Przeczytaj

Przypomnijmy definicję jednomianu oraz twierdzenie o równoważności nierówności:

Jednomianu

Definicja: Jednomianu

Jednomianem nazywamy wyrażenie algebraiczne, które jest liczbą, literą lub iloczynem liczb i liter,

np. $(- 5)$ ; $2 x$ ; $4 x^{5}$ ; $0, 56 x^{8}$ .

o równoważności nierówności

Twierdzenie: o równoważności nierówności

$\frac{W_{1} (x)}{W_{2} (x)} > 0 \Leftrightarrow W_{1} (x) \cdot W_{2} (x) > 0 \land W_{2} (x) \neq 0$

$\frac{W_{1} (x)}{W_{2} (x)} < 0 \Leftrightarrow W_{1} (x) \cdot W_{2} (x) < 0 \land W_{2} (x) \neq 0$

$\frac{W_{1} (x)}{W_{2} (x)} \geq 0 \Leftrightarrow W_{1} (x) \cdot W_{2} (x) \geq 0 \land W_{2} (x) \neq 0$

$\frac{W_{1} (x)}{W_{2} (x)} \leq 0 \Leftrightarrow W_{1} (x) \cdot W_{2} (x) \leq 0 \land W_{2} (x) \neq 0$

Zatem przy rozwiązywaniu nierówności wymiernych często skorzystamy z twierdzenia, że nierówność wymierną możemy zapisać w postaci równoważnej nierówności iloczynowej.

Warto przypomnieć algorytm rozwiązywania nierówności wymiernych.

$I$ sposób:

Wyznaczamy dziedzinę nierówności wymiernejdziedzina nierówności wymiernejdziedzinę nierówności wymiernej.
Sprowadzamy nierówność do postaci ogólnej - przenosimy wszystkie wyrażenia na jedną stronę nierówności.
Wykonujemy wskazane działania.
Nierówność wymierną rozwiązujemy doprowadzając ją do równoważnej postaci wielomianowej przy wyznaczonej dziedzinie nierówności wymiernejdziedzina nierówności wymiernejdziedzinie nierówności wymiernej (zastępujemy iloraz iloczynem z uwzględnieniem założeń).
Wyznaczamy pierwiastki wielomianupierwiastek wielomianupierwiastki wielomianu oraz szkicujemy wykres.
Z wykresu odczytujemy zbiór rozwiązań danej nierówności.
Wyznaczamy rozwiązanie nierówności wymiernej uwzględniając dziedzinę.

$II$ sposób:

Wyznaczamy dziedzinę nierówności wymiernejdziedzina nierówności wymiernejdziedzinę nierówności wymiernej.
Mnożymy obustronnie nierówność przez kwadrat mianownika lub przez inne wyrażenia, których znak jest jednoznacznie określony.
Wykonujemy wskazane działania.
Wyznaczamy pierwiastki wielomianu oraz szkicujemy wykres.
Z wykresu odczytujemy zbiór rozwiązań danej nierówności.
Wyznaczamy rozwiązanie nierówności wymiernej uwzględniając dziedzinę.

Ważne!

Zwróćmy uwagę na to , że przy rozwiązywaniu nierówności wymiernej drugim sposobem, nie możemy mnożyć obustronnie nierówności przez mianownik wyrażenia wymiernego, jeśli nie wiemy jaki on ma znak, czy ujemny czy dodatni. Jeśli znak mianownika byłby ujemny, to po pomnożeniu nierówności przez ten mianownik, musielibyśmy zmienić zwrot nierówności.

Przykład 1

Załóżmy, że wodolot musi przepłynąć z Gdyni do Helu $(18 km)$ w czasie krótszym niż $20 \min$ .

Rozwiążmy nierówność $\frac{18}{v} < \frac{20}{60}$ , gdzie $v$ to prędkość wodolotu.

Zauważmy, że $v \in (0; + \infty)$ .

Wówczas

$\frac{18}{v} < \frac{1}{3} | \cdot 3 v$ ,

gdzie $3 v > 0$

$3 \cdot 18 < v$ ,

$54 < v$ .

Wodolot przepłynie z Gdyni do Helu $(18 km)$ w czasie krótszym niż $20 \min$ , gdy średni prędkość wodolotu będzie większa niż $54 \frac{km}{h}$ .

Przykład 2

Rozwiążmy nierówność $\frac{2}{x} < 0$ .

Wyrażenie $\frac{2}{x}$ zapisane w nierówności jest określone, gdy $x \neq 0$ .

$D = ℝ ∖ \{0\}$ .

Rozwiążemy nierówność wymierną $I$ sposobem.

Skorzystajmy z poniższej równoważność:

$\frac{W_{1} (x)}{W_{2} (x)} < 0 \Leftrightarrow W_{1} (x) \cdot W_{2} (x) < 0 \land W_{2} (x) \neq 0$ .

Wówczas otrzymujemy

$\frac{2}{x} < 0 \Leftrightarrow 2 x < 0 \land x \neq 0$ .

Zatem $x < 0 \land x \neq 0$ .

Rozwiązaniem nierówności $\frac{2}{x} < 0$ jest przedział $(- \infty; 0)$ .

Przykład 3

Rozwiążemy nierówność $\frac{5 x}{x^{2}} \leq 2$ .

Rozwiązując powyższą nierówność nie możemy zapomnieć o założeniach. Zatem ${x^{2}}^{} \neq 0$ , czyli $x \neq 0$ .

$D = ℝ ∖ \{0\}$ .

Następnie rozwiązujemy nierówność $\frac{5 x}{x^{2}} \leq 2$ , wykonując działania na potęgach po lewej stronie nierówności.

Stąd $\frac{5}{x} \leq 2$ .

Pomnóżmy obie strony nierówności przez $x^{2}$ . Zauważmy, że $x^{2} > 0$ , więc zwrot nierówności nie ulega zmianie.

Wówczas $5 x \leq 2 x^{2}$ ,

$2 x^{2} - 5 x \geq 0$ .

Wyłączmy $2 x$ przed nawias

$2 x (x - \frac{5}{2}) \geq 0$ .

Wielomian $W (x) = 2 x (x - \frac{5}{2})$ ma dwa pierwiastki jednokrotne: $0$ oraz $2, 5$ .

Uwzględniając dziedzinę nierówności wymiernejdziedzina nierówności wymiernejdziedzinę nierówności wymiernej $D = ℝ ∖ \{0\}$ szkicujemy wykres.

R3c1C1CyCDlP0

Na ilustracji przedstawiono poziomą oś X z zaznaczonymi dwoma punktami zero, oraz dwa i pół. Wykres biegnie nad osią X od minus nieskończoności, po czym przecina oś X w niezamalowanym punkcie zero. Następnie wykres biegnie pod osią X i ponownie przecina oś X w zamalowanym punkcie dwa i pół, skąd biegnie do plus nieskończoności nad osią X.

Zbiorem rozwiązań nierówności jest zbiór $(- \infty; 0) \cup ⟨2, 5; + \infty)$ .

Przykład 4

Funkcja określona jest wzorem $f (x) = \frac{10}{x}$ . Wyznaczmy te argumenty, dla których funkcja $f$ przyjmuje niemniejsze wartości niż funkcja $g (x) = - \frac{80}{x^{4}}$ .

Rozwiążemy nierówność $\frac{10}{x} \geq - \frac{80}{x^{4}}$ .

$D = ℝ ∖ \{0\}$ .

Pomnóżmy obustronnie nierówność wymierną przez $x^{4}$ , bo $x^{4} > 0$ .

$\frac{10}{x} \geq - \frac{80}{x^{4}} | \cdot x^{4}$

Zwrot nierówności nie ulegnie zmianie

$10 x^{3} \geq - 80 | : 10$ ,

$x^{3} \geq - 8$ ,

$x^{3} + 8 \geq 0$ .

Skorzystajmy ze wzoru skróconego mnożenia

$a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ .

Wówczas

$(x + 2) (x^{2} - 2 x + 4) \geq 0$ .

Wielomian $W (x) = (x + 2) (x^{2} - 2 x + 4)$ ma jeden jednokrotny pierwiastek: $(- 2)$ .

Uwzględniając $D = ℝ ∖ \{0\}$ szkicujemy wykres.

RlVWcjCxwWb6q

Na ilustracji przedstawiono poziomą oś X z zaznaczonymi dwoma punktami minus dwa, oraz zero. Wykres biegnie pod osią X od minus nieskończoności, po czym przecina oś X w zamalowanym punkcie minus dwa. Następnie wykres biegnie nad osią X do plus nieskończoności.

Zbiorem rozwiązań nierówności $f (x) \geq g (x)$ jest zbiór $x \in ⟨- 2; 0) \cup (0; + \infty)$ .

Przykład 5

Rozwiążemy nierówność $|\frac{1}{x^{3}}| \leq \frac{1}{27}$ .

Rozwiązując powyższą nierówność nie możemy zapomnieć o założeniach. Zatem $x^{3} \neq 0$ , czyli $x \neq 0$

$D = ℝ ∖ \{0\}$

Rozwiążemy nierówność w przedziale $(- \infty; 0)$ :

$- \frac{1}{x^{3}} \leq \frac{1}{27} | \cdot 27 x^{6}$ , gdzie $27 x^{6} > 0$

$- 27 x^{3} \leq x^{6}$ ,

$- x^{3} (x^{3} + 27) \leq 0$ .

Wielomian $W (x) = - x^{3} (x^{3} + 27)$ ma jeden trzykrotny pierwiastek: $0$ oraz jeden jednokrotny pierwiastek: $(- 3)$ .

Szkicujemy wykres uwzględniając dziedzinę $D = ℝ ∖ \{0\}$ .

RaZdayAncuCOn

Na ilustracji przedstawiono poziomą oś X z zaznaczonymi dwoma punktami minus trzy, oraz zero. Wykres biegnie pod osią X od minus nieskończoności, po czym przecina oś X w zamalowanym punkcie minus trzy. Następnie wykres biegnie nad osią X i ponownie przecina oś X w niezamalowanym punkcie zero, skąd biegnie do plus nieskończoności pod osią X.

Rozwiązaniem nierówności $- \frac{1}{x^{3}} \leq \frac{1}{27}$ jest przedział $(- \infty; - 3⟩ \cup (0; + \infty)$ .

Wyznaczamy część wspólną przedziałów:

$(- \infty; 0) \cap [(- \infty; - 3⟩ \cup (0; + \infty)] = (- \infty; - 3⟩$ .

Następnie rozwiążmy nierówność w przedziale $(0; + \infty)$ :

$\frac{1}{x^{3}} \leq \frac{1}{27} | \cdot 27 x^{6}$ , gdzie $27 x^{6} > 0$

$27 x^{3} \leq x^{6}$ ,

$x^{3} (- x^{3} + 27) \leq 0$ .

Wielomian $P (x) = x^{3} (- x^{3} + 27)$ ma jeden pierwiastek trzykrotny: $0$ oraz jeden jednokrotny pierwiastek: $3$ .

Uwzględniając dziedzinę $D = ℝ ∖ \{0\}$ szkicujemy wykres.

R19OXUJp9WtMS

Na ilustracji przedstawiono poziomą oś X z zaznaczonymi dwoma punktami zero, oraz trzy. Wykres biegnie pod osią X od minus nieskończoności, po czym przecina oś X w niezamalowanym punkcie zero trzy. Następnie wykres biegnie nad osią X i ponownie przecina oś X w zamalowanym punkcie trzy, skąd biegnie do plus nieskończoności pod osią X.

Rozwiązaniem nierówności $\frac{1}{x^{3}} \leq \frac{1}{27}$ jest zbiór $(- \infty; 0) \cup ⟨3; + \infty)$ .

Wyznaczamy część wspólną przedziałów:

$(0; + \infty) \cap [(- \infty; 0) \cup ⟨3; + \infty)] = ⟨3; + \infty)$ .

Wyznaczmy sumę przedziałów:

$(- \infty; - 3⟩ \cup ⟨3; + \infty)$ .

Rozwiązaniem nierówności jest zbiór $(- \infty; - 3⟩ \cup ⟨3; + \infty)$ .

Słownik

dziedzina nierówności wymiernej

dziedziną nierówności wymiernej są wszystkie liczby rzeczywiste za wyjątkiem pierwiastków wielomianu $W_{2} (x)$ znajdującego się w mianowniku danego wyrażenia $\frac{W_{1} (x)}{W_{2} (x)}$

D = ℝ ∖ \{x : W_{2} (x) = 0\}

pierwiastek wielomianu

pierwiastkiem wielomianu $W (x)$ nazywamy liczbę rzeczywistą $a$ , dla której $W (a) = 0$

Wprowadzenie

Infografika

Słownik