Sprawdź się

Pokaż ćwiczenia:

Rsk023TEs05aY1

Ćwiczenie 1

R1P6L0BcaGqCJ1

Ćwiczenie 2

Rozwiązaniem nierówności wymiernej jest: x, należy do, nawias zero, przecinek, plus, nieskończoność zamknięcie nawiasu Możliwe odpowiedzi: 1. początek ułamka, trzy x indeks górny, sześć, koniec indeksu górnego, mianownik, x indeks górny, piętnaście, koniec indeksu górnego, koniec ułamka, większy niż, zero, 2. początek ułamka, minus, dwa x indeks górny, sześć, koniec indeksu górnego, mianownik, pięć x indeks górny, piętnaście, koniec indeksu górnego, koniec ułamka, mniejszy równy, zero, 3. początek ułamka, pięć x indeks górny, dziesięć, koniec indeksu górnego, mianownik, x indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego, koniec ułamka, mniejszy równy, zero, 4. początek ułamka, dwa, mianownik, x, koniec ułamka, większy niż, zero, 5. początek ułamka, minus, dwa x indeks górny, sześć, koniec indeksu górnego, mianownik, x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, koniec ułamka, mniejszy równy, zero, 6. minus, początek ułamka, trzy x, mianownik, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, koniec ułamka, większy równy, zero, 7. początek ułamka, minus, trzy x indeks górny, jedenaście, koniec indeksu górnego, mianownik, minus, dwa x indeks górny, sześć, koniec indeksu górnego, koniec ułamka, większy równy, zero, 8. początek ułamka, minus, sześć, mianownik, x, koniec ułamka, większy niż, zero x, należy do, nawias, minus, nieskończoność, przecinek, zero zamknięcie nawiasu Możliwe odpowiedzi: 1. początek ułamka, trzy x indeks górny, sześć, koniec indeksu górnego, mianownik, x indeks górny, piętnaście, koniec indeksu górnego, koniec ułamka, większy niż, zero, 2. początek ułamka, minus, dwa x indeks górny, sześć, koniec indeksu górnego, mianownik, pięć x indeks górny, piętnaście, koniec indeksu górnego, koniec ułamka, mniejszy równy, zero, 3. początek ułamka, pięć x indeks górny, dziesięć, koniec indeksu górnego, mianownik, x indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego, koniec ułamka, mniejszy równy, zero, 4. początek ułamka, dwa, mianownik, x, koniec ułamka, większy niż, zero, 5. początek ułamka, minus, dwa x indeks górny, sześć, koniec indeksu górnego, mianownik, x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, koniec ułamka, mniejszy równy, zero, 6. minus, początek ułamka, trzy x, mianownik, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, koniec ułamka, większy równy, zero, 7. początek ułamka, minus, trzy x indeks górny, jedenaście, koniec indeksu górnego, mianownik, minus, dwa x indeks górny, sześć, koniec indeksu górnego, koniec ułamka, większy równy, zero, 8. początek ułamka, minus, sześć, mianownik, x, koniec ułamka, większy niż, zero

RE5hsVBXc915f1

Ćwiczenie 3

Ćwiczenie 4

RpDyXlKobaucI

RZZ0fqOSCcuAm

Uzupełnij luki, wybierając odpowiednie rozwiązanie podanych nierówności.

Rozwiązaniem nierówności początek ułamka, jeden, mianownik, x, koniec ułamka, większy równy, jeden są liczby z przedziału 1. nawias, zero, średnik, jeden, zamknięcie nawiasu, 2. nawias, zero, średnik, jeden, zamknięcie nawiasu ostrego, 3. nawias, zero, średnik, dwa, zamknięcie nawiasu, 4. nawias, minus, dwa, średnik, zero, zamknięcie nawiasu, suma zbiorów nawias, zero, średnik, dwa, zamknięcie nawiasu.
Rozwiązaniem nierówności minus, początek ułamka, dwa, mianownik, x, koniec ułamka, mniejszy niż, minus, dwa są liczby z przedziału 1. nawias, zero, średnik, jeden, zamknięcie nawiasu, 2. nawias, zero, średnik, jeden, zamknięcie nawiasu ostrego, 3. nawias, zero, średnik, dwa, zamknięcie nawiasu, 4. nawias, minus, dwa, średnik, zero, zamknięcie nawiasu, suma zbiorów nawias, zero, średnik, dwa, zamknięcie nawiasu.
Rozwiązaniem nierówności początek ułamka, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, mianownik, x indeks górny, sześć, koniec indeksu górnego, koniec ułamka, większy niż, początek ułamka, jeden, mianownik, szesnaście, koniec ułamka są liczby z przedziału 1. nawias, zero, średnik, jeden, zamknięcie nawiasu, 2. nawias, zero, średnik, jeden, zamknięcie nawiasu ostrego, 3. nawias, zero, średnik, dwa, zamknięcie nawiasu, 4. nawias, minus, dwa, średnik, zero, zamknięcie nawiasu, suma zbiorów nawias, zero, średnik, dwa, zamknięcie nawiasu.
Rozwiązaniem nierówności początek ułamka, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, mianownik, x indeks górny, siedem, koniec indeksu górnego, koniec ułamka, większy niż, początek ułamka, jeden, mianownik, trzydzieści dwa, koniec ułamka są liczby z przedziału 1. nawias, zero, średnik, jeden, zamknięcie nawiasu, 2. nawias, zero, średnik, jeden, zamknięcie nawiasu ostrego, 3. nawias, zero, średnik, dwa, zamknięcie nawiasu, 4. nawias, minus, dwa, średnik, zero, zamknięcie nawiasu, suma zbiorów nawias, zero, średnik, dwa, zamknięcie nawiasu.

RqqIHZgvFC3NV2

Ćwiczenie 5

RThFOnlOtJqnL3

Ćwiczenie 6

Ćwiczenie 7

Funkcja określona jest wzorem $f (x) = \frac{2}{x^{3}}$ . Wyznacz te argumenty, dla których funkcja $f$ przyjmuje mniejsze wartości niż funkcja $g (x) = \frac{54}{x^{6}}$ .

Rowiąż nierówność $\frac{2}{x^{3}} < \frac{54}{x^{6}}$ .

Nie zapomnij o podaniu dziedziny nierówności wymiernej.

$D = ℝ ∖ \{0\}$ .

Pomnóżmy obustronnie nierówność wymierną przez $x^{6}$ , bo $x^{6} > 0$ .

$\frac{2}{x^{3}} < \frac{54}{x^{6}} | \cdot x^{6}$

Zwrot nierówności nie ulegnie zmianie

$2 x^{3} < 54 | : 2$ ,

$x^{3} < 27$ ,

$x^{3} - 27 < 0$ .

Skorzystajmy ze wzoru skróconego mnożenia

$a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ .

Wówczas

$(x - 3) (x^{2} + 3 x + 9) < 0$ .

Wielomian $W (x) = (x - 3) (x^{2} + 3 x + 9)$ ma jeden jednokrotny pierwiastek: $3$ .

Uwzględniając $D = ℝ ∖ \{0\}$ szkicujemy wykres.

RiQk6l314VRnL

Zbiorem rozwiązań nierówności $f (x) < g (x)$ jest zbiór $(- \infty; 0) \cup (0; 3)$ .

Ćwiczenie 8

Rozwiąż nierówność $|x| \leq \frac{16}{x^{3}}$ .

Wyznacz dziedzinę, a następnie rozwiąż podaną nierówność w dwóch przedziałach: $(- \infty; 0)$ , $(0; + \infty)$ .

$D = ℝ ∖ \{0\}$

Rozwiążemy nierówność w przedziale $(- \infty; 0)$ :

$- x \leq \frac{16}{x^{3}} | \cdot x^{6}$ , $x^{6} > 0$ ,

$- x^{7} \leq 16 x^{3}$ ,

$- x^{3} (x^{4} + 16) \leq 0$ .

Wielomian $W (x) = - x^{3} (x^{4} + 16)$ ma tylko jeden trzykrotny pierwiastek: $0$ .

Szkicujemy wykres uwzględniając dziedzinę $D = ℝ ∖ \{0\}$ .

R2ubUZENFnWHo

Na ilustracji przedstawiono poziomą oś X z zaznaczonym punktem zero. Wykres biegnie nad osią X od minus nieskończoności, po czym przecina oś X w niezamalowanym punkcie zero, skąd biegnie do plus nieskończoności pod osią X.

Rozwiązaniem nierówności $- x \leq \frac{16}{x^{3}}$ jest przedział $(0; + \infty)$ .

Wyznaczamy część wspólną przedziałów:

$(- \infty; 0) \cap (0; + \infty) = \emptyset$ .

Następnie rozwiążmy nierówność w przedziale $(0; + \infty)$ :

$x \leq \frac{16}{x^{3}} | \cdot x^{6}$ , $x^{6} > 0$

$x^{7} - 16 x^{3} \leq 0$ ,

$x^{3} (x^{4} - 16) \leq 0$ ,

$x^{3} (x^{2} - 4) (x^{2} + 4) \leq 0$ ,

$x^{3} (x - 2) (x + 2) (x^{2} + 4) \leq 0$ .

Wielomian $W (x) = x^{3} (x - 2) (x + 2) (x^{2} + 4)$ ma jeden pierwiastek trzykrotny: $0$ oraz dwa jednokrotne pierwiastki: $(- 2)$ oraz $2$ .

Uwzględniając dziedzinę $D = ℝ ∖ \{0\}$ szkicujemy wykres.

Rs9zOjvduXvir

Na ilustracji przedstawiono poziomą oś X z zaznaczonymi trzema punktami minus dwa, zero, oraz dwa. Wykres biegnie pod osią X od minus nieskończoności, po czym przecina oś X w zamalowanym punkcie minus dwa. Następnie wykres biegnie nad osią X, ponownie przecina oś X w niezamalowanym punkcie zero i biegnie pod osią X. Następnie w punkcie 2, ponownie przecina oś X i biegnie do plus nieskończoności nad osią x.

Rozwiązaniem nierówności $x \leq \frac{16}{x^{3}}$ jest zbiór $(- \infty; - 2⟩ \cup (0; 2⟩$ .

Wyznaczamy część wspólną przedziałów:

$(0; + \infty) \cap [(- \infty; - 2⟩ \cup (0; 2⟩] = (0; 2⟩$ .

Wyznaczmy sumę przedziałów:

$\emptyset \cup (0; 2⟩ = (0; 2⟩$ .

Rozwiązaniem nierówności jest przedział $(0; 2⟩$ .

Infografika

Dla nauczyciela