Założenie:

$f\left(x\right)=\frac{2}{x}$, $D_f=\mathrm{ℝ}\setminus \left\{0\right\}$, $x_1,x_2\in {\mathrm{ℝ}}_{+}$ i $x_1<x_2$

Teza:

$f\left(x_1\right)>f\left(x_2\right)$

Dowód:

Zbadamy znak różnicy wartości funkcji $f$ dla argumentów $x_1,x_2\in {\mathrm{ℝ}}_{+}$:

$f\left(x_1\right)-f\left(x_2\right)=\frac{2}{x_1}-\frac{2}{x_2}=\frac{2x_2-2x_1}{x_1{x}_2}=\frac{-2\left(x_1-x_2\right)}{x_1{x}_2}>0$

Uzasadnienie:

• $x_1-x_2<0$ z założenia, ponieważ $x_1<x_2$

• $-2\left(x_1-x_2\right)>0$ ponieważ iloczyn dwóch liczb ujemnych jest liczbą dodatnią

• $x_1{x}_2>0$ z założenia, ponieważ iloczyn dwóch liczb dodatnich jest liczbą dodatnią

• $\frac{-2\left(x_1-x_2\right)}{x_1{x}_2}>0$, ponieważ iloraz dwóch liczb dodatnich jest liczbą dodatnią

Otrzymaliśmy nierówność $f\left(x_1\right)-f\left(x_2\right)>0$, zatem $f\left(x_1\right)>f\left(x_2\right)$, co należało udowodnić.

Założenie:

$f\left(x\right)=\frac{3}{x}$, $D_f=\mathrm{ℝ}\setminus \left\{0\right\}$

$x_1,x_2\in D_f$, $x_1,\ne x_2$, czyli $x_1-x_2\ne 0$

Teza:

$f\left(x_1\right)-f\left(x_2\right)\ne 0$

Dowód:

Badamy różnicę wartości funkcji $f$ dla argumentów $x_1$, $x_2$.

$f\left(x_1\right)-f\left(x_2\right)=\frac{3}{x_1}-\frac{3}{x_2}=\frac{3x_2-3x_1}{x_1{x}_2}=\frac{-3\left(x_1-x_2\right)}{x_1{x}_2}\ne 0$

Uzasadnienie:

• $x_1-x_2\ne 0$ z założenia

• $-3\left(x_1-x_2\right)\ne 0$, ponieważ iloczyn dwóch liczb różnych od zera jest liczbą różną od zera

• $\frac{-3\left(x_1-x_2\right)}{x_1{x}_2}\ne 0$, ponieważ iloraz dwóch liczb różnych od zera jest liczbą różną od zera

Wobec tego, że $x_1$, $x_2$ oznaczały dowolne liczby rzeczywiste różne od zera, wykazaliśmy, że funkcja $f\left(x\right)=\frac{3}{x}$ jest różnowartościowa w swojej dziedzinie.

Dziedziną funkcji $f\left(x\right)=\frac{1}{x}$ jest zbiór $D_f=\mathrm{ℝ}\setminus \left\{0\right\}$, czyli zbiór symetryczny względem punktu $0$ na osi $X$.

Zbadamy wartość funkcji dla liczby $-x$:

$f\left(-x\right)=\frac{1}{-x}=-\frac{1}{x}=-f\left(x\right)$

Udowodniliśmy, że dla przeciwnych argumentów funkcja przyjmuje przeciwne wartości, czyli jest nieparzysta.