Sprawdź się

Pokaż ćwiczenia:

Ćwiczenie 1

Przeanalizuj ilustracje i wskaż zdania prawdziwe.

R11XQQZXv4IAS

Ilustracja przedstawia trzy stożki, trzy walce oraz trzy kule o następujących wymiarach. Długość krawędzi stożka s1 wynosi 10, promień podstawy tego stożka ma długość cztery. Długość krawędzi stożka s2 wynosi 12, promień podstawy tego stożka ma długość pięć. Długość krawędzi stożka s3 wynosi 15, promień podstawy tego stożka ma długość sześć. Wysokość walca w1 ma długość 14, a promień podstawy ma długość siedem. Wysokość walca w2 ma długość 10, a promień podstawy ma długość pięć. Wysokość walca w3 ma długość 15, a promień podstawy ma długość dwanaście. Promień kuli k1 wynosi sześć. Promień kuli k2 wynosi trzy. Promień kuli k3 wynosi pięć.

RgudUdd5Vdeo3

Ćwiczenie 2

R18x9CnVXsqjN

RVrchpUjzC0uo

R15ii0eW0SVlb1

Ćwiczenie 3

Ćwiczenie 4

Jaka jest skala podobieństwa brył przedstawionych na rysunku?

R2eZDT2LcWlVk

Ilustracja przedstawia dwa prostopadłościany. W pierwszy z nich wpisano trójkąt prostokątny, w którym przeciwprostokątną jest przekątna prostopadłościanu, a przyprostokątnymi są: krawędź boczna podpisana literą H oraz przekątna podstawy. Kąt pomiędzy przekątną ostrosłupa a przekątną jego podstawy wynosi 60 stopni. W drugi prostopadłościan również wpisano trójkąt prostokątny. Jego przeciwprostokątną jest przekątna jednej ze ścian bocznych, a przyprostokątnymi są przekątna podstawy oraz przekątna jednej ze ścian bocznych. Przekątną podstawy podpisano literą H. Krawędź boczną prostopadłościanu podpisano H3.

R1Rk96y5USIJd

Rp4GRWofV6h3M2

Ćwiczenie 5

R161SCmDCk58O2

Ćwiczenie 6

Ćwiczenie 7

Rozpatrzmy dwa walce, o których wiemy, że:

w pierwszym walcu tangens kąta nachylenia przekątnej przekroju osiowego do płaszczyzny podstawy wynosi $\frac{8}{5}$ . Przekątna ta ma długość $2 \sqrt{89}$ ,
w drugim walcu sinus kąta pomiędzy odcinkiem łączącym środek dolnej podstawy z dowolnym punktem na okręgu górnej podstawy a wysokością walca wynosi $\frac{5 \sqrt{281}}{281}$ . Promień podstawy ma miarę $10$ .

Sprawdź, czy opisane walce są podobne. Jeśli tak, podaj ich skalę podobieństwa.

Wykonajmy rysunki pomocnicze:

Walec nr 1.

RxNo3cAHE2pHm

Ilustracja przedstawia walec, w który wpisano trójkąt, którego bokami są: średnica podstawy, krawędź boczna walca oraz przekątna walca o długości 289. Kąt pomiędzy średnicą podstawy a przekątną walca podpisano literą alfa.

$tg α = \frac{8}{5}$

Zatem wysokość możemy oznaczyć jako $8 x$ , a średnicę podstawy jako $5 x$ .

Wówczas mamy:

${(8 x)}^{2} + {(5 x)}^{2} = {(2 \sqrt{89})}^{2}$

$89 x^{2} = 356$

$x^{2} = 4$

$x = 2$

Czyli średnica podstawy walca ma długość $10$ , a wysokość $16$ .

Walec nr 2.

R1KzxjhPSyO7Q

Ilustracja przedstawia walec, w który wpisano trójkąt, którego bokami są: promień podstawy, krawędź boczna walca oraz odcinek łączący środek dolnej podstawy z krawędzią górnej podstawy walca. Długość promienia wynosi dziesięć. Kąt pomiędzy krawędzią boczną walca linią łączącą środek dolnej podstawy z krawędzią górnej podstawy podpisano literą beta.

$\sin β = \frac{5 \sqrt{281}}{281}$

Oznaczmy $H$ – wysokość walca, $x$ – odcinek łączący środek dolnej podstawy z dowolnym punktem na okręgu górnej podstawy.

$\frac{5 \sqrt{281}}{281} = \frac{10}{x}$

$x = \frac{2810}{5 \sqrt{281}} = 2 \sqrt{281}$

Zatem

$H^{2} = {(2 \sqrt{281})}^{2} - 10^{2}$

$H^{2} = 1124 - 100$

$H^{2} = 1024$

$H = 32$

Porównajmy odcinki w naszych walcach:

wysokości: $\frac{16}{32} = \frac{1}{2}$ ,
promienie: $\frac{5}{10} = \frac{1}{2}$ .

Walce są podobne, a ich skala podobieństwa wynosi $\frac{1}{2}$ .

Ćwiczenie 8

Dane są dwa stożki podobne w skali $k = 4$ . Kąt rozwarcia większego z nich ma miarę $2 α$ . Kąt nachylenia tworzącej o długości $H \sqrt{2}$ do płaszczyzny podstawy mniejszego stożka ma miarę $α$ . Oblicz objętości stożków. Wykaż, że ich stosunek wynosi $k^{3}$ .

Wykonajmy rysunki pomocnicze przekrojów osiowych naszych stożków:

Stożek nr 1.

R15wADTU0WZhP

Ilustracja przedstawia trójkąt, kąt pomiędzy ramionami trójkąta podpisano 2α.

Stożek nr 2.

RlSm3MxTYp3dB

Ilustracja przedstawia trójkąt. Ramię trójkąta podpisano H2. W trójkącie zaznaczono jego wysokość, którą opuszczono na podstawę. Wysokość ta dzieli trójkąt na dwa trójkąty prostokątne. Kąt pomiędzy podstawą trójkąta a ramieniem ondługości H2 podpisano literą alfa.

Bryły są podobne, więc ich kąty są równej miary. To oznacza, że kąty przy podstawie przekroju osiowego pierwszego stożka mają miarę $α$ .

RLb0niyVP2Fqz

Ilustracja przedstawia trójkąt. Ramię trójkąta podpisano H2. W trójkącie zaznaczono jego wysokość H, którą opuszczono na podstawę. Wysokość ta dzieli trójkąt na dwa trójkąty prostokątne. Kąt pomiędzy podstawą trójkąta a ramieniem ondługości H2 podpisano literą alfa. Kąt pomiędzy wysokością a ramieniem o długości H2 również podpisano literą alfa. Część podstawy pomiędzy wysokością a ramieniem podpisano literą H.

Skoro skala podobieństwa stożków wynosi $4$ , to promień i wysokość pierwszego stożka mają długość $4 H$ .

Policzmy objętości naszych stożków:

Objętość większego stożka:

$V_{1} = \frac{1}{3} \cdot {(4 H)}^{2} π \cdot 4 H = \frac{64 H^{3} π}{3}$

Objętość mniejszego stożka:

$V_{2} = \frac{1}{3} \cdot H^{2} \cdot π \cdot H = \frac{H^{3} π}{3}$

$\frac{V_{1}}{V_{2}} = 64 = 4^{3} = k^{3}$

Galeria zdjęć interaktywnych

Dla nauczyciela