Sprawdź się

Pokaż ćwiczenia:

RREmNrfG8Ru6w1

Ćwiczenie 1

Równanie $"|"\frac{3}{x}"|" - 1 = m$ ma dwa rozwiązania dla:

$m > - 1$
$m = - 1$
$m < - 1$

RuoVoCz6dgerk1

Ćwiczenie 2

Które z równań nie ma rozwiązań dla $m \in (- \infty; 3)$ ?

$"|"\frac{4}{x - 2}"|" + 3 = m$
$"|"\frac{4}{x - 2} - 3"|" = m$
$"|"\frac{4}{x - 2}"|" - 3 = m$

R97r4DHA7uSGx1

Ćwiczenie 3

Dane jest równanie $- \frac{3}{x - 1} + 2 = m$ . Wskaż zdania prawdziwe.

dla $m = 2$ równanie nie ma rozwiązań
dla $m \in (2; 5)$ równanie ma rozwiązanie będące liczbą dodatnią
dla $m \in (- \infty; 2) \cup (5; \infty)$ równanie ma rozwiązanie będące liczbą ujemną
dla $m \in (- \infty; 2) \cup (5; \infty)$ równanie ma rozwiązanie będące liczbą dodatnią
dla $m \in (2; 5)$ równanie ma rozwiązanie będące liczbą ujemną

R1do8V5OiLmRW2

Ćwiczenie 4

Równanie $\frac{- 2 x + 4}{x + 1} = m$ ma rozwiązanie większe od $2$ dla:

$m \in (- 2; 0)$
$m \in (- \infty; - 2)$
$m \in (0; \infty)$

R11M5sciUJQmC2

Ćwiczenie 5

Wskaż wszystkie wartości parametru $m$ , dla których równanie $"|"\frac{2}{x - 1} - 4"|" = m^{2} - 3 m$ ma jedno rozwiązanie.

$0$
$2$
$5$
$- 1$
$3$
$4$

R7NYZlgKmjv7u2

Ćwiczenie 6

Uzupełnij zdania, wstawiając wybrane elementy w odpowiednie miejsca w tekście. Określ liczbę rozwiązań równania w zależności od parametru

m

. Równanie

\frac{3 |x| - 1}{|x| - 1} = m

ma 1.

(3; \infty)

, 2.

m = 3

, 3.

m \in (1; 3)

, 4.

m \in (1; 3⟩

, 5. 2, 6.

m \in (- \infty; 1)

, 7.

m = 1

rozwiązania dla parametru 1.

(3; \infty)

, 2.

m = 3

, 3.

m \in (1; 3)

, 4.

m \in (1; 3⟩

, 5. 2, 6.

m \in (- \infty; 1)

, 7.

m = 1

\cup

(3; \infty)

, 2.

m = 3

, 3.

m \in (1; 3)

, 4.

m \in (1; 3⟩

, 5. 2, 6.

m \in (- \infty; 1)

, 7.

m = 1

, jedno rozwiązanie dla 1.

(3; \infty)

, 2.

m = 3

, 3.

m \in (1; 3)

, 4.

m \in (1; 3⟩

, 5. 2, 6.

m \in (- \infty; 1)

, 7.

m = 1

oraz nie ma rozwiązań dla 1.

(3; \infty)

, 2.

m = 3

, 3.

m \in (1; 3)

, 4.

m \in (1; 3⟩

, 5. 2, 6.

m \in (- \infty; 1)

, 7.

m = 1

Uzupełnij zdania. Określ liczbę rozwiązań równania w zależności od parametru $m$ .

$m = 1$ , $m \in (1; 3"⟩"$ , $m = 3$ , $m \in (1; 3)$ , 2, $m \in (- \infty; 1)$ , $(3; \infty)$

Równanie $\frac{3 "|"x"|" - 1}{"|"x"|" - 1} = m$ ma .................... rozwiązania dla parametru .................... $\cup$ ...................., jedno rozwiązanie dla .................... oraz nie ma rozwiązań dla .....................

Ćwiczenie 7

RIkEo5MzliBmP

Równanie $"|"\frac{- 3}{x + 4} - 2"|" = 3 m + 1$ ma $2$ rozwiązania dla:

$m \in (- \frac{1}{3}; \frac{1}{3}) \cup (\frac{1}{3}; \infty)$
$m \in (0; 2) \cup (2; \infty)$
$m \in (0; \infty)$
$m \in (- \frac{1}{3}; \infty)$

Rysujemy wykres funkcji $t (x) = |\frac{- 3}{x + 4} - 2|$ :

RTaskX9GTpvFp

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus 9 do 3, oraz pionową osią y od minus 2 do osiem. W płaszczyźnie układu zaznaczono wykres funkcji y=tx składający się z trzech części. Na płaszczyźnie znajdują się dwie asymptoty, pionowa o równaniu x=-4 oraz pozioma o równaniu y=2. Pierwsza część wykresu pojawia się w drugiej ćwiartce układu pod poziomą asymptotą i biegnie po łuku do punktu znajdującego się na osi x pomiędzy wartością minus sześć i minus pięć, z tego punktu wykres biegnie niemal pionowo wzdłuż pionowej asymptoty i wybiega poza układ współrzędnych. Trzeci fragment wykresu pojawia się w drugiej ćwiartce układu po prawej stronie pionowej asymptoty, biegnie po łuku i wychodzi poza układ współrzędnych w pierwszej ćwiartce układu współrzędnych nad poziomą asymptotą.

Równanie będzie miało dwa rozwiązania, jeśli:

$3 m + 1 > 0 \land 3 m + 1 \neq 2$

$m > - \frac{1}{3} \land m \neq \frac{1}{3}$

Ćwiczenie 8

RVXRviFilsvcG

Określ liczbę rozwiązań równania $"|"\frac{3 "|"x"|" - 3}{"|"x"|" - 2}"|" = m$ w zależności od parametru $m$ .

wartość parametru $m$	liczba rozwiązań równania
$m \in (- \infty; 0)$
$m = 0$
$m \in (0; \frac{3}{2})$
$m = \frac{3}{2}$
$m \in (\frac{3}{2}; 3"⟩"$
$m \in (3; \infty)$

Rysujemy wykres funkcji znajdującej się po lewej stronie równania, czyli $s (x) = |\frac{3 |x| - 3}{|x| - 2}|$ . W tym celu przekształcamy wzór funkcji bez wartości bezwzględnych do postaci kanonicznej.

$f (x) = \frac{3 x - 3}{x - 2} = \frac{3 (x - 2) + 3}{x - 2} = 3 + \frac{3}{x - 2}$

Następnie na podstawie wykresu funkcji $f$ rysujemy wykres funkcji $s (x) = |f (|x|)|$ . Wykres funkcji $s (x) = |\frac{3 |x| - 3}{|x| - 2}|$ przedstawia rysunek.

ReNgsxq3ZtYwP

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus 6 do 6, oraz pionową osią y od minus 2 do siedem. W płaszczyźnie układu zaznaczono wykres funkcji y=sx składający się z trzech części. Pierwsza część ma kształt hiperboli o asymptotach: pionowa x=-2 i pozioma y=3. Kolejny fragment pojawia się w drugiej ćwiartce układu, biegnie po łuku z prawej strony pionowej asymptoty o równaniu x=-2 do punktu nawias minus jeden średnik zero zamknięcie nawiasu, następnie biegnie po łuku do punktu znajdującego się na osi y pomiędzy punktem jeden i dwa, z tego punktu do punktu wykres biegnie po łuku do punktu nawias jeden średnik zero zamknięcie nawiasu, następnie wykres biegnie niemal pionowo wzdłuż pionowej asymptoty o równaniu x=2. Ostatnia część wykresu również ma kształt hiperboli , której asymptoty to: pionowa x=2 oraz pozioma y=3.

Na podstawie rysunku określamy liczbę rozwiązań równania w zależności od parametru $m$ , czyli określamy ile punktów wspólnych ma wykres funkcji z prostą o równaniu $g (x) = m$ .

Animacja

Dla nauczyciela