = 16$

Zatem:

$a = - 4 \lor a = 4$

Naturalnie odrzucamy odpowiedź ujemną, gdyż długość krawędzi jest zawsze większa od zera.

Ostateczna odpowiedź zatem brzmi następująco:

Krawędź tego czworościanu foremnego jest równa $4$ .

Ćwiczenie 6

W czworościan foremny o krawędzi długości $a$ wpisano kulę. Oblicz stosunek powierzchni czworościanu do powierzchni tej kuli.

RhH1aWtnZFRfz

Na ilustracji przedstawiono czworościan foremny o podstawie A B C i wierzchołku D. W czworościan wpisano kulę o środku w punkcie O. Z wierzchołka D opuszczono wysokość czworościanu, której spodek leży na wysokości A F podstawy A B C. Zacieniowano trójkąt prostokątny D E F, którego przyprostokątna E F ma długość h3. Przeciwprostokątna D F stanowi wysokość ściany bocznej B C D. Na przyprostokątnej E D zaznaczono punkt O oraz na przeciwprostokątnej D F zaznaczono punkt G. Odcinek łączący punkty O i G stanowi promień kuli wpisanej w czworościan. Najbardziej po prawej przedstawiono zacieniowany trójkąt D E F, wewnątrz którego zaznaczono odcinek O G, prostopadły do przeciwprostokątnej D F. Kąt E D F oznaczono alfa.

Punkt $O$ jest punktem przecięcia się wysokości $A G$ i $D E$ czworościanu $A B C D$ .

$A G$ i $D E$ – wysokości czworościanu foremnego $A B C D$ , $|A G| = H = \frac{a \sqrt{6}}{3}$ ,

$A F$ i $D F$ – wysokości ścian bocznych czworościanu foremnego $A B C D$ , trójkątów równobocznych o bokach długości $a$ , $|A F| = h = \frac{a \sqrt{3}}{2}$ . Niech $r$ oznacza długość odcinka $O E$ , czyli promienia kuli wpisanej w czworościan foremny.

Trójkąty $D E F$ i $D G O$ są trójkątami prostokątnymi posiadającymi wspólny kąt $α$ , a więc podobnymi. Zachodzi więc zależność $\frac{|O G|}{|G D|} = \frac{|F E|}{|E D|}$ . Podstawiając otrzymujemy $\frac{r}{\frac{2}{3} h} = \frac{\frac{1}{3} h}{H}$ . A więc promień kuli wpisanej w czworościan wynosi:

$r = \frac{2}{9} h \frac{h}{H} = \frac{2}{9} \cdot \frac{a \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{a \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{3}{a \sqrt{6}} = \frac{a \sqrt{6}}{12}$ .

Ponieważ pole powierzchni tej kuli to $P_{k} = 4 π r^{2} = 4 π {(\frac{a \sqrt{6}}{12})}^{2} = 4 π \frac{a^{2} \cdot 6}{144}$ i pole powierzchni czworościanu foremnego $P = a^{2} \sqrt{3}$ , to stosunek pola powierzchni czworościanu foremnego do pola powierzchni kuli wpisanej w niego wynosi:

$\frac{P}{P_{k}} = \frac{a^{2} \sqrt{3}}{4 π \frac{a^{2} \cdot 6}{144}} = \frac{6 \sqrt{3}}{π}$ .

RuvJfuJ8d1VE63

Ćwiczenie 7

Dany jest czworościan foremny o krawędzi długości $a$ . Jak zmieni się jego pole powierzchni całkowitej, jeżeli długość krawędzi zostanie zmniejszona czterokrotnie? Zaznacz poprawną odpowiedź.

Zmniejszy się o połowę.
Pozostanie takie samo.
Zmaleje czterokrotnie.
Zmaleje szesnastokrotnie.

Ćwiczenie 8

Na czworościanie foremnym o krawędzi długości $a$ opisano kulę. Oblicz stosunek powierzchni czworościanu do powierzchni tej kuli.

R187FiJPMF5H4

Na ilustracji przedstawiono czworościan foremny o podstawie A B C i wierzchołku D. Na czworościanie opisano kulę o środku w punkcie O. Z wierzchołka D opuszczono wysokość czworościanu, której spodek leży na wysokości A F podstawy A B C. Zacieniowano trójkąt prostokątny D E F, którego przyprostokątna E F ma długość h3. Przeciwprostokątna D F stanowi wysokość ściany bocznej B C D. Na przyprostokątnej E D zaznaczono punkt O oraz na przeciwprostokątnej D F zaznaczono punkt G, które połączono. Odcinek D O stanowi promień kuli opisanej na tym czworościanie. Najbardziej po prawej przedstawiono zacieniowany trójkąt D E F, wewnątrz którego zaznaczono odcinek O G, prostopadły do przeciwprostokątnej D F. Kąt E D F oznaczono alfa.

Punkt $O$ jest punktem przecięcia się wysokości $A G$ i $D E$ czworościanu $A B C D$ . Zatem $|A G| = |D E| = H = \frac{a \sqrt{6}}{3}$ . Odcinki $A F$ i $D F$ to wysokości ścian czworościanu $A B C D$ , więc $|A F| = |D F| = h = \frac{a \sqrt{3}}{2}$ . Niech $R$ oznacza długość odcinka $O D$ , czyli promienia kuli opisanej na czworościanie foremnym. Trójkąty $D E F$ i $D G O$ są trójkątami prostokątnymi posiadającymi wspólny kąt $α$ , a więc podobnymi. Zachodzi więc zależność $\frac{|O D|}{|D G|} = \frac{|F D|}{|F E|}$ . Podstawiając otrzymujemy

$\frac{R}{\frac{2}{3} h} = \frac{h}{H}$ .

A więc promień kuli opisanej na czworościanie wynosi: $R = \frac{2}{3} h \frac{h}{H} = \frac{2}{3} \cdot \frac{a \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{a \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{3}{a \sqrt{6}} = \frac{a \sqrt{6}}{4}$ . Ponieważ $P_{k} = 4 π r^{2} = 4 π (\frac{a \sqrt{6}}{4})^{2} = 4 π \frac{a^{2} \cdot 6}{16}$ i pole powierzchni czworościanu foremnego $P = a^{2} \sqrt{3}$ , to stosunek pola powierzchni czworościanu foremnego do pola powierzchni kuli opisanej na nim wynosi: $\frac{P}{P_{k}} = \frac{a^{2} \sqrt{3}}{4 π \frac{a^{2} \cdot 6}{16}} = \frac{2 \sqrt{3}}{3 π}$ .

Animacja 3D

Dla nauczyciela