Sprawdź się

Pokaż ćwiczenia:

Rfml5zzDe2XTA1

Ćwiczenie 1

Zaznacz odpowiednie słowa tak, aby tekst był poprawny.

Okres drgań ciężarka na sprężynie zależy od masy ciężarka i współczynnika sprężystości sprężyny. Im większa jest masa ciężarka tym {#większy} / {mniejszy} jest okres, ale im większy jest współczynnik sprężystości tym {większy} / {#mniejszy} jest okres. Jeśli chcemy, by okres zmalał czterokrotnie, masa ciężarka musi {wzrosnąć} / {#zmaleć} {dwukrotnie} / {czterokrotnie} / {ośmiokrotnie} / {#szesnastokrotnie}.

RHg7oI4rDnpxn1

Ćwiczenie 2

RYOIt9w33ODFF1

Ćwiczenie 3

Sprężyny A i B mają identyczne wymiary, ale są wykonane z różnych materiałów. Przez to współczynnik sprężystości sprężyny A jest większy niż współczynnik sprężystości sprężyny B. Uzupełnij luki literami "A" i "B", aby uzyskać poprawne stwierdzenia.

1. Rozciągamy obie sprężyny o taką samą długość. Aby to zrobić, większą siłę należy przyłożyć do sprężyny .............

2. Ściskamy obie sprężyny o taką samą długość. Aby to zrobić, większą siłę należy przyłożyć do sprężyny .............

3. Wieszamy obie sprężyny na statywie w pewnym laboratorium na Ziemi. Zawieszamy na obydwu sprężynach identyczne ciężarki. Bardziej wydłuży się sprężyna .............

Ćwiczenie 4

Poniższy rysunek przedstawia wykresy zależności okresu drgań od masy ciężarka dla sprężyny 1 (krzywa czerwona) i sprężyny 2 (krzywa zielona). Wskaż sprężynę o większym współczynniku sprężystości; odpowiedź uzasadnij.

R18Eb3GeQk5Wx

Źródło: Politechnika Warszawska Wydział Fizyki, licencja: CC BY 4.0. Licencja: https://creativecommons.org/licenses/by/4.0/deed.pl.

Sprężyna 2 ma większy współczynnik sprężystości.
Można to zauważyć, analizując przebieg funkcji $T(m)=\sqrt{\left(\frac{4\pi^2}{k}\right)m}$ . Jeśli współczynnik $k$ rośnie, to współczynnik w nawiasie mnożący masę $m$ maleje, a zatem wartości funkcji dla ustalonej masy maleją. To oznacza, że im większy jest współczynnik sprężystości, tym bliżej osi poziomej będzie leżał wykres $T(m)$ . Wykres $T(m)$ dla sprężyny 2 leży poniżej wykresu $T(m)$ dla sprężyny 1. Zatem sprężyna 2 musi mieć większy współczynnik sprężystości.

R1H08AzBN47Wk2

Ćwiczenie 4

Ćwiczenie alternatywne. Zaznacz odpowiedź poprawną: Na dwóch sprężynach o różnych wartościach współczynnika sprężystości zawieszono taki sam ciężarek i wychylono go z położenia równowagi, przy czym amplituda drgań ciężarka na obu sprężynach jest taka sama.

okres drgań ciężarka zawieszonego na sprężynie o mniejszym współczynniku sprężystości będzie krótszy
okres drgań ciężarka zawieszonego na sprężynie o mniejszym współczynniku sprężystości będzie taki sam, jak dla ciężarka zwieszonego na sprężynie o większym współczynniku sprężystości
okres drgań ciężarka zawieszonego na sprężynie o mniejszym współczynniku sprężystości będzie dłuższy

Ćwiczenie 5

Rysunek przedstawia wykres teoretycznej zależności $T(m)$ okresu drgań ciężarka na sprężynie od jego masy. Uczniowie badali drgania ciężarków na tej sprężynie, żeby sprawdzić doświadczalnie tę zależność.

R1XnQOYk0lsCJ

Źródło: Politechnika Warszawska Wydział Fizyki, licencja: CC BY 4.0. Licencja: https://creativecommons.org/licenses/by/4.0/deed.pl.

Uczniowie przy pomocy stopera mierzyli okres drgań ciężarków o trzech różnych masach. Okres mierzono stoperem, mierząc czas trwania 10 drgań i dzieląc wynik przez 10. Czas reakcji człowieka średnio wynosi ok. $0,2\,\text{s}$ , co oznacza, że uczeń mógł zarówno włączyć, jak i wyłączyć pomiar czasu o $0,2\,\text{s}$ za wcześnie lub za późno. Uczniowie używali bardzo precyzyjnych ciężarków, dla których można przyjąć, że niepewność masy jest pomijalna.

Tabela przedstawia wyniki pomiarów. Nanieś je na wzorcowy wykres (możesz go wydrukować) wraz ze słupkami niepewności i zweryfikuj, czy standardowy wzór na okres drgań ciężarka na sprężynie jest zgodny z doświadczeniem.

pomiar	masa ciężarka $m\,[\text{g}]$	okres drgań $T\,[\text{s}]$	niepewność standardowa okresu drgań $u(T)\,[\text{s}]$
1	100	0,47	0,023
2	200	0,65	0,023
3	300	0,83	0,023

Pomiar czasu trwania 10 drgań jest obarczony niepewnością graniczną $\Delta t = 0,4\,\text{s}$ . Oznacza to, że standardowa niepewność pomiarowa takiego pomiaru jest równa $u(t) = \frac{\Delta t}{\sqrt{3}} \approx 0,23\,\text{s}$ , a niepewność pomiaru pojedynczego okresu wynosi $u(T) = \frac{u(t)}{10} \approx 0,023\,\text{s}$ .

RRDVkPkN98ziN2

Ćwiczenie 5

Ćwiczenie alternatywne. Zaznacz odpowiedź poprawną: Wyrażenie pozwalające na wyznaczenie masy ciężarka drgającego na sprężynie, przy znajomości wartości współczynnika sprężystości oraz długości okresu ma postać:

masa jest równa iloczynowi kwadratu okresu i współczynnika sprężystości podzielonemu przez cztery razy mała grecka litera pi w kwadracie
masa jest równa iloczynowi kwadratu okresu i współczynnika sprężystości podzielonemu przez dwa razy mała grecka litera pi
masa jest równa iloczynowi okresu i współczynnika sprężystości podzielonemu przez cztery razy mała grecka litera pi w kwadracie
masa jest równa iloczynowi okresu i współczynnika sprężystości podzielonemu przez cztery razy mała grecka litera pi w kwadracie w kwadracie

Ćwiczenie 6

R9bH6bQL3y6ux

Na pewnej sprężynie drga ciężarek o masie 50 dag. Zmierzono, że jego okres drgań wynosi T=1,17 s. Oblicz współczynnik sprężystości sprężyny. Wynik podaj z dokładnością do dwóch cyfr znaczących.

Odpowiedź: ............ $\frac{N}{m}$

Przekształćmy wzór, by otrzymać $k$ i wstawmy dane:

$\displaystyle T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}\ \Longrightarrow \ k = \frac{4\pi^2}{T^2}m \approx 14,4\,\text{N}\ .$

Ćwiczenie 7

R1RzRuqDAb19x

Ciężarek o masie m drga na sprężynie o współczynniku sprężystości k z okresem T₁. Trzy ciężarki, o masie m każdy, drgają na sprężynie o współczynniku sprężystości dwukrotnie większym niż k , z okresem T₂ . Oblicz stosunek T₂ do T₁. Wynik podaj z dokładnością do trzech cyfr znaczących.

Odpowiedź: ............

Zapiszmy szukany stosunek i uprośćmy wyrażenie:

$\displaystyle \frac{T_2}{T_1} = \frac{2\pi\sqrt{\frac{3m}{2k}}}{2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}}\approx 1,22\ .$

Ćwiczenie 8

R12RsBLx5IaEO

Dwa różne ciężarki drgają na dwóch identycznych sprężynach. Masa pierwszego ciężarka wynosi 40 dag. W czasie, gdy pierwszy ciężarek wykonuje 15 drgań, drugi ciężarek wykonuje 12 drgań. Oblicz masę drugiego ciężarka. Wynik podaj z dokładnością do dwóch cyfr znaczących.

m₂ = ............ dag

Niech parametry pierwszego ciężarka będą oznaczone indeksem 1, a drugiego - 2. Zapiszmy wzory na okresy obu ciężarków:

T_{1} = \frac{t}{15} = 2 π \sqrt{\frac{m_{1}}{k}}

T_{2} = \frac{t}{12} = 2 π \sqrt{\frac{m_{2}}{k}}

gdzie $t$ to czas, o którym mowa w zadaniu.

Podzielmy te równania stronami. Otrzymamy

$\displaystyle\frac{t/15}{t/12} = \frac{2\pi\sqrt{m_1/k}}{2\pi\sqrt{m_2/k}}\ \Longrightarrow\ \sqrt{\frac{m_1}{m_2}} = \frac{4}{5}\ ,$

a stąd

$\displaystyle m_2 = \frac{25}{16}m_1 \approx 62,5\,\text{dag}\ .$

Ćwiczenie 9

Do końca sprężyny wiszącej na statywie na stałe przyspawana jest metalowa kula o nieznanej masie. Nie znamy również współczynnika sprężystości tej sprężyny. Mamy do dyspozycji stoper i ciężarek o znanej masie $m$ , który można przyczepić do kuli. Wyprowadzając stosowny wzór, udowodnij, że przy pomocy tych przyrządów jesteśmy w stanie zmierzyć współczynnik sprężystości tej sprężyny.

Oznaczmy masę kuli przez $M$ .

Najpierw mierzymy stoperem okres drgań samej kuli; oznaczmy otrzymany wynik przez $T_1$ . Następnie mierzymy stoperem okres drgań kuli z przyczepionym ciężarkiem; nazwijmy otrzymany wynik $T_2$ . Wyprowadźmy wzór na współczynnik sprężystości sprężyny $k$ . Zacznijmy od zapisania wzorów na zmierzone okresy:

T_{1} = 2 π \sqrt{\frac{M}{k}}

T_{2} = 2 π \sqrt{\frac{M + m}{k}}

Przekształćmy pierwsze równanie, aby uzyskać M:

T_{1}^{2} = 4 π^{2} \frac{M}{k} \Rightarrow

M = \frac{T_{1}^{2} k}{4 π^{2}}

Wstawmy wynik do drugiego równania i przekształćmy je, aby uzyskać k:

T_{2} = 2 π \sqrt{\frac{\frac{T_{1}^{2} k}{4 π^{2}} + m}{k}} \Rightarrow

T_{2}^{2} = 4 π^{2} \frac{\frac{T_{1}^{2} k}{4 π^{2}} + m}{k} = T_{1}^{2} + \frac{4 π^{2} m}{k} \Rightarrow

\frac{4 π^{2} m}{k} = T_{2}^{2} - T_{1}^{2} \Rightarrow

k = \frac{4 π^{2} m}{T_{2}^{2} - T_{1}^{2}}

Otrzymaliśmy wzór, w którym współczynnik k jest wyrażony tylko za pomocą wyników pomiarów, co pokazuje, że taki pośredni pomiar współczynnika sprężystości jest możliwy do wykonania.

Raq9xMaWDMtkt3

Ćwiczenie 9

Ćwiczenie alternatywne. Zaznacz odpowiedź poprawną: Jeżeli na dwóch różnych sprężynach, takich że współczynnik sprężystości drugiej sprężyny jest dwukrotnie większy niż sprężyny pierwszej, umieścimy taką samą masę i odchylimy od położenia równowagi, to:

okresy drgań sprężyn będą takie same
okres drgań sprężyny o dwa razy mniejszym współczynniki sprężystości będzie dwa razy krótszy
okres drgań sprężyny o dwa razy mniejszym współczynniki sprężystości będzie o jeden przez pierwiastek z dwóch razy krótszy
okres drgań sprężyny o dwa razy mniejszym współczynniki sprężystości będzie dwa razy dłuższy
okres drgań sprężyny o dwa razy mniejszym współczynniki sprężystości będzie o jeden przez pierwiastek z dwóch razy dłuższy

Wirtualne laboratorium WL‑I

Dla nauczyciela