Sprawdź się

Pokaż ćwiczenia:

Ćwiczenie 1

Ostrosłup na rysunku poniżej jest prawidłowy. Uzupełnij zdania. Przeciągnij poprawne wartości w puste pola.

RcT0hzbyu2cai

Grafika przedstawia ostrosłup, którego podstawą jest sześciokąt. W ostrosłup wpisane zostały dwa trójkąty. Boki pierwszego z nich to: wysokość ostrosłupa, krawędź boczna ostrosłupa i linia łącząca wierzchołek podstawy z środkiem podstawy. Boki drugiego trójkąta to: wysokość ostrosłupa, linia będąca wysokością trójkąta, stanowiącego ścianę boczną ostrosłupa oraz linia łącząca środek podstawy ze środkiem krawędzi podstawy. Kąt pomiędzy wysokością ostrosłupa a płaszczyzną podstawy to kąt prosty. Kąt pomiędzy wysokością ściany bocznej ostrosłupa, a podstawą tej ściany to również kąt prosty. W ostrosłupie zaznaczono 2 kąty. Pierwszy z nich znajduje się pomiędzy wysokością ściany bocznej ostrosłupa i linią łączącą środek podstawy z środkiem krawędzi podstawy, ma on wartość 69 stopni. Drugi kąt znajduje się między krawędzią boczną ostrosłupa i linią łączącą środek podstawy z jej wierzchołkiem i ma on wartość 66.09 stopni.

RyU1wLBrw7k84

$70 °$ , $66, 09 °$ , $21 °$ , $69 °$ , $65 °$ , $69, 09 °$ , $20 °$

Miara kąta nachylenia krawędzi bocznej do podstawy wynosi .

Miara kąta nachylenia ściany bocznej do płaszczyzny podstawy wynosi .

Miara kąta pomiędzy wysokością ostrosłupa, a ścianą boczną wynosi .

R1SHyDwsLz6Xi1

Ćwiczenie 2

Zaznacz zdanie prawdziwe.

Kąt nachylenia ściany bocznej do płaszczyzny podstawy w ostrosłupie prawidłowym sześciokątnym, to kąt pomiędzy wysokością ostrosłupa, a przekątną podstawy.
Suma miary kąta nachylenia krawędzi bocznej do podstawy i kąta nachylenia wysokości do ściany bocznej w ostrosłupie prawidłowym sześciokątnym wynosi $90 °$ .
Kąt nachylenia ściany bocznej do podstawy w ostrosłupie prawidłowym sześciokątnym może mieć miarę $90 °$ .
Kąt nachylenia ściany bocznej do podstawy oraz kąt między wysokością ostrosłupa i ścianą boczną mogą być kątami tego samego trójkąta prostokątnego.

Ćwiczenie 3

R1NOHJwQMqe8K2

Rk05LsdairKWM

Ćwiczenie 4

Kąt nachylenia wysokości do ściany bocznej w ostrosłupie prawidłowym sześciokątnym jest pięciokrotnie mniejszy od kąta nachylenia ściany bocznej do podstawy. Oblicz miary obu kątów.

RaGV0vfi4raO0

Grafika przedstawia ostrosłup w kolorze niebieskim. Podstawą ostrosłupa jest sześciokąt. Środek sześciokąta jest zaznaczony niebieskim punktem. W ostrosłup zostały wpisany trójkąt. Jeden z jego boków to linia będąca wysokością trójkąta, stanowiącego ścianę boczną ostrokąta. Drugi to linia łącząca środek podstawy ostrosłupa z środkiem krawędzi podstawy, a trzeci to wysokość ostrosłupa. Kąt pomiędzy wysokością ostrosłupa a wysokością ściany bocznej ostrosłupa oznaczono literą alfa. Kąt pomiędzy linią leżącą w płaszczyźnie podstawy a linią będącą wysokością ściany bocznej ostrosłupa ma wartość 5 alfa.

$α + 5 α = 90 °$ . A zatem miara kąta nachylenia wysokości do ściany bocznej ( $α$ ) wynosi $15 °$ , a miara kąta nachylenia ściany bocznej do podstawy $75 °$ .

Ćwiczenie 5

Krawędź podstawy ostrosłupa prawidłowego sześciokątnego ma długość $6$ , a krawędź boczna $9$ . Oblicz cosinus kąta nachylenia ściany bocznej do płaszczyzny podstawy.

Obliczamy długość wysokości ściany bocznej z twierdzenia Pitagorasa:

$3^{2} + h^{2} = 9^{2}$ . Czyli $h^{2} = 72$ , a stąd $h = 6 \sqrt{2}$ .

Połowa krótszej przekątnej ma długość $3 \sqrt{3}$ .

Zróbmy rysunek pomocniczy. Przez $α$ oznaczymy kąt nachylenia ściany bocznej do płaszczyzny podstawy.

R13Ie9Pe5NgUJ

A zatem $\cos α = \frac{3 \sqrt{3}}{6 \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{6}}{4}$ .

Ćwiczenie 6

Ostrosłup na rysunku poniżej jest prawidłowy, a zaznaczony trójkąt równoboczny. Oblicz miarę kąta nachylenia krawędzi bocznej do podstawy.

Rz9LdpBKDh7VR

Krawędź boczna ostrosłupa ma długość taką, jak krótsza przekątna podstawy.

Czyli $b = a \sqrt{3}$ (gdzie $a$ jest długością krawędzi podstawy).

Uzupenijmy rysunek pomocniczy.

R17TGbGLKrk5M

Mamy więc $\cos α = \frac{a}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3} \approx 0, 5774$ . Czyli $α \approx 55 °$ .

Ćwiczenie 7

Kąt nachylenia krawędzi bocznej do płaszczyzny podstawy w ostrosłupie prawidłowym sześciokątnym ma miarę $70 °$ . Jaką miarę ma kąt nachylenia ściany bocznej do płaszczyzny podstawy?

R10lDoitPsF6R

Z danych mamy, że $tg 70 ° = \frac{H}{a}$ .

Oznaczmy przez $α$ kąt nachylenia ściany bocznej do płaszczyzny podstawy.

Mamy wtedy $tg α = \frac{H}{\frac{a \sqrt{3}}{2}} = \frac{H}{a} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} = tg 70 ° \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} \approx 2, 7475 \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} \approx 3, 1725$ .

A zatem $α \approx 72 °$ .

Ćwiczenie 8

Ostrosłup na rysunku jest prawidłowy, a zaznaczony trójkąt równoboczny. Bok tego trójkąta ma długość $8$ . Oblicz sinus kąta nachylenia ściany bocznej do płaszczyzny podstawy.

RzqsjfjUzBGP8

Krawędź boczna i dłuższa przekątna podstawy tego ostrosłupa mają długość $8$ .

A zatem krawędź podstawy i krótsza przekątna podstawy mają długość $4$ i $4 \sqrt{3}$ odpowiednio.

Wysokość osrosłupa jest wysokością trójkąta równobocznego o boku $8$ i wynosi $4 \sqrt{3}$ .

Obliczymy wysokość ściany bocznej z twierdzenia Pitagorasa:

$2^{2} + h^{2} = 8^{2}$

Czyli $h = 2 \sqrt{15}$ .

Uzupełnijmy rysunek.

R15eFEmbYcUoM

Mamy zatem $\sin α = \frac{4 \sqrt{3}}{2 \sqrt{15}} = \frac{2 \sqrt{5}}{5}$ .

Aplet

Dla nauczyciela