Sprawdź się

Pokaż ćwiczenia:

RsUaHUEZLRx0g1

Ćwiczenie 1

R1F8A87dXasiN1

Ćwiczenie 2

Ćwiczenie 3

Graniastosłupy 1, 2 i 3 są podobne w skali $1 : 2 : 4$ .

R1U0U2DGV3eSF

Ilustracja przedstawia trzy graniastosłupy podobne, najmniejszy z nich podpisano cyfrą 1, krawędź podstawy podpisano literą a, a wysokość wynosi cztery. Drugi większy ostrosłup podpisano cyfrą dwa, a trzeci- największy podpisano cyfrą trzy.

R1JFxmpPbAWwn

Uzupełnij zdania przeciągając prawidłowe odpowiedzi w puste pola.

Pole podstawy graniastosłupa nr $1$ wynosi 1. $4$ razy, 2. $2$ razy, 3. nr $1$ , 4. $8$ , 5. $4 a$ , 6. $\frac{a^{2} \sqrt{3}}{4}$ , 7. $16 a^{2} \sqrt{3}$ , 8. $4 a^{2} \sqrt{3}$ , 9. nr $3$ , 10. $a^{2}$ , natomiast graniastosłupa nr $3$ - 1. $4$ razy, 2. $2$ razy, 3. nr $1$ , 4. $8$ , 5. $4 a$ , 6. $\frac{a^{2} \sqrt{3}}{4}$ , 7. $16 a^{2} \sqrt{3}$ , 8. $4 a^{2} \sqrt{3}$ , 9. nr $3$ , 10. $a^{2}$ .
Wysokość graniastosłupa nr $2$ ma długość 1. $4$ razy, 2. $2$ razy, 3. nr $1$ , 4. $8$ , 5. $4 a$ , 6. $\frac{a^{2} \sqrt{3}}{4}$ , 7. $16 a^{2} \sqrt{3}$ , 8. $4 a^{2} \sqrt{3}$ , 9. nr $3$ , 10. $a^{2}$ . Pole całkowite graniastosłupa nr $2$ jest 1. $4$ razy, 2. $2$ razy, 3. nr $1$ , 4. $8$ , 5. $4 a$ , 6. $\frac{a^{2} \sqrt{3}}{4}$ , 7. $16 a^{2} \sqrt{3}$ , 8. $4 a^{2} \sqrt{3}$ , 9. nr $3$ , 10. $a^{2}$ większe od pola graniastosłupa 1. $4$ razy, 2. $2$ razy, 3. nr $1$ , 4. $8$ , 5. $4 a$ , 6. $\frac{a^{2} \sqrt{3}}{4}$ , 7. $16 a^{2} \sqrt{3}$ , 8. $4 a^{2} \sqrt{3}$ , 9. nr $3$ , 10. $a^{2}$ .

Ćwiczenie 4

Dany jest walec pokazany na rysunku poniżej.

R1H9mHWOISny4

Ilustracja przedstawia walec, średnica podstawy ma długość 5, a krawędź boczna ma długość dziesięć.

Zaznacz walec podobny do danego.

R1TUquyASbtSZ

Rcf302RvZUdfF

Ćwiczenie 5

RDv8v6feXhDP2

RkhSIU6Pym7KI2

Ćwiczenie 6

Ćwiczenie 7

Dane są dwie kule. Promień pierwszej kuli to $R = \frac{\sqrt{S}}{2}$ . Pole powierzchni drugiej kuli to $P = \frac{2 S}{3} π$ . Oblicz skalę podobieństwa mniejszej bryły do większej oraz stosunek ich pól.

Obliczmy promień drugiej kuli:

$\frac{2 S}{3} π = 4 π (R')^{2}$ , stąd $R^{'} = \frac{\sqrt{S}}{\sqrt{6}} = \frac{\sqrt{6 S}}{6}$ .

Zatem skala podobieństwa mniejszej bryły do większej wynosi $k = \frac{\sqrt{6}}{3}$ , co oznacza, że ich pola pozostają w stosunku $\frac{2}{3}$ .

Ćwiczenie 8

Sprawdź, czy graniastosłup prawidłowy czworokątny o krawędzi podstawy $a$ , w którym cosinus kąta nachylenia przekątnej graniastosłupa do przekątnej jego ściany bocznej wynosi $\frac{\sqrt{6}}{3}$ jest podobny do sześcianu o przekątnej długości $a \sqrt{3}$ . Jeśli tak, podaj skalę ich podobieństwa.

Zacznijmy od sześcianu. Skoro jego przekątna ma długość $a \sqrt{3}$ , to jego krawędź ma długość $a$ .

Zróbmy rysunek pomocniczy dla graniastosłupa.

RfLjRPGxa6bYm

Ilustracja przedstawia graniastosłup prawidłowy czworokątny. W graniastosłup wpisano trójkąt prostokątny. Jedną z jego przyprostokątnych jest krawędź podstawy ostrosłupa o długości a, drugą przyprostokątną jest przekątna ściany bocznej podpisana literą małe d, natomiast przeciwprostokątną jest przekątna graniastosłupa podpisana literą wielkie D. Krawędź boczna graniastosłupa została podpisana literą b. Kąt pomiędzy przekątną ściany bocznej a przekątną ostrosłupa podpisano literą alfa.

$\cos α = \frac{\sqrt{6}}{3}$ , więc $\{\begin{cases} \frac{d}{D} = \frac{\sqrt{6}}{3} \\ d^{2} + a^{2} = D^{2} \end{cases}$ .

Rozwiążmy więc ten układ równań:

$d = \frac{\sqrt{6}}{3} D$

${(\frac{\sqrt{6}}{3} D)}^{2} + a^{2} = D^{2}$

$a^{2} = \frac{1}{3} D^{2}$

$3 a^{2} = D^{2}$

$D = a \sqrt{3}$

Zatem $d = \frac{\sqrt{6}}{3} \cdot a \sqrt{3} = \frac{a \sqrt{18}}{3} = a \sqrt{2}$ , co oznacza, że ściana boczna graniastosłupa jest kwadratem o boku długości $a$ . Omawiany graniastosłup jest więc sześcianem o krawędzi $a$ .

Dwa sześciany są podobne. Ich skala podobieństwa wynosi $k = 1$ .

Galeria zdjęć interaktywnych

Dla nauczyciela