Sprawdź się

Pokaż ćwiczenia:

Ćwiczenie 1

RAzyHZMcVc1d5

Wykresem funkcji $f (x) = \frac{π}{x}$ jest:

hiperbola
parabola
prosta

Ćwiczenie 2

RL579Emh6NDDm

Która z podanych własności nie jest własnością funkcji $f (x) = \frac{5}{x}$ ?

funkcja jest malejąca w zbiorze $ℝ \ "{"0"}"$
$D_{f} = ℝ \ "{"0"}"$
$Z W_{f} = ℝ \ "{"0"}"$

Ćwiczenie 3

R1VO95C6qWYsX

Wykres funkcji $f (x) = \frac{7}{x}$ jest symetryczny względem:

punktu $(0; 0)$
osi $X$
osi $Y$

Ćwiczenie 4

RaolYYmOZ2DIV

Wskaż równania wszystkich prostych będących asymptotami wykresu funkcji
$f (x) = \frac{4}{x}$ .

$x = 0$
$x = 4$
$y = 4$
$y = 0$
$y = x$
$y = - x$

Ćwiczenie 5

R3aHoBwRSnR4m

Oceń prawdziwość stwierdzeń:

	Prawda	Fałsz
funkcja $f (x) = \frac{1}{x}$ jest malejąca w swojej dziedzinie	□	□
funkcja $f (x) = \frac{1}{x}$ jest rosnąca w swojej dziedzinie	□	□
funkcja $f (x) = \frac{1}{x}$ jest malejąca w każdym z przedziałów $(- \infty; 0)$ , $(0; \infty)$	□	□

Ćwiczenie 6

Udowodnij, że funkcja $f (x) = \frac{2}{x}$ jest malejąca w zbiorze $ℝ_{+}$ .

Założenie:

$f (x) = \frac{2}{x}$ , $D_{f} = ℝ ∖ \{0\}$ , $x_{1}, x_{2} \in ℝ_{+}$ i $x_{1} < x_{2}$

Teza:

$f (x_{1}) > f (x_{2})$

Dowód:

Zbadamy znak różnicy wartości funkcji $f$ dla argumentów $x_{1}, x_{2} \in ℝ_{+}$ :

$f (x_{1}) - f (x_{2}) = \frac{2}{x_{1}} - \frac{2}{x_{2}} = \frac{2 x_{2} - 2 x_{1}}{x_{1} x_{2}} = \frac{- 2 (x_{1} - x_{2})}{x_{1} x_{2}} > 0$

Uzasadnienie:

$x_{1} - x_{2} < 0$ z założenia, ponieważ $x_{1} < x_{2}$

$- 2 (x_{1} - x_{2}) > 0$ ponieważ iloczyn dwóch liczb ujemnych jest liczbą dodatnią

$x_{1} x_{2} > 0$ z założenia, ponieważ iloczyn dwóch liczb dodatnich jest liczbą dodatnią

$\frac{- 2 (x_{1} - x_{2})}{x_{1} x_{2}} > 0$ , ponieważ iloraz dwóch liczb dodatnich jest liczbą dodatnią

Otrzymaliśmy nierówność $f (x_{1}) - f (x_{2}) > 0$ , zatem $f (x_{1}) > f (x_{2})$ , co należało udowodnić.

Ćwiczenie 7

Udowodnij, że funkcja $f (x) = \frac{3}{x}$ jest różnowartościowa.

Założenie:

$f (x) = \frac{3}{x}$ , $D_{f} = ℝ ∖ \{0\}$

$x_{1}, x_{2} \in D_{f}$ , $x_{1}, \neq x_{2}$ , czyli $x_{1} - x_{2} \neq 0$

Teza:

$f (x_{1}) - f (x_{2}) \neq 0$

Dowód:

Badamy różnicę wartości funkcji $f$ dla argumentów $x_{1}$ , $x_{2}$ .

$f (x_{1}) - f (x_{2}) = \frac{3}{x_{1}} - \frac{3}{x_{2}} = \frac{3 x_{2} - 3 x_{1}}{x_{1} x_{2}} = \frac{- 3 (x_{1} - x_{2})}{x_{1} x_{2}} \neq 0$

Uzasadnienie:

$x_{1} - x_{2} \neq 0$ z założenia

$- 3 (x_{1} - x_{2}) \neq 0$ , ponieważ iloczyn dwóch liczb różnych od zera jest liczbą różną od zera

$\frac{- 3 (x_{1} - x_{2})}{x_{1} x_{2}} \neq 0$ , ponieważ iloraz dwóch liczb różnych od zera jest liczbą różną od zera

Wobec tego, że $x_{1}$ , $x_{2}$ oznaczały dowolne liczby rzeczywiste różne od zera, wykazaliśmy, że funkcja $f (x) = \frac{3}{x}$ jest różnowartościowa w swojej dziedzinie.

Ćwiczenie 8

Udowodnij, że funkcja $f (x) = \frac{1}{x}$ jest nieparzysta.

Dziedziną funkcji $f (x) = \frac{1}{x}$ jest zbiór $D_{f} = ℝ ∖ \{0\}$ , czyli zbiór symetryczny względem punktu $0$ na osi $X$ .

Zbadamy wartość funkcji dla liczby $- x$ :

$f (- x) = \frac{1}{- x} = - \frac{1}{x} = - f (x)$

Udowodniliśmy, że dla przeciwnych argumentów funkcja przyjmuje przeciwne wartości, czyli jest nieparzysta.

Infografika

Dla nauczyciela