Sprawdź się

Pokaż ćwiczenia:

R13UFGrzCksQd

Ćwiczenie 1

Ćwiczenie 2

Wyznacz współczynniki kierunkowe prostych o podanych równaniach ogólnych. Wpisz w odpowiednie miejsce. Wskazówka - wykorzystaj wzór $\frac{\log_{a} b}{\log_{a} c} = \log_{c} b$ , gdzie $a > 0, b > 0, c > 0, a \neq 1, c \neq 1$ .

RsQmTzvLUacPN

Równanie ogólne prostej:

x \log_{3} 2 + y \log_{3} 2 - 5 = 0

. Współczynnik kierunkowy wynosi. Tu uzupełnij. Równanie ogólne prostej:

x \log_{3} 4 - y \log_{3} 2 + 3 = 0

. Współczynnik kierunkowy wynosi. Tu uzupełnij. Równanie ogólne prostej:

x \log_{3} 8 + y \log_{3} 2 - 6 = 0

. Współczynnik kierunkowy wynosi. Tu uzupełnij. Równanie ogólne prostej:

x \log_{7} 125 - y \log_{7} 5 + 10 = 0

. Współczynnik kierunkowy wynosi. Tu uzupełnij. Równanie ogólne prostej:

x \log_{5} 9 + y \log_{5} 3 - 7 = 0

. Współczynnik kierunkowy wynosi. Tu uzupełnij. Równanie ogólne prostej:

x \log_{2} 3 - y \log_{2} 3 - 3 = 0

. Współczynnik kierunkowy wynosi. Tu uzupełnij.

RaB0Ei4RrSWPf2

Ćwiczenie 3

Równanie ogólne prostej: Współczynnik kierunkowy wynosi. Tu uzupełnij. Równanie ogólne prostej:

\sqrt{15} x + \sqrt{3} y + \sqrt{5} = 0

. Współczynnik kierunkowy wynosi. Tu uzupełnij. Równanie ogólne prostej:

\sqrt{15} x - \sqrt{5} y + \sqrt{3} = 0

. Współczynnik kierunkowy wynosi. Tu uzupełnij. Równanie ogólne prostej:

\sqrt{10} x + \sqrt{5} y + \sqrt{7} = 0

. Współczynnik kierunkowy wynosi. Tu uzupełnij. Równanie ogólne prostej:

\sqrt{10} x - \sqrt{2} y - \sqrt{7} = 0

. Współczynnik kierunkowy wynosi. Tu uzupełnij. Równanie ogólne prostej:

\sqrt{21} x - \sqrt{3} y + \sqrt{11} = 0

. Współczynnik kierunkowy wynosi. Tu uzupełnij. Równanie ogólne prostej:

\sqrt{21} x + \sqrt{7} y + \sqrt{7} = 0

. Współczynnik kierunkowy wynosi. Tu uzupełnij.

Ćwiczenie 4

Rozstrzygnij, czy proste o równaniach $4 x + 5 y - 3 = 0$ i $10 x - 7 y + 7 = 0$ są prostopadłe.

Przekształcimy równania do postaci kierunkowej. Pierwsze przyjmie postać

$\begin{array}{l} 4 x + 5 y - 3 = 0 \\ 5 y = - 4 x + 3 \\ y = - \frac{4}{5} x + \frac{3}{5} \end{array}$

Zaś drugie

$\begin{array}{l} 10 x - 7 y + 7 = 0 \\ 7 y = 10 x + 7 \\ y = \frac{10}{7} x + 1 \end{array}$

Iloczyn ich współczynników kierunkowych jest równy $- \frac{4}{5} \cdot \frac{10}{7} = - \frac{8}{7}$ . Ponieważ iloczyn współczynników kierunkowych prostych nie jest równy $- 1$ , więc proste nie są prostopadłe.

R1LwgpHLjzYRT2

Ćwiczenie 5

Rozwiąż test.. tak. Możliwe odpowiedzi: Proste o równaniach

4 x + 6 y - 9 = 0

3 x + 2 y + 10 = 0

są prostopadłe, Proste o równaniach

5 x - 3 y + 12 = 0

10 x + 6 y + 13 = 0

są prostopadłe, Proste o równaniach

5 x + 3 y + 17 = 0

9 x - 15 y + 10 = 0

są prostopadłe. nie. Możliwe odpowiedzi: Proste o równaniach

4 x + 6 y - 9 = 0

3 x + 2 y + 10 = 0

są prostopadłe, Proste o równaniach

5 x - 3 y + 12 = 0

10 x + 6 y + 13 = 0

są prostopadłe, Proste o równaniach

5 x + 3 y + 17 = 0

9 x - 15 y + 10 = 0

są prostopadłe

R11U3wucHn8u72

Ćwiczenie 6

Połącz w pary równania opisujące proste prostopadłe.

3 x - 4 y + 7 = 0

Możliwe odpowiedzi: 1.

6 x + 8 y + 10 = 0

, 2.

4 x + 3 y + 10 = 0

, 3.

9 x - 12 y + 10 = 0

, 4.

8 x - 6 y + 11 = 0

3 x + 4 y - 13 = 0

Możliwe odpowiedzi: 1.

6 x + 8 y + 10 = 0

, 2.

4 x + 3 y + 10 = 0

, 3.

9 x - 12 y + 10 = 0

, 4.

8 x - 6 y + 11 = 0

- 4 x + 3 y + 17 = 0

Możliwe odpowiedzi: 1.

6 x + 8 y + 10 = 0

, 2.

4 x + 3 y + 10 = 0

, 3.

9 x - 12 y + 10 = 0

, 4.

8 x - 6 y + 11 = 0

4 x + 3 y + 5 = 0

Możliwe odpowiedzi: 1.

6 x + 8 y + 10 = 0

, 2.

4 x + 3 y + 10 = 0

, 3.

9 x - 12 y + 10 = 0

, 4.

8 x - 6 y + 11 = 0

R7lRWvE2YH7Zs3

Ćwiczenie 7

Ćwiczenie 8

Dane są współrzędne wierzchołków $A = (- 1; - 5)$ i $B = (5; - 1)$ prostokąta $A B C D$ o polu $78$ . Wyznacz współrzędne punktów $C$ i $D$ .

Zaczniemy od wyznaczenia równania prostej $A B$ . Korzystając ze wzoru na równanie prostej przechodzącej przez dwa punkty otrzymujemy: $\begin{array}{l} (5 - (- 1)) (y - (- 5)) = (- 1 - (- 5)) (x - (- 1)) \\ 6 y + 30 = 4 x + 4 \\ 6 y - 4 x + 26 = 0 \\ - 2 x + 3 y + 13 = 0 \end{array}$

Współczynnik kierunkowy prostej o równaniu wyznaczonym powyżej jest równy $\frac{2}{3}$ . Znając współczynnik kierunkowy prostej $A B$ możemy wyznaczyć równania prostych $B C$ i $A D$ (w tej kolejności).

Równanie prostej $B C$ to: $y - (- 1) = - \frac{3}{2} (x - 5),$ czyli $y = - 1, 5 x + 6, 5$ .

Równanie prostej $A D$ to: $y - (- 5) = - \frac{3}{2} (x - (- 1))$ , czyli $y = - 1, 5 x - 6, 5$ .

Po wyznaczeniu równań prostych $B C$ i $A D$ skorzystamy z pola prostokąta. W tym celu wyznaczymy długość odcinka AB:

$| A B | = \sqrt{(- 1 - 5)^{2} + (- 5 - (- 1))^{2}} = \sqrt{36 + 16} = \sqrt{52} = 2 \sqrt{13}$

Korzystając z pola prostokąta i wyznaczonej długości odcinka $A B$ możemy wyznaczyć długość odcinków $B C$ i $A D$ :

$| B C | = | A D | = \frac{78}{2 \sqrt{13}} = 3 \sqrt{13}$ . Teraz możemy już wyznaczyć współrzędne punktów $C$ i $D$ (w tej kolejności).

Ponieważ punkt C leży na prostej o równaniu $y = - 1, 5 x + 6, 5$ , więc jego współrzędne możemy wyrazić jako $(c; 6, 5 - 1, 5 c)$ .

Ze wzoru na długość odcinka zastosowanego do odcinka $B C$ otrzymujemy równanie $\sqrt{(c - 5)^{2} + (6, 5 - 1, 5 c - (- 1))^{2}} = 3 \sqrt{13}$ , które jest równoważne równaniu $c^{2} - 10 c - 11 = 0$ .

Pierwiastkami powyższego równania są liczby $11$ i $-1$ , zatem punkt $C$ ma współrzędne $(11; - 10)$ lub $(- 1; 8)$ .

Ponieważ punkt $D$ leży na prostej o równaniu $y = - 1, 5 x - 6, 5$ , więc jego współrzędne możemy wyrazić jako $(d; - 1, 5 d - 6, 5)$ .

Ze wzoru na długość odcinka zastosowanego do odcinka $A D$ otrzymujemy równanie $\sqrt{(d - (- 1))^{2} + (- 1, 5 d - 6, 5 - (- 5))^{2}} = 3 \sqrt{13}$ , które jest równoważne równaniu $d^{2} + 2 d - 35 = 0$

Pierwiastkami powyższego równania są liczby $5$ i $-7$ , zatem punkt $D$ ma współrzędne $(5; - 14)$ lub $(- 7; 4)$ .

Zatem $C = (- 1; 8)$ i $D = (- 7; 4)$ lub $C = (11; - 10)$ i $D = (5; - 14)$ .

Infografika

Dla nauczyciela