Niech $x$ oznacza wagę wody, a $y$ różnicę pomiędzy wagą zbiornika metalowego i zbiornika plastikowego. Z treści zadania wynika, że zbiornik metalowy waży więcej niż zbiornik plastikowy.

Gdy napełnimy wodą zbiornik plastikowy, to waży on $x \mathrm{kg}$ więcej niż normalnie, a więc jest lżejszy od pustego zbiornika metalowego o $\left(y-x\right) \mathrm{kg}$. Stąd pierwsza zależność $y-x=5$.

Gdy napełnimy wodą zbiornik metalowy, to jest on o $x \mathrm{kg}$ cięższy niż normalnie, a więc waży o $\left(y+x\right) \mathrm{kg}$ więcej od pustego zbiornika plastikowego, więc $y+x=13$.

Zapisujemy i rozwiązujemy układ równań:

$\left\{\begin{array}{l}y-x=5\\ y+x=13\end{array}\right.$

Gdy dodamy do siebie równania stronami, to otrzymamy równanie: $2y=18$, a stąd wynika, że $y=9$. Teraz podstawiamy $y=9$ do drugiego równania i otrzymujemy $9+x=13$, a stąd $x=4$.

Woda, którą wlano do zbiornika metalowego ważyła $4 \mathrm{kg}$.

Niech $x$ oznacza liczbę kobiet, a $y$ liczbę mężczyzn zatrudnionych w firmie. Ponieważ firma zatrudnia $49$ osób, więc $x+y=49$. Stosunek liczby mężczyzn do liczby kobiet $5:2$ oznacza, że $\frac{y}{x}=\frac{5}{2}$, a więc $5x=2y$.

Zapisujemy i rozwiązujemy układ równań:

$\left\{\begin{array}{l}x+y=49\\ 5x=2y\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{l}x+y=49\\ 5x-2y=0\end{array}\right.$

Zastosujmy metodę przeciwnych współczynników:

$\left\{\begin{array}{l}x+y=49 |·2\\ 5x-2y=0\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{l}2x+2y=98\\ 5x-2y=0\end{array}\right.$

Po dodaniu do siebie równań otrzymujemy: $7x=98$, a więc $x=14$. Stąd $14+y=49$, a więc $y=35$.

W tej firmie pracuje $14$ kobiet.

Niech $x$ oznacza liczbę magnesów Magdy, a $y$ liczbę magnesów Tomka.

Zapisujemy i rozwiązujemy układ równań:

$\left\{\begin{array}{l}x+3=2\left(y-3\right)\\ x-7=y+7\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{l}x+3=2y-6\\ x-y=14\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{l}x-2y=-9\\ x-y=14\end{array}\right.$

Zastosujmy wzory Cramera:

$W=\left|\begin{array}{ll}1& -2\\ 1& -1\end{array}\right|=1·\left(-1\right)-1·\left(-2\right)=-1+2=1$

$W$ jest liczbą różną od zera, więc układ ma dokładnie jedno rozwiązanie. Obliczamy $W_x$ i $W_y$:

$W_x=\left|\begin{array}{ll}-9& -2\\ 14& -1\end{array}\right|=-9·\left(-1\right)-14·\left(-2\right)=9+28=37$

$W_y=\left|\begin{array}{ll}1& -9\\ 1& 14\end{array}\right|=1·14-1·\left(-9\right)=14+9=23$

Rozwiązaniem układu jest para liczb:

$\left\{\begin{array}{l}x=\frac{37}{1}=37\\ y=\frac{23}{1}=23\end{array}\right.$.

Magda ma $37$, a Tomek $23$ magnesy.

Niech $x$ oznacza liczbę pierniczków, a $y$ liczbę ciasteczek maślanych upieczonych przez Asię. Zapisujemy i rozwiązujemy układ równań:

$\left\{\begin{array}{l}\frac{x}{3}=2·\frac{y}{4} |·12\\ \frac{x}{2}=\frac{y}{3}+10 |·6\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{l}4x=6y\\ 3x=2y+60\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{l}4x-6y=0\\ 3x-2y=60\end{array}\right.$

Zastosujmy wzory Cramera:

$W=\left|\begin{array}{ll}4& -6\\ 3& -2\end{array}\right|=4·\left(-2\right)-3·\left(-6\right)=-8+18=10$

$W$ jest liczbą różną od zera, więc układ ma dokładnie jedno rozwiązanie. Obliczamy $W_x$ i $W_y$:

$W_x=\left|\begin{array}{ll}0& -6\\ 60& -2\end{array}\right|=0·\left(-2\right)-60·\left(-6\right)=0+360=360$

$W_y=\left|\begin{array}{ll}4& 0\\ 3& 60\end{array}\right|=4·60-3·0=240-0=240$

Rozwiązaniem układu jest para liczb:

$\left\{\begin{array}{l}x=\frac{360}{10}=36\\ y=\frac{240}{10}=24\end{array}\right.$.

Asia upiekła $36$ pierniczków i $24$ ciasteczka maślane.

Niech $x$ oznacza liczbę harcerzy w jednej drużynie, a $y$ – ilość drużyn.

Zapiszmy układ równań:

$\left\{\begin{array}{l}x·y=180\\ \left(x-5\right)·\left(y+6\right)=180\end{array}\right.$

Ponieważ $y$ jest liczbą dodatnią, więc możemy podzielić pierwsze równanie przez $y$, a drugie przez $y+6$:

$\left\{\begin{array}{l}x=\frac{180}{y}\\ x-5=\frac{180}{y+6}\end{array}\right.$

Po odjęciu od pierwszego równania drugiego otrzymujemy:

$5=\frac{180}{y}-\frac{180}{y+6} |·\frac{y\left(y+6\right)}{5}$,

$y\left(y+6\right)=36\left(y+6\right)-36y$,

$y^2+6y=36y+216-36y$,

$y^2+6y-216=0$.

Obliczamy wyróżnik.

$\Delta =6^2-4·1·\left(-216\right)=36+864=900$, $\sqrt{\Delta }=30$.

Równanie ma dwa rozwiązania.

$y_1=\frac{-6-30}{2}<0$, $y_2=\frac{-6+30}{2}=12$.

Po odrzuceniu ujemnego rozwiązania, które nie spełnia warunków zadania, otrzymujemy, że $y=12$, a $x=\frac{180}{12}=15$.

W jednej drużynie harcerskiej było $15$ harcerzy.