Sprawdź się

Pokaż ćwiczenia:

Ćwiczenie 1

Dane są dwa trapezy przedstawione na rysunku.

R11BdJbuJJaUv

Ilustracja przedstawia dwa trapezy. Pierwszy z nich znajdujący się po lewej stronie jest trapezem równoramiennym, którego górna podstawa ma długość dwa, a dolna podstawa ma długość osiem. Wysokość tego trapezu ma długość trzy. Linia środkowa równoległa do obu podstaw dzieli trapez na dwie części: górną zaznaczono kolorem zielonym, a dolną niebieskim. Drugi trapez znajdujący się po prawej stronie, jest trapezem prostokątnym, którego górna podstawa ma długość cztery, a dolna podstawa ma długość osiem, jego wysokość ma długość trzy. W trapezie zaznaczono jego środkową, która dzieli ten trapez na dwa trapezy podobne: górny zaznaczono kolorem zielonym, a dolny niebieskim.

Ustalmy oznaczenia obowiązujące dla obu trapezów:

$P$ – pole trapezu,
$P_{1}$ - pole trapezu zielonego,
$P_{2}$ – pole trapezu niebieskiego,
$c$ – długość linii środkowej,
$d$ – odległość linii środkowej od dłuższej podstawy.

RUMZIMTKjDUrG

Podane odpowiedzi przyporządkuj do czterech kategorii. prawdziwe tylko dla trapezu po lewej stronie Możliwe odpowiedzi: 1.

c = 7

, 2.

P_{1} = \frac{30}{4}

, 3.

\frac{P_{1}}{P} = \frac{7}{20}

, 4.

P = 18

, 5.

P_{2} = \frac{42}{4}

, 6.

P = 15

, 7.

P_{1} = \frac{27}{4}

, 8.

P_{2} = \frac{52}{4}

, 9.

P = P_{1} + P_{2}

, 10.

\frac{P_{1}}{P_{2}} > 1

, 11.

\frac{P_{1}}{P} = \frac{5}{12}

, 12.

P_{2} = \frac{39}{4}

, 13.

\frac{P_{1}}{P} = \frac{9}{20}

, 14.

c = 5

, 15.

c = 6

, 16.

P = 16

, 17.

d = \frac{3}{2}

, 18.

P_{1} = \frac{21}{4}

prawdziwe tylko dla trapezu po prawej stronie Możliwe odpowiedzi: 1.

c = 7

, 2.

P_{1} = \frac{30}{4}

, 3.

\frac{P_{1}}{P} = \frac{7}{20}

, 4.

P = 18

, 5.

P_{2} = \frac{42}{4}

, 6.

P = 15

, 7.

P_{1} = \frac{27}{4}

, 8.

P_{2} = \frac{52}{4}

, 9.

P = P_{1} + P_{2}

, 10.

\frac{P_{1}}{P_{2}} > 1

, 11.

\frac{P_{1}}{P} = \frac{5}{12}

, 12.

P_{2} = \frac{39}{4}

, 13.

\frac{P_{1}}{P} = \frac{9}{20}

, 14.

c = 5

, 15.

c = 6

, 16.

P = 16

, 17.

d = \frac{3}{2}

, 18.

P_{1} = \frac{21}{4}

prawdziwe dla obu trapezów Możliwe odpowiedzi: 1.

c = 7

, 2.

P_{1} = \frac{30}{4}

, 3.

\frac{P_{1}}{P} = \frac{7}{20}

, 4.

P = 18

, 5.

P_{2} = \frac{42}{4}

, 6.

P = 15

, 7.

P_{1} = \frac{27}{4}

, 8.

P_{2} = \frac{52}{4}

, 9.

P = P_{1} + P_{2}

, 10.

\frac{P_{1}}{P_{2}} > 1

, 11.

\frac{P_{1}}{P} = \frac{5}{12}

, 12.

P_{2} = \frac{39}{4}

, 13.

\frac{P_{1}}{P} = \frac{9}{20}

, 14.

c = 5

, 15.

c = 6

, 16.

P = 16

, 17.

d = \frac{3}{2}

, 18.

P_{1} = \frac{21}{4}

nie zachodzi dla żadnego z trapezów Możliwe odpowiedzi: 1.

c = 7

, 2.

P_{1} = \frac{30}{4}

, 3.

\frac{P_{1}}{P} = \frac{7}{20}

, 4.

P = 18

, 5.

P_{2} = \frac{42}{4}

, 6.

P = 15

, 7.

P_{1} = \frac{27}{4}

, 8.

P_{2} = \frac{52}{4}

, 9.

P = P_{1} + P_{2}

, 10.

\frac{P_{1}}{P_{2}} > 1

, 11.

\frac{P_{1}}{P} = \frac{5}{12}

, 12.

P_{2} = \frac{39}{4}

, 13.

\frac{P_{1}}{P} = \frac{9}{20}

, 14.

c = 5

, 15.

c = 6

, 16.

P = 16

, 17.

d = \frac{3}{2}

, 18.

P_{1} = \frac{21}{4}

Podane odpowiedzi przyporządkuj do czterech kategorii.

prawdziwe tylko dla trapezu po lewej stronie
prawdziwe tylko dla trapezu po prawej stronie
prawdziwe dla obu trapezów
nie zachodzi dla żadnego z trapezów

Ćwiczenie 2

Na rysunku ramiona trapezu podzielono na $8$ równych odcinków i połączono końce odpowiednich odcinków tak, że powstałe odcinki są równoległe do podstaw.

RxNYyVsLPU66b

Ilustracja przedstawia trapez A B C D, którego górna podstawa CD ma długość a, a dolna podstawa AB ma długość b. Ramiona trapezu podzielono na osiem odcinków, na ramieniu AD znajdują się punkty, patrząc od góry: K G L E M H N, z kolei na ramieniu CB patrząc od góry znajdują się punkty O I P F Q J R.

RSOoMDQ1QXc78

Uzupełnij luki.

średnią arytmetyczną, nie są, równe, różnicą odcinków, sumą, harmoniczny, arytmetyczny, są, geometryczny, nierówne

1. Trapezy, których podstawami są kolejne odcinki .............................................. podobne do trapezów sąsiednich.
2. Długości powstałych odcinków tworzą ciąg ...............................................
3. Jeżeli odcinek nie jest podstawą, to jego długość jest .............................................. sąsiednich.
4. Trapezy, których podstawami są kolejne odcinki mają .............................................. wysokości.

R9wiXU6FBjhT01

Ćwiczenie 3

Łączenie par. Przyjmując, że podstawy trapezu oznaczymy

a

oraz

b

, natomiast linię środkową

c

, wskaż poprawne odpowiedzi.. W trapezie dłuższa podstawa ma długość

27 cm

i jest o

10 cm

dłuższa niż krótsza podstawa. Wyznacz długość linii środkowej w tym trapezie.. Możliwe odpowiedzi: Odpowiedź 1, Odpowiedź 2. W trapezie dłuższa podstawa ma

16 cm

. Linia środkowa ma

12, 5 cm

. Wyznacz długość krótszej podstawy.. Możliwe odpowiedzi: Odpowiedź 1, Odpowiedź 2

Przyjmując, że podstawy trapezu oznaczymy $a$ oraz $b$ , natomiast linię środkową $c$ , wskaż poprawne odpowiedzi.

Opis trapezu	Odpowiedź 1	Odpowiedź 2
W trapezie dłuższa podstawa ma długość $27 cm$ i jest o $10 cm$ dłuższa niż krótsza podstawa. Wyznacz długość linii środkowej w tym trapezie.	$a = 27$ , $b = 8,5$ , $c = 37$ □	$a = 27$ , $b = 17$ , $c = 22$ □
W trapezie dłuższa podstawa ma $16 cm$ . Linia środkowa ma $12, 5 cm$ . Wyznacz długość krótszej podstawy.	$a = 16$ , $b = 9$ , $c = 12, 5$ □	$a = 16$ , $b = 10$ , $c = 12, 5$ □

Ćwiczenie 4

Ramiona trapezu prostokątnego mają długości $6$ i $10$ . Odcinek łączący środki ramion ma długość $10$ . Oblicz długości podstaw trapezu.

Niech $a$ , $b$ oznaczają długości podstaw i niech $a > b$ . Wtedy mamy sytuację jak na rysunku.

RSGimaa7blzNT

Ilustracja przedstawia trapez prostokątny. Jego krótsza podstawa ma długość b. Jego ukośne ramię ma długość dziesięć, a ramię pionowe ma długość sześć. Wysokość poprowadzona z jednego z wierzchołków górnej podstawy dzieli trapez na prostokąt oraz trójkąt. Zatem dłuższa podstawa została podzielona na odcinek o długości b oraz odcinek o długości a-b. W trapezie zaznaczono jego środkową, ma ona długość dziesięć.

Z twierdzenia Pitagorasa ${(a - b)}^{2} = 10^{2} - 6^{2} = 64$ czyli $a - b = 8$ . Z własności linii środkowej w trapezie mamy $10 = \frac{a + b}{2}$ .

Otrzymaliśmy układ równań z niewiadomymi $a$ i $b$ : $\{\begin{cases} a - b = 8 \\ a + b = 20 \end{cases}$ .

Rozwiązaniem tego układu są liczby $a = 14$ , $b = 6$ .

Ćwiczenie 5

Boki $A B$ i $B C$ trójkąta $A B C$ podzielono na cztery równe części i połączono odcinkami.

R1O3vGBIVcYX2

Ilustracja przedstawia trójkąt A B C , dolna podstawa AC ma długość dwanaście. Ramiona trójkąta podzielono na cztery odcinki, na ramieniu AB znajdują się punkty, patrząc od góry: F D H, a z kolei na ramieniu CB patrząc od góry znajdują się punkty G E I. Poziomy odcinek, FG znajdujący się na samej górze ma długość trzy.

Wiadomo, że $|F G| = 3$ , $|A C| = 12$ .

Wyznacz długości odcinków $D E$ i $H I$ .

Niech $|D E| = a$ , $|H I| = b$ .

$D E$ jest linią środkową w trapezie $F G I H$ , a $H I$ – w trapezie $D E C A$ . Stąd $a = \frac{3 + b}{2}$ , $b = \frac{a + 12}{2}$ .

Dostajemy układ równań:

$\{\begin{matrix} 2 a - b = 3 \\ - a + 2 b = 12 \end{matrix}$

Stąd $a = 6$ , $b = 9$ .

Ćwiczenie 6

Punkty $P$ , $Q$ są środkami boków $B C$ i $A F$ sześciokąta foremnego $A B C D E F$ . Oblicz stosunek pól czworokąta $A B P Q$ i sześciokąta $A B C D E F$ .

R1QmJeJWNuHwu

Ilustracja przedstawia sześciokąt foremny o wierzchołkach A B C D E F, na środku krawędzi AF znajduje się punkt Q, na środku krawędzi BC znajduje się punkt P. W sześciokącie zaznaczono odcinek QP.

Oznaczmy przez $h$ wysokość trapezu $A B C F$ . Niech $a$ oznacza długość boku sześciokąta foremnego. Z własności sześciokąta foremnego przekątna $F C$ ma długość $2 a$ .

Pole sześciokąta $A B C D E F$ jest dwa razy większe od pola trapezu $A B C F$ , czyli $P_{A B C D E F} = 2 P_{A B C F} = 2 \cdot \frac{a + 2 a}{2} h = 3 a h$ .

Podstawa $P Q$ trapezu $A B P Q$ jest linia środkową w trapezie $A B C F$ , więc ma długość $\frac{a + 2 a}{2} = \frac{3 a}{2}$ .

Wysokość trapezu $A B P Q$ jest równa połowie wysokości $h$ trapezu $A B C F$ .

Stąd $P_{A B P Q} = \frac{\frac{3 a}{2} + a}{2} \cdot \frac{h}{2} = \frac{h}{2} \cdot \frac{5 a}{4}$ . Zatem $\frac{P_{A B P Q}}{P_{A B C D E F}} = \frac{\frac{h}{2} \cdot \frac{5 a}{4}}{3 a h} = \frac{5}{24}$ .

Ćwiczenie 7

W trapezie równoramiennym, który nie jest równoległobokiem, ramię ma długość
$7$ , a przekątna $8$ . Oblicz długość podstaw trapezu wiedząc, że odcinek łączący środki ramion trapezu ma długość $4$ .

Niech $a > b$ , gdzie $a$ , $b$ oznaczają długości podstaw i $h$ niech oznacza wysokość trapezu. Na rysunku zaznaczyliśmy podane długości odcinków oraz wyliczone długości odcinków na jakie dzieli podstawę $a$ wysokość $h$ .

R15yXPM1jflA9

Ilustracja przedstawia trapez równoramienny. Jego krótsza podstawa ma długość b. Jego ramiona mają długość siedem. W trapezie wykreślono linię środkową o długości cztery oraz wysokość h odcinającą w lewej części trapezu trójkąt prostokątny o pionowej przyprostokątnej h, poziomej przyprostokątnej o długości a-b2 oraz o przeciwprostokątnej o długości siedem. W trapezie prostokątnym wykreślono przekątną łączącą dolny lewy wierzchołek z prawym górnym wierzchołkiem. Ma ona długość 8 i wycina drugi trójkąt prostokątny o następujących bokach: poziomej przyprostokątnej o długości a+b2, pionowej przyprostokątnej h oraz o przeciwprostokątnej będącej przekątną trapezu o długości osiem.

Dwukrotnie stosujemy twierdzenie Pitagorasa:

$h^{2} = 7^{2} - {(\frac{a - b}{2})}^{2}$ , $h^{2} = 8^{2} - {(\frac{a + b}{2})}^{2}$ .

Wtedy $h^{2} = 7^{2} - {(\frac{a - b}{2})}^{2} = 8^{2} - {(\frac{a + b}{2})}^{2}$ czyli

$49 - \frac{1}{4} (a^{2} - 2 a b + b^{2}) = 64 - \frac{1}{4} (a^{2} + 2 a b + b^{2})$

$49 + \frac{a b}{2} = 64 - \frac{a b}{2}$

$a b = 15$ .

Korzystamy z własności linii środkowej w trapezie

$\frac{a + b}{2} = 4$

Dostajemy układ równań

$\{\begin{matrix} a b = 15 \\ a + b = 8 \end{matrix}$

$\{\begin{matrix} b (8 - b) = 15 \\ a = 8 - b \end{matrix}$

$b^{2} - 8 b + 15 = 0$

$Δ = 64 - 60 = 4$ , $\sqrt{Δ} = 2$

$b_{1} = \frac{8 - 2}{2} = 3$ , $b_{2} = \frac{8 + 2}{2} = 5$

$a_{1} = 8 - 3 = 5$ , $a_{2} = 8 - 5 = 3$

Ponieważ założyliśmy, że $a > b$ , to rozwiązaniem jest $a = 5$ , $b = 3$ .

Ćwiczenie 8

Ramiona trapezu $A B C D$ podzielono na cztery równe odcinki, a następnie końce odpowiednich odcinków na ramionach trapezu zostały połączone odcinkami jak na rysunku. Wyznacz długości odcinków $G I$ , $E F$ , $H J$ oraz różnicę ciągu arytmetycznego utworzonego przez długości tych odcinków, jeśli $a = 16$ , $b = 4$ .

R11bRMNRGIF2f

Ilustracja przedstawia trapez A B C D, którego górna podstawa CD ma długość b, a dolna podstawa AB ma długość a. Ramiona trapezu podzielono na cztery odcinki, na ramieniu AD znajdują się punkty, patrząc od góry: G E H, z kolei na ramieniu CB patrząc od góry znajdują się punkty I F J.

$|E F| = \frac{16 + 4}{2} = 10$ , bo $E F$ jest linią środkową w trapezie $A B C D$ .

$|G I| = \frac{10 + 4}{2} = 7$ , bo $G I$ jest linią środkową w trapezie $C D E F$ .

$|H J| = \frac{10 + 16}{2} = 13$ , bo $H J$ jest linią środkową w trapezie $A B F E$ .

Długości tych odcinków, to $7$ , $10$ , $13$ .

Tworzą one ciąg arytmetyczny o różnicy $r = 10 - 3 = 7$ .

Symulacja interaktywna

Dla nauczyciela