Sprawdź się

Pokaż ćwiczenia:

Rsk023TEs05aY1

Ćwiczenie 1

Wskaż liczby spełniające nierówność $\frac{5 x^{4}}{x^{12}} \geq 0$

$π$
$0$
$\sqrt{6}$
$5$

R1P6L0BcaGqCJ1

Ćwiczenie 2

Pogrupuj nierówności ze względu na ich rozwiązanie:

$x \in (0; + \infty)$
$x \in (- \infty; 0)$

RE5hsVBXc915f1

Ćwiczenie 3

Rozwiązaniem nierówności $\frac{5 x^{6}}{x^{20}} ⩾ 5$ są:

$x \in "⟨"- 1; 0) \cup (0; 1"⟩"$
$x \in "⟨"- 1; 1"⟩"$
$x \in (- \infty; - 1"⟩" \cup "⟨"1; + \infty)$

Ćwiczenie 4

RpDyXlKobaucI

Rozwiązaniem nierówności

$- \frac{2}{x} < - 2$	jest	$x \in (0; 1)$
$\frac{1}{x} \geq 1$	jest	$x \in (- 2; 0) \cup (0; 2)$
$\frac{x^{2}}{x^{7}} > \frac{1}{32}$	jest	$x \in (0; 1⟩$
$\frac{x^{2}}{x^{6}} > \frac{1}{16}$	jest	$x \in (0; 2)$

RZZ0fqOSCcuAm

Uzupełnij luki, wybierając odpowiednie rozwiązanie podanych nierówności.

Rozwiązaniem nierówności $\frac{1}{x} \geq 1$ są liczby z przedziału 1. $(0; 1)$ , 2. $(0; 1⟩$ , 3. $(0; 2)$ , 4. $(- 2; 0) \cup (0; 2)$ .
Rozwiązaniem nierówności $- \frac{2}{x} < - 2$ są liczby z przedziału 1. $(0; 1)$ , 2. $(0; 1⟩$ , 3. $(0; 2)$ , 4. $(- 2; 0) \cup (0; 2)$ .
Rozwiązaniem nierówności $\frac{x^{2}}{x^{6}} > \frac{1}{16}$ są liczby z przedziału 1. $(0; 1)$ , 2. $(0; 1⟩$ , 3. $(0; 2)$ , 4. $(- 2; 0) \cup (0; 2)$ .
Rozwiązaniem nierówności $\frac{x^{2}}{x^{7}} > \frac{1}{32}$ są liczby z przedziału 1. $(0; 1)$ , 2. $(0; 1⟩$ , 3. $(0; 2)$ , 4. $(- 2; 0) \cup (0; 2)$ .

RqqIHZgvFC3NV2

Ćwiczenie 5

Spośród poniższych nierówności wskaż tę, którą spełnia dokładnie sześć liczb całkowitych.

$"|"\frac{1}{x}"|" > \frac{1}{6}$
$"|"\frac{1}{x}"|" > 6$
$"|"\frac{1}{x}"|" > \frac{1}{4}$
$"|"\frac{1}{x}"|" > 4$

RThFOnlOtJqnL3

Ćwiczenie 6

Funkcja $f$ określona jest wzorem $f (x) = \frac{π}{x}$ . Wyznacz argument będący największą liczbą całkowitą, dla której funkcja $f$ przyjmuje wartości nie mniejsze niż $\frac{1}{30}$ .

Zakoduj kolejno cyfrę setek, dziesiątek i jedności kwadratu otrzymanego wyniku, gdzie $π = 3, 14$ .
............

Ćwiczenie 7

Funkcja określona jest wzorem $f (x) = \frac{2}{x^{3}}$ . Wyznacz te argumenty, dla których funkcja $f$ przyjmuje mniejsze wartości niż funkcja $g (x) = \frac{54}{x^{6}}$ .

Rowiąż nierówność $\frac{2}{x^{3}} < \frac{54}{x^{6}}$ .

Nie zapomnij o podaniu dziedziny nierówności wymiernej.

$D = ℝ ∖ \{0\}$ .

Pomnóżmy obustronnie nierówność wymierną przez $x^{6}$ , bo $x^{6} > 0$ .

$\frac{2}{x^{3}} < \frac{54}{x^{6}} | \cdot x^{6}$

Zwrot nierówności nie ulegnie zmianie

$2 x^{3} < 54 | : 2$ ,

$x^{3} < 27$ ,

$x^{3} - 27 < 0$ .

Skorzystajmy ze wzoru skróconego mnożenia

$a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ .

Wówczas

$(x - 3) (x^{2} + 3 x + 9) < 0$ .

Wielomian $W (x) = (x - 3) (x^{2} + 3 x + 9)$ ma jeden jednokrotny pierwiastek: $3$ .

Uwzględniając $D = ℝ ∖ \{0\}$ szkicujemy wykres.

RiQk6l314VRnL

Zbiorem rozwiązań nierówności $f (x) < g (x)$ jest zbiór $(- \infty; 0) \cup (0; 3)$ .

Ćwiczenie 8

Rozwiąż nierówność $|x| \leq \frac{16}{x^{3}}$ .

Wyznacz dziedzinę, a następnie rozwiąż podaną nierówność w dwóch przedziałach: $(- \infty; 0)$ , $(0; + \infty)$ .

$D = ℝ ∖ \{0\}$

Rozwiążemy nierówność w przedziale $(- \infty; 0)$ :

$- x \leq \frac{16}{x^{3}} | \cdot x^{6}$ , $x^{6} > 0$ ,

$- x^{7} \leq 16 x^{3}$ ,

$- x^{3} (x^{4} + 16) \leq 0$ .

Wielomian $W (x) = - x^{3} (x^{4} + 16)$ ma tylko jeden trzykrotny pierwiastek: $0$ .

Szkicujemy wykres uwzględniając dziedzinę $D = ℝ ∖ \{0\}$ .

R2ubUZENFnWHo

Na ilustracji przedstawiono poziomą oś X z zaznaczonym punktem zero. Wykres biegnie nad osią X od minus nieskończoności, po czym przecina oś X w niezamalowanym punkcie zero, skąd biegnie do plus nieskończoności pod osią X.

Rozwiązaniem nierówności $- x \leq \frac{16}{x^{3}}$ jest przedział $(0; + \infty)$ .

Wyznaczamy część wspólną przedziałów:

$(- \infty; 0) \cap (0; + \infty) = \emptyset$ .

Następnie rozwiążmy nierówność w przedziale $(0; + \infty)$ :

$x \leq \frac{16}{x^{3}} | \cdot x^{6}$ , $x^{6} > 0$

$x^{7} - 16 x^{3} \leq 0$ ,

$x^{3} (x^{4} - 16) \leq 0$ ,

$x^{3} (x^{2} - 4) (x^{2} + 4) \leq 0$ ,

$x^{3} (x - 2) (x + 2) (x^{2} + 4) \leq 0$ .

Wielomian $W (x) = x^{3} (x - 2) (x + 2) (x^{2} + 4)$ ma jeden pierwiastek trzykrotny: $0$ oraz dwa jednokrotne pierwiastki: $(- 2)$ oraz $2$ .

Uwzględniając dziedzinę $D = ℝ ∖ \{0\}$ szkicujemy wykres.

Rs9zOjvduXvir

Na ilustracji przedstawiono poziomą oś X z zaznaczonymi trzema punktami minus dwa, zero, oraz dwa. Wykres biegnie pod osią X od minus nieskończoności, po czym przecina oś X w zamalowanym punkcie minus dwa. Następnie wykres biegnie nad osią X, ponownie przecina oś X w niezamalowanym punkcie zero i biegnie pod osią X. Następnie w punkcie 2, ponownie przecina oś X i biegnie do plus nieskończoności nad osią x.

Rozwiązaniem nierówności $x \leq \frac{16}{x^{3}}$ jest zbiór $(- \infty; - 2⟩ \cup (0; 2⟩$ .

Wyznaczamy część wspólną przedziałów:

$(0; + \infty) \cap [(- \infty; - 2⟩ \cup (0; 2⟩] = (0; 2⟩$ .

Wyznaczmy sumę przedziałów:

$\emptyset \cup (0; 2⟩ = (0; 2⟩$ .

Rozwiązaniem nierówności jest przedział $(0; 2⟩$ .

Infografika

Dla nauczyciela