Sprawdź się

Pokaż ćwiczenia:

Ćwiczenie 1

Korzystając z oznaczeń z rysunku oblicz i wpisz poprawną wartość w odpowiednie pole.

RCG5R2BYX7yMx

Ilustracja przedstawia czworokąt ABCD o przekątnych przecinających się w punkcie S.

R19O7IIhPZxrM

1. $P_{A B C D} = 73$ , $P_{A B C} = 48$ . Wtedy $P_{A C D} =$ ............
2. $P_{A B C D} = 100$ , $P_{A B C} = 65$ , $P_{A D S} = 19$ . Wtedy $P_{C D S} =$ ............
3. $P_{A B C D} = 81$ , $A B ∥ C D$ , $P_{A B S} = 35$ , $P_{A D S} = 20$ . Wtedy $P_{C D S} =$ ............

R1E1mH5ntp6XG1

Ćwiczenie 2

Ocen prawdziwość zdań. Zaznacz Prawda lub Fałsz.

Zdanie	Prawda	Fałsz
Jeżeli w równoległoboku znamy tylko długości jego przekątnych, to możemy obliczyć jego pole.	□	□
Jeżeli w deltoidzie znamy tylko długości jego przekątnych, to możemy obliczyć jego pole.	□	□
Jeżeli w prostokącie znamy tylko długość jego przekątnej, to możemy obliczyć jego pole.	□	□
Jeżeli w rombie znamy tylko długości jego przekątnych, to możemy obliczyć jego pole.	□	□
Jeżeli w kwadracie znamy tylko długość jego przekątnej, to możemy obliczyć jego pole.	□	□

Ćwiczenie 3

Najczęściej stosowane proporcje ekranu telewizora to $16 : 9$ , $14 : 9$ , $4 : 3$ . Najczęściej telewizory LCD mają wymiar $40^{''}$ , $42^{''}$ , $50^{''}$ , $60^{''}$ co oznacza, że przekątna ekranu ma długość w calach $40$ , $42$ , $50$ , $60$ cali.

RN5jPAMQDgDCi

RS2rhxSHk20N1

Dopasuj spośród podanych liczb wartości pola w calach kwadratowych (zaokrąglone do liczb całkowitych) do odpowiedniego telewizora o danych wymiarach. Jeśli nie potrafisz wykonać tego zadania, przeczytaj wskazówkę.

786

Możliwe odpowiedzi: 1.

42

cale,

4 : 3

, 2.

50

cali,

16 : 9

, 3.

60

cali,

14 : 9

, 4.

40

cali,

4 : 3

847

Możliwe odpowiedzi: 1.

42

cale,

4 : 3

, 2.

50

cali,

16 : 9

, 3.

60

cali,

14 : 9

, 4.

40

cali,

4 : 3

1068

Możliwe odpowiedzi: 1.

42

cale,

4 : 3

, 2.

50

cali,

16 : 9

, 3.

60

cali,

14 : 9

, 4.

40

cali,

4 : 3

1638

Możliwe odpowiedzi: 1.

42

cale,

4 : 3

, 2.

50

cali,

16 : 9

, 3.

60

cali,

14 : 9

, 4.

40

cali,

4 : 3

Przy danej proporcji $p : q$ mamy $a = p x$ , $b = q x$

$d^{2} = p^{2} x^{2} + q^{2} x^{2} = x^{2} (p^{2} + q^{2})$

$x = \frac{d}{\sqrt{p^{2} + q^{2}}}$ , $a = \frac{p d}{\sqrt{p^{2} + q^{2}}}$ , $b = \frac{q d}{\sqrt{p^{2} + q^{2}}}$

$P = a b = \frac{p q d^{2}}{p^{2} + q^{2}}$

Ćwiczenie 4

Ekran telewizora ma przekątną $d = 55$ cali i rozdzielczość $3840 \times 2160$ pikseli. Wyznacz pole powierzchni ekranu w centymetrach kwadratowych oraz wyznacz rozmiar piksela (przyjmujemy, że piksel jest kwadratem).

Niech $a$ , $b$ będą szerokością i wysokością ekranu, odpowiednio.

Wyznaczamy proporcję obrazu $\frac{3840}{2160} = \frac{16}{9}$ . Wtedy:

$a = p x$ , $b = q x$ . Z twierdzenia Pitagorasa $d^{2} = 16^{2} x^{2} + 9^{2} x^{2} = x^{2} (16^{2} + 9^{2}) = 337 x^{2}$ , $x = \frac{55}{\sqrt{337}}$ , $a = \frac{55 \cdot 16}{\sqrt{337}}$ , $b = \frac{55 \cdot 9}{\sqrt{337}}$ .

Stąd pole jest równe $P = a b = \frac{435600}{337} \approx 1292, 58$ cali kwadratowych.

Jeden cal jest w przybliżeniu równy $2, 54 cm$ , więc pole w centymetrach kwadratowych ma w przybliżeniu wartość:

$2, 54^{2} \cdot 1292, 58 \approx 8339, 21$ centymetrów kwadratowych.

Aby wyznaczyć rozmiar piksela wyznaczamy liczbę pikseli $3840 \cdot 2160 = 8294400$ .

Ponieważ ta liczba pikseli mieści się na powierzchni $8339, 21$ centymetrów kwadratowych, to liczymy $\frac{8339, 21}{8294400} = 0, 001005$ centymetrów kwadratowych. W przeliczaniu na milimetry kwadratowe, jest to w przybliżeniu jedna dziesiąta milimetra kwadratowego.

Ćwiczenie 5

Przekątne rombu $A B C D$ mają długości $4$ i $8$ .

Rv9xDTG7nAjGH

Ilustracja przedstawia romb ABCD. Zaznaczono przekątne przecinające się w punkcie S. Przedłużono przekątną AD. Powstał kwadrat A prim B D prim C.

Na przedłużeniu krótszej przekątnej $A D$ zaznaczono punkty $A^{'}$ i $D^{'}$ takie, że $|A A^{'}| = |A S|$ , $|D D^{'}| = |D S|$ . Wykaż, że czworokąt $A^{'} B D^{'} C$ jest kwadratem. Oblicz pole rombu $A B C D$ oraz pole czworokąta $A^{'} B D^{'} C$ .

Ponieważ przekątne rombu dzielą się w połowie, to $|A S| = |D S| = 2$ , $|B S| = |C S| = 4$ . Z warunków zadania wynika, że $|A^{'} S| = |D^{'} S| = 4$ . Stąd czworokąt $A^{'} B D^{'} C$ ma równe przekątne przecinające się w połowie pod kątem prostym, a to znaczy, że jest kwadratem o przekątnej długości $8$ .

Pole rombu $A B C D$ jest równe $\frac{4 \cdot 8}{2} = 16$ , a pole kwadratu $A^{'} B D^{'} C$ jest równe $\frac{8^{2}}{2} = 32$ .

Ćwiczenie 6

Pokaż, że pola trójkątów $A S D$ , $B S C$ w trapezie z oznaczeniami na rysunku są równe.

R9c63SmLtOzIk

Ilustracja przedstawia trapez ABCD. O podstawach a i b oraz przekątnych d indeks dolny 1 koniec indeksu, d indeks dolny 2 koniec indeksu przecinających się w punkcie S.

Pola trójkątów $A B D$ i $A B C$ są równe (wspólna podstawa) i równe wysokości.

Stąd $P_{A S D} + P_{A S B} = P_{B S C} + P_{A S B}$ i ostatecznie, $P_{A S D} = P_{B S C}$ .

Ćwiczenie 7

Wyznacz równoległobok o największym polu przy danych długościach przekątnych $d_{1}$ , $d_{2}$ . Wyznacz długości jego boków.

Pole równoległoboku o danych długościach przekątnych $d_{1}$ , $d_{2}$ jest równe
$\frac{d_{1} \cdot d_{2}}{2} \sin γ$ , gdzie $γ$ jest kątem pod jaki przecinają się przekątne. Pole będzie największe, gdy $\sin γ$ przyjmuje największa wartość. Kąt $γ$ ma miarę z przedziału od $0 °$ do $180 °$ , więc największa wartość sinusa tego kąta przyjmowana jest dla kąta $90 °$ i jest równa $1$ . Stąd w równoległoboku o największym polu przekątne przecinają się pod kątem prostym, a to oznacza, że ten równoległobok jest rombem.

Bok rombu ma długość $a = \frac{1}{2} \sqrt{d_{1}^{2} + d_{2}^{2}}$ .

Ćwiczenie 8

Wyznacz prostokąt o największym polu przy danej długości przekątnej $d$ . Wyznacz długości jego boków.

Pole prostokąta o danej długości przekątnej $d$ jest równe $\frac{d^{2}}{2} \sin γ$ , gdzie $γ$ jest kątem pod jakim przecinają się przekątne. Podobnie jak w poprzednim zadaniu, pole będzie największe, gdy $\sin γ$ przyjmuje największą wartość, czyli wtedy, gdy $γ$ jest kątem prostym. Zatem prostokątem o największym polu przy danej przekątnej jest kwadrat o boku $a = \frac{d}{\sqrt{2}}$ .

Symulacja interaktywna

Dla nauczyciela