Obliczmy promień drugiej kuli:

$\frac{2S}{3}\pi =4\pi (R\text{'}{)}^2$, stąd $R^{\prime }=\frac{\sqrt{S}}{\sqrt{6}}=\frac{\sqrt{6S}}{6}$.

Zatem skala podobieństwa mniejszej bryły do większej wynosi  $k=\frac{\sqrt{6}}{3}$, co oznacza, że ich pola pozostają w stosunku $\frac{2}{3}$.

Zacznijmy od sześcianu. Skoro jego przekątna ma długość $a\sqrt{3}$, to jego krawędź ma długość $a$.

Zróbmy rysunek pomocniczy dla graniastosłupa.

RfLjRPGxa6bYm

Ilustracja przedstawia graniastosłup prawidłowy czworokątny. W graniastosłup wpisano trójkąt prostokątny. Jedną z jego przyprostokątnych jest krawędź podstawy ostrosłupa o długości a, drugą przyprostokątną jest przekątna ściany bocznej podpisana literą małe d, natomiast przeciwprostokątną jest przekątna graniastosłupa podpisana literą wielkie D. Krawędź boczna graniastosłupa została podpisana literą b. Kąt pomiędzy przekątną ściany bocznej a przekątną ostrosłupa podpisano literą alfa.

$\cos \alpha =\frac{\sqrt{6}}{3}$, więc $\left\{\begin{array}{l}\frac{d}{D}=\frac{\sqrt{6}}{3}\\ d^2+a^2=D^2\end{array}\right.$.

Rozwiążmy więc ten układ równań:

$d=\frac{\sqrt{6}}{3}D$

${\left(\frac{\sqrt{6}}{3}D\right)}^2+a^2=D^2$

$a^2=\frac{1}{3}{D}^2$

$3a^2=D^2$

$D=a\sqrt{3}$

Zatem $d=\frac{\sqrt{6}}{3}·a\sqrt{3}=\frac{a\sqrt{18}}{3}=a\sqrt{2}$, co oznacza, że ściana boczna graniastosłupa jest kwadratem o boku długości $a$. Omawiany graniastosłup jest więc sześcianem o krawędzi $a$.

Dwa sześciany są podobne. Ich skala podobieństwa wynosi $k=1$.