Rozwiąż nierówność wymierną $\frac{-5{\left(x^2\right)}^3}{x^5}\ge \frac{-20\times x^2\times x^5}{x^8}$. Przyjmując założenia: $x^5\ne 0$, $x^8\ne 0$, czyli $x\ne 0$. Zauważmy, że wyrażenia występujące w mianownikach $x^5$, $x^8$ muszą przyjmować wartości różne od zera. Zatem dziedziną nierówności wymiernej jest $\mathrm{ℝ}\setminus \left\{0\right\}$. Przypomnijmy własności potęg. Niech $r$, $s$ będą dowolnymi liczbami rzeczywistymi oraz $a>0$:
1. $a^r·a^s=a^{r+s}$
2. $\left(a^r\right){}^s=a^{r·s}$
3. $\frac{a^r}{a^s}=a^{r-s}$. Zapiszmy nierówność $\frac{-5x^6}{x^5}\ge \frac{-20x^7}{x^8}$. Korzystając z własności potęg, otrzymujemy $-5x$ większe bądź równe ilorazowi $\left(-20\right)$ oraz $x$. Zapiszmy $x\le \frac{4}{x}$. Dzielimy obustronnie nierówność przez liczbę ujemną: $(-5)$. Zatem zmieniamy zwrot nierówności. Otrzymujemy $x\le \frac{4}{x}$. Pomnóżmy obustronnie nierówność przez wyrażenie: $x^2$. Dla $x\ne 0$: $x^2>0$, zatem zwrot nierówności się nie zmieni. Zapisujemy $x^3\le 4x$. Przenieśmy wszystkie wyrażenia na jedną stronę nierówności. Otrzymamy $x^3-4x\le 0$. Wyłączamy $x$ przed nawias. Otrzymujemy $x\left(x^2-4\right)\le 0$. Korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia $a^2-b^2=\left(a-b\right)\left(a+b\right)$. Doprowadzamy nierówność do najprostszej postaci. Pamiętając o tym, aby wielomian był zapisany w postaci iloczynowej. Otrzymujemy $x\left(x-2\right)\left(x+2\right)\le 0$. Uwzględniają dziedzinę $\mathrm{ℝ}\setminus \left\{0\right\}$ szkicujemy wykres $W$. Wykres dla wielomianu $W\left(x\right)=x\left(x-2\right)\left(x+2\right)$ wygląda następująco. Na poziomej osi $X$ zaznaczono liczby -2, 0, oraz dwa. Wykres biegnie od minus nieskończoności pod osią $X$ i przecina wykres w zamalowanym punkcie minus dwa. Następnie biegnie nad osią $X$ i ponownie przecina oś w niezamalowanym punkcie zero. Stąd biegnie pod osią $X$, a następnie przecina oś $X$ w zamalowanym punkcie dwa. Następnie biegnie nad osią $X$ do plus nieskończoności. Odpowiedź. Skoro $x\ne 0$, to rozwiązaniem nierówności wymiernej jest zbiór $(-\infty ;-2>\cup (0;2>$.