Sprawdź się

Pokaż ćwiczenia:

Ćwiczenie 1

Zaznacz poprawną odpowiedź.

RlB4EdwyiLyEF

Ilustracja przedstawia trójkąt prostokątny o pionowej przyprostokątnej o długości 6, Oznaczono dwa kąty wewnętrzne trójkąta: kąt prosty między przyprostokątnymi oraz kąt 30 stopni między bokiem o długości 6 a przeciwprostokątną.

R3GDw8n4qjZBs

Obwód trójkąta przedstawionego na rysunku wynosi:

$6 + 6 \sqrt{3}$
$18 + 3 \sqrt{3}$
$9 + 3 \sqrt{3}$

Ćwiczenie 2

Zapoznaj się z rysunkiem i rozwiąż zadanie.

RPi6JhsnIsHBQ

Ilustracja przedstawia trójkąt prostokątny o przeciwprostokątnej o długości 16, Oznaczono dwa kąty wewnętrzne trójkąta: kąt prosty między przyprostokątnymi oraz kąt 45 stopni między pionową przyprostokątną a przeciwprostokątną.

R1Qb43khRmgb1

Ćwiczenie 3

Ri43613qxTTjG

Pogrupuj elementy, zgodnie z podanym opisem. Trójkąt o kątach wewnętrznych

30 °, 60 °, 90 °

: Możliwe odpowiedzi: 1. jest połową trójkąta równobocznego, a jego jeden bok jest równy długości boku trójkąta równobocznego, 2. jest połową kwadratu, a jego jeden bok ma taką samą długość jak przekątna kwadratu, 3. ma przyprostokątną równą połowie długości jego przeciwprostokątnej, 4. ma przyprostokątne takiej samej długości, 5. jest trójkątem prostokątnym różnobocznym, 6. jest trójkątem prostokątnym równoramiennym Trójkąt o kątach wewnętrznych

45 °, 45 °, 90 °

Pogrupuj elementy, zgodnie z podanym opisem.

jest trójkątem prostokątnym różnobocznym, jest trójkątem prostokątnym równoramiennym, jest połową kwadratu, a jego jeden bok ma taką samą długość jak przekątna kwadratu, jest połową trójkąta równobocznego, a jego jeden bok jest równy długości boku trójkąta równobocznego, ma przyprostokątne takiej samej długości, ma przyprostokątną równą połowie długości jego przeciwprostokątnej

Trójkąt o kątach wewnętrznych $30 °, 60 °, 90 °$ :
Trójkąt o kątach wewnętrznych $45 °, 45 °, 90 °$ :

Ćwiczenie 4

RrOBuNHBARQCk

Wstaw w tekst odpowiednie liczby.

$6 \sqrt{2}$ , $2 \sqrt{2}$ , $18$ , $12 \sqrt{2} + 12$ , $6 \sqrt{2} + 12$

Przyprostokątne trójkąta o kątach wewnętrznych $45 °, 45 °, 90 °$ mają długości $6$ .
Przeciwprostokątna tego trójkąta ma długość .............
Obwód tego trójkąta wynosi .............
Pole tego trójkąta jest równe .............

Ćwiczenie 5

Ru3MXqqNQ7013

Wiadomo, że trójkąt prostokątny ma kąty ostre

30 °

60 °

. Oznaczmy dłuższą przyprostokątną tego trójkąta jako

a \sqrt{3}

. Połącz w pary długość dłuższej przyprostokątnej z odpowiadającą jej wartością pola tego trójkąta.

a \sqrt{3} = 3

Możliwe odpowiedzi: 1.

P = 2 \sqrt{3}

, 2.

P = \frac{\sqrt{3}}{6}

, 3.

P = \frac{3 \sqrt{3}}{2}

, 4.

P = \frac{8 \sqrt{3}}{3}

a \sqrt{3} = 4

Możliwe odpowiedzi: 1.

P = 2 \sqrt{3}

, 2.

P = \frac{\sqrt{3}}{6}

, 3.

P = \frac{3 \sqrt{3}}{2}

, 4.

P = \frac{8 \sqrt{3}}{3}

a \sqrt{3} = 1

Możliwe odpowiedzi: 1.

P = 2 \sqrt{3}

, 2.

P = \frac{\sqrt{3}}{6}

, 3.

P = \frac{3 \sqrt{3}}{2}

, 4.

P = \frac{8 \sqrt{3}}{3}

a \sqrt{3} = 2 \sqrt{3}

Możliwe odpowiedzi: 1.

P = 2 \sqrt{3}

, 2.

P = \frac{\sqrt{3}}{6}

, 3.

P = \frac{3 \sqrt{3}}{2}

, 4.

P = \frac{8 \sqrt{3}}{3}

Ćwiczenie 6

ReZate7ZKYwRH

Ćwiczenie 7

Oblicz obwód trójkąta prostokątnego równoramiennego o przeciwprostokątnej długości $2 \sqrt{6}$ .

Wprowadźmy oznaczenia, jak na rysunku:

R1YUlwFcCVIB4

Ilustracja przedstawia równoramienny trójkąt prostokątny o przyprostokątnych a i przeciwprostokątnej a2. W trójkącie zaznaczono trzy kąty wewnętrzne: kąt prosty między przyprostokątnymi oraz dwa kąty o mierze czterdziestu pięciu stopni między przeciwprostokątną a każdą z przyprostokątnych.

Zatem do wyznaczenia wartości $a$ rozwiązujemy równanie:

$a \sqrt{2} = 2 \sqrt{6}$ ,

czyli: $a = 2 \sqrt{3}$ .

Długości boków tego trójkąta wynoszą odpowiednio: $2 \sqrt{3}$ , $2 \sqrt{3}$ oraz $2 \sqrt{6}$ .

Obwód $L$ tego trójkąta wynosi:

$L = 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{6} = 4 \sqrt{3} + 2 \sqrt{6}$ .

Ćwiczenie 8

Wiadomo, że pole trójkąta prostokątnego oznaczonego rzymskim $I$ jest o $2$ mniejsze od pola trójkąta prostokątnego oznaczonego rzymskim $II$ . Wyznacz pole trójkąta prostokątnego oznaczonego rzymskim $III$ .

RKFsBG25N66E3

Ilustracja przedstawia trzy trójkąty prostokątne, które mają pewne wspólne boki. Każdy trójkąt ma swój numer, ma podane długości boków i miary kątów wewnętrznych. Trójkąt pierwszy, wyjściowy, ma podstawę a, przeciwprostokątną 2a i pionową przyprostokątną a3. Oznaczono w nim następujące kąty wewnętrzne: między przyprostokątnymi a3 i a oznaczono kąt prosty, między bokami a i 2a oznaczono kąt 60 stopni oraz między bokami a3 i 2a oznaczono kąt 30 stopni. Trójkąt pierwszy ma wspólną przeciwprostokątną z drugim trójkątem, który jest narysowany nad pierwszym. Trójkąt drugi ma następujące boki: dwie równe przyprostokątne o długości 2a, między którymi znajduje się kąt prosty, a także przeciwprostokątną 2a2. Między bokami 2a i przeciwprostokątną oznaczono kąty o 45 stopni. Trójkąt trzeci ma wspólny bok z trójkątem pierwszym i jest narysowany pod trójkątem pierwszym. Ich wspólny bok jest podstawą trójkąta pierwszego, czyli bokiem a i jednocześnie jest ramieniem trzeciego trójkąta. Trzeci trójkąt jest równoramienny. Jego przyprostokątne to boki o długości a każdy. Między nimi zaznaczono kąt prosty. Przeciwprostokątna ma długość a2. Między przeciwprostokątną a ramionami trójkąta oznaczono kąty 45 stopni.

Z warunków w zadaniu wynika, że zachodzi równość $P_{I I} = P_{I} + 2$ .

Zatem stosując oznaczenia z rysunku rozwiązujemy równanie:

$\frac{2 a \cdot 2 a}{2} = \frac{a \cdot a \sqrt{3}}{2} + 2$ .

Równanie sprowadzamy do postaci $4 a^{2} = a^{2} \sqrt{3} + 4$ .

Zatem $4 a^{2} - a^{2} \sqrt{3} = 4$ , co jest równoważne równaniu $a^{2} \cdot (4 - \sqrt{3}) = 4$ .

Równanie przekształcamy do postaci

$a^{2} = \frac{4}{4 - \sqrt{3}} = \frac{4 \cdot (4 + \sqrt{3})}{(4 - \sqrt{3}) \cdot (4 + \sqrt{3})} = \frac{4 \cdot (4 + \sqrt{3})}{13}$ .

$P_{I I I} = \frac{a^{2}}{2}$ , a zatem:

$P_{I I I} = \frac{2 \cdot (4 + \sqrt{3})}{13}$

Infografika

Dla nauczyciela