Sprawdź się

Pokaż ćwiczenia:

RQcHqoHzrytiq1

Ćwiczenie 1

RJwt6BFFaKdSR1

Ćwiczenie 2

RznT3IXXle82v2

Ćwiczenie 3

RM3l1Fe84wnmb2

Ćwiczenie 4

RZUoRldNy2SW82

Ćwiczenie 5

Dostępne opcje do wyboru:

1

a q

q^{2} = t

\frac{1 - \sqrt{5}}{2}

a q^{2}

t

. Polecenie: Długości boków trójkąta prostokątnego są trzema kolejnymi wyrazami rosnącego ciągu geometrycznego. Uzupełnij obliczenia ilorazu tego ciągu, przeciągając odpowiednie wyrażenia. Oznaczmy:

a

a q

a q^{2}

– długości boków trójkąta, gdzie

a > 0

q > 1

.
Na podstawie twierdzenia Pitagorsa dla tego trójkąta, możemy zapisać:

a^{2} + (

luka do uzupełnienia

)^{2} = (

luka do uzupełnienia

)^{2}

Po podzieleniu obu stron równania przez

a^{2}

otrzymujemy:

q^{4} - q^{2} -

luka do uzupełnienia

= 0

Podstawiamy: luka do uzupełnienia , dla

t > 0

.
Otrzymujemy równanie kwadratowe, które rozwiązujemy.

t^{2} -

luka do uzupełnienia

- 1 = 0

∆ = 1 + 4 = 5

t_{1} =

luka do uzupełnienia

< 0

– nie spełnia zakładanych warunków
t_2=(1+√5)/2>0
Wracamy do podstawienia.

q^2=(1+√5)/2
Zatem:
q_1=-√((1+√5)/2)<0 – nie spełnia warunków zadania
q_2=√((1+√5)/2)>0
Odpowiedź: iloraz ciągu jest równy √((1+√5)/2).

Rg96mqvUxXkkG2

Ćwiczenie 6

Ćwiczenie 7

Cyfry setek, dziesiątek i jedności pewnej liczby trzycyfrowej dodatniej, w tej kolejności, tworzą ciąg geometryczny. Suma cyfr jedności i setek stanowi $3 \frac{1}{3}$ cyfry dziesiątek. Jeśli od szukanej liczby odejmiemy liczbę o przestawionych cyfrach jedności i setek, to otrzymamy $792$ . Znajdź tę liczbę.

Oznaczmy:
$a$ – cyfra setek szukanej liczby,
$a q$ – cyfra dziesiątek szukanej liczby,
$a q^{2}$ – cyfra jedności szukanej liczby.

Zauważmy, że $a \in \{1, 2, \dots, 9\}$ , $a q \in \{0, 1, 2, \dots, 9\}$ , $a q^{2} \in \{0, 1, 2, \dots, 9\}$ , więc $q > 0$ .

Szukana liczba ma postać: $100 a + 10 a q + a q^{2}$ .

Liczba o przestawionych cyfrach ma postać: $100 a q^{2} + 10 a q + a$ .

Suma cyfr jedności i setek szukanej liczby stanowi $3 \frac{1}{3}$ cyfry dziesiątek, zatem:

$a q^{2} + a = \frac{10}{3} a q$

Obie strony równania możemy podzielić przez $a$ , bo $a \neq 0$ .

$a q^{2} + a = \frac{10}{3} a q | : a$

$q^{2} + 1 = \frac{10}{3} q$

$3 q^{2} - 10 q + 3 = 0$

Rozwiązujemy otrzymane równanie kwadratowe.

$∆ = 100 - 36 = 64 \Rightarrow \sqrt{∆} = 8$

$q = \frac{10 - 8}{6} = \frac{1}{3} > 0$ lub $q = \frac{10 + 8}{6} = 3 > 0$

Otrzymaliśmy dwie liczby dodatnie. Aby wybrać jedną z nich, zapisujemy drugi z warunków podanych w treści zadania – jeśli od szukanej liczby odejmiemy liczbę o przestawionych cyfrach jedności i setek, to otrzymamy $792$ .

$100 a + 10 a q + a q^{2} - (100 a q^{2} + 10 a q + a) = 792$

$99 a - 99 a q^{2} = 792 | : 99$

$a - a q^{2} = 8$

Jeśli $q = \frac{1}{3}$ to $a - \frac{1}{9} a = 8$ , czyli $a = 9$ i szukana liczba to $931$ .

Jeśli $q = 3$ to $a - 9 a = 8$ , czyli $a = - 1$ – znaleziona liczba nie spełnia warunków zadania.

Odpowiedź:

Szukana liczba to $931$ .

Ćwiczenie 8

Objętość prostopadłościanu jest równa $64$ . Długości krawędzi tego prostopadłościanu, wychodzące z jednego wierzchołka, tworzą ciąg geometryczny, którego suma jest równa $21$ . Oblicz długości tych krawędzi.

Oznaczmy:
$a$ , $a q$ , $a q^{2}$ – długości krawędzi prostopadłościanu, gdzie $a > 0$ , $q > 0$ .

Objętość prostopadłościanu jest równa $64$ , zatem:

$a \cdot a q \cdot a q^{2} = 64$

${(a q)}^{3} = 64$

$a q = 4$

$a = \frac{4}{q}$

Suma długości krawędzi jest równa $21$ . Wynika z tego, że

$a + a q + a q^{2} = 21$

$a (1 + q + q^{2}) = 21$

$\frac{4}{q} (1 + q + q^{2}) = 21$

Otrzymujemy równanie kwadratowe, które rozwiązujemy.

$4 q^{2} - 17 q + 4 = 0$

$∆ = 289 - 64 = 225 \Rightarrow \sqrt{∆} = 15$

$q = \frac{17 - 15}{8} = \frac{1}{4}$ lub $q = \frac{17 + 15}{8} = 4$

Obliczamy długości krawędzi.

Jeśli $q = \frac{1}{4}$ to $a = 16$ , $a q = 4$ , $a q^{2} = 1$ .

Jeśli $q = 4$ to $a = 1$ , $a q = 4$ , $a q^{2} = 16$ .

Otrzymaliśmy te same liczby – kolejność nie jest istotna.

Odpowiedź:

Długości krawędzi prostopadłościanu są równe $1$ , $4$ , $16$ .

Animacja

Dla nauczyciela