Sprawdź się

Pokaż ćwiczenia:

Ćwiczenie 1

Przeanalizuj ilustracje i wskaż zdania prawdziwe.

R11XQQZXv4IAS

Ilustracja przedstawia trzy stożki, trzy walce oraz trzy kule o następujących wymiarach. Długość krawędzi stożka s1 wynosi 10, promień podstawy tego stożka ma długość cztery. Długość krawędzi stożka s2 wynosi 12, promień podstawy tego stożka ma długość pięć. Długość krawędzi stożka s3 wynosi 15, promień podstawy tego stożka ma długość sześć. Wysokość walca w1 ma długość 14, a promień podstawy ma długość siedem. Wysokość walca w2 ma długość 10, a promień podstawy ma długość pięć. Wysokość walca w3 ma długość 15, a promień podstawy ma długość dwanaście. Promień kuli k1 wynosi sześć. Promień kuli k2 wynosi trzy. Promień kuli k3 wynosi pięć.

RgudUdd5Vdeo3

Stożki $s_{1}$ i $s_{3}$ są bryłami podobnymi.
Walce $w_{1}$ i $w_{2}$ są bryłami podobnymi.
Kule $k_{2}$ i $k_{3}$ nie są bryłami podobnymi.

Ćwiczenie 2

R18x9CnVXsqjN

RVrchpUjzC0uo

R15ii0eW0SVlb1

Ćwiczenie 3

Dany jest graniastosłup prawidłowy czworokątny o krawędzi podstawy długości

6 cm

i wysokości

8 cm

podobny do innego graniastosłupa w skali

\frac{3}{8}

. Uzupełnij zdania, przeciągając prawidłowe odpowiedzi:
Tangens kąta nachylenia przekątnej większego graniastosłupa prawidłowego czworokątnego do przekątnej jego ściany bocznej wynosi 1. taki sam, 2.

\frac{8}{3}

, 3.

\frac{5}{3}

, 4. większy niż, 5. mniejszy niż, 6.

\frac{3}{8}

, 7.

\frac{3}{5}

. Stosunek długości przekątnych tych graniastosłupów wynosi 1. taki sam, 2.

\frac{8}{3}

, 3.

\frac{5}{3}

, 4. większy niż, 5. mniejszy niż, 6.

\frac{3}{8}

, 7.

\frac{3}{5}

i jest 1. taki sam, 2.

\frac{8}{3}

, 3.

\frac{5}{3}

, 4. większy niż, 5. mniejszy niż, 6.

\frac{3}{8}

, 7.

\frac{3}{5}

skala podobieństwa.

Dany jest graniastosłup prawidłowy czworokątny o krawędzi podstawy długości $6 cm$ i wysokości $8 cm$ podobny do innego graniastosłupa w skali $\frac{3}{8}$ .

$\frac{3}{8}$ , $\frac{3}{5}$ , $\frac{5}{3}$ , $\frac{8}{3}$

Uzupełnij zdania, przeciągając prawidłowe odpowiedzi:
Tangens kąta nachylenia przekątnej większego graniastosłupa prawidłowego czworokątnego do przekątnej jego ściany bocznej wynosi .............
Stosunek długości przekątnych tych graniastosłupów wynosi .............

Ćwiczenie 4

Jaka jest skala podobieństwa brył przedstawionych na rysunku?

R2eZDT2LcWlVk

Ilustracja przedstawia dwa prostopadłościany. W pierwszy z nich wpisano trójkąt prostokątny, w którym przeciwprostokątną jest przekątna prostopadłościanu, a przyprostokątnymi są: krawędź boczna podpisana literą H oraz przekątna podstawy. Kąt pomiędzy przekątną ostrosłupa a przekątną jego podstawy wynosi 60 stopni. W drugi prostopadłościan również wpisano trójkąt prostokątny. Jego przeciwprostokątną jest przekątna jednej ze ścian bocznych, a przyprostokątnymi są przekątna podstawy oraz przekątna jednej ze ścian bocznych. Przekątną podstawy podpisano literą H. Krawędź boczną prostopadłościanu podpisano H3.

R1Rk96y5USIJd

Zaznacz poprawną odpowiedź.

$\sqrt{2}$
$1$
$\frac{\sqrt{3}}{3}$

Rp4GRWofV6h3M2

Ćwiczenie 5

Rozpatrzmy dwa ostrosłupy prawidłowe sześciokątne, które są bryłami podobnymi. Ich kąt nachylenia krawędzi bocznej do płaszczyzny podstawy ma miarę $α$ . Krawędź podstawy mniejszego z nich ma długość $a$ , a jego objętość wynosi $\frac{a^{3} \sqrt{3} tg α}{2}$ . Jeśli wysokość większego z ostrosłupów ma długość $3 a tg α$ , to skala podobieństwa brył wynosi:

$3$
$tg α$
$\sqrt{3}$

R161SCmDCk58O2

Ćwiczenie 6

Łączenie par. Kulę przecięto płaszczyzną. Otrzymany przekrój jest kołem o promieniu

8 cm

o środku oddalonym od kuli o

6 cm

. Określ, czy zdanie jest prawdziwe czy fałszywe.. Promień kuli wynosi

10 cm

.. Możliwe odpowiedzi: Prawda, Fałsz. Kula o promieniu

14 cm

jest podobna do wyjściowej kuli w skali

\frac{7}{6}

.. Możliwe odpowiedzi: Prawda, Fałsz. Kule mają pola odpowiednio

400 π {cm}^{2}

784 π {cm}^{2}

. Możliwe odpowiedzi: Prawda, Fałsz. Skala podobieństwa pól naszych brył podobnych wynosi

1, 96

.. Możliwe odpowiedzi: Prawda, Fałsz

Kulę przecięto płaszczyzną. Otrzymany przekrój jest kołem o promieniu $8 cm$ o środku oddalonym od kuli o $6 cm$ . Określ, czy zdanie jest prawdziwe czy fałszywe.

Zdanie	Prawda	Fałsz
Promień kuli wynosi $10 cm$ .	□	□
Kula o promieniu $14 cm$ jest podobna do wyjściowej kuli w skali $\frac{7}{6}$ .	□	□
Kule mają pola odpowiednio $400 π {cm}^{2}$ i $784 π {cm}^{2}$	□	□
Skala podobieństwa pól naszych brył podobnych wynosi $1, 96$ .	□	□

Ćwiczenie 7

Rozpatrzmy dwa walce, o których wiemy, że:

w pierwszym walcu tangens kąta nachylenia przekątnej przekroju osiowego do płaszczyzny podstawy wynosi $\frac{8}{5}$ . Przekątna ta ma długość $2 \sqrt{89}$ ,
w drugim walcu sinus kąta pomiędzy odcinkiem łączącym środek dolnej podstawy z dowolnym punktem na okręgu górnej podstawy a wysokością walca wynosi $\frac{5 \sqrt{281}}{281}$ . Promień podstawy ma miarę $10$ .

Sprawdź, czy opisane walce są podobne. Jeśli tak, podaj ich skalę podobieństwa.

Wykonajmy rysunki pomocnicze:

Walec nr 1.

RxNo3cAHE2pHm

Ilustracja przedstawia walec, w który wpisano trójkąt, którego bokami są: średnica podstawy, krawędź boczna walca oraz przekątna walca o długości 289. Kąt pomiędzy średnicą podstawy a przekątną walca podpisano literą alfa.

$tg α = \frac{8}{5}$

Zatem wysokość możemy oznaczyć jako $8 x$ , a średnicę podstawy jako $5 x$ .

Wówczas mamy:

${(8 x)}^{2} + {(5 x)}^{2} = {(2 \sqrt{89})}^{2}$

$89 x^{2} = 356$

$x^{2} = 4$

$x = 2$

Czyli średnica podstawy walca ma długość $10$ , a wysokość $16$ .

Walec nr 2.

R1KzxjhPSyO7Q

Ilustracja przedstawia walec, w który wpisano trójkąt, którego bokami są: promień podstawy, krawędź boczna walca oraz odcinek łączący środek dolnej podstawy z krawędzią górnej podstawy walca. Długość promienia wynosi dziesięć. Kąt pomiędzy krawędzią boczną walca linią łączącą środek dolnej podstawy z krawędzią górnej podstawy podpisano literą beta.

$\sin β = \frac{5 \sqrt{281}}{281}$

Oznaczmy $H$ – wysokość walca, $x$ – odcinek łączący środek dolnej podstawy z dowolnym punktem na okręgu górnej podstawy.

$\frac{5 \sqrt{281}}{281} = \frac{10}{x}$

$x = \frac{2810}{5 \sqrt{281}} = 2 \sqrt{281}$

Zatem

$H^{2} = {(2 \sqrt{281})}^{2} - 10^{2}$

$H^{2} = 1124 - 100$

$H^{2} = 1024$

$H = 32$

Porównajmy odcinki w naszych walcach:

wysokości: $\frac{16}{32} = \frac{1}{2}$ ,
promienie: $\frac{5}{10} = \frac{1}{2}$ .

Walce są podobne, a ich skala podobieństwa wynosi $\frac{1}{2}$ .

Ćwiczenie 8

Dane są dwa stożki podobne w skali $k = 4$ . Kąt rozwarcia większego z nich ma miarę $2 α$ . Kąt nachylenia tworzącej o długości $H \sqrt{2}$ do płaszczyzny podstawy mniejszego stożka ma miarę $α$ . Oblicz objętości stożków. Wykaż, że ich stosunek wynosi $k^{3}$ .