Sprawdź się

Pokaż ćwiczenia:

Ćwiczenie 1

Wiemy, że $S = (- 3 \frac{1}{2}, - 2)$ .

RTwYNpDVFzhFT

Ilustracja przedstawia poziomą oś X od minus sześciu do sześciu oraz pionową oś Y od minus trzech do czterech. Z początku układu współrzędnych poprowadzony został odcinek ograniczony lewostronnie punktem S o współrzędnych -3,5; -2. Pozioma oś X w pierwszej ćwiartce oraz odcinek ograniczony punktem S są ramionami kąta alfa.

R6YiIVFq7xABg

Ćwiczenie 2

R1UXcMgImMSln

R1T0dMKNNjJB1

Ćwiczenie 3

Wiedząc, że punkt $P = (- 5, 3)$ oblicz wartość poniższego wyrażenia:
$68 \cos α - \frac{15}{27} tg α + 113 \frac{1}{3} \sin α$ .

R1NvOrZ8gf9er

Ilustracja przedstawia poziomą oś X od minus siedmiu do pięciu oraz pionową oś Y od minus jedynki do czterech. Z początku układu współrzędnych poprowadzony został odcinek ograniczony lewostronnie punktem P o współrzędnych -5; 3. Pozioma oś X w pierwszej ćwiartce oraz odcinek ograniczony punktem P są ramionami kąta alfa.

R1K7g82yuCo3S

R1LkwU3NwvvpW21

Ćwiczenie 4

Niech dany będzie trójkąt o wierzchołkach

A

B

C

i kącie

∢ B A C

. Połącz w pary opisy współrzędnych wierzchołków

A B C

z wartościami kąta

∢ B A C

A = (1, 4), B = (3, 6), C = (8, 4)

Możliwe odpowiedzi: 1.

∢ B A C = 30 °

, 2.

∢ B A C = 60 °

, 3.

∢ B A C = 135 °

, 4.

∢ B A C = 45 °

A = (0, 1), B = (- 2, 3), C = (8, 1)

Możliwe odpowiedzi: 1.

∢ B A C = 30 °

, 2.

∢ B A C = 60 °

, 3.

∢ B A C = 135 °

, 4.

∢ B A C = 45 °

A = (\sqrt{3}, - 1), B = (- 5, - 1), C = (- 4 \sqrt{3}, 4)

Możliwe odpowiedzi: 1.

∢ B A C = 30 °

, 2.

∢ B A C = 60 °

, 3.

∢ B A C = 135 °

, 4.

∢ B A C = 45 °

A = (0, 0), B = (1, \sqrt{3}), C = (3 \sqrt{3}, 0)

Możliwe odpowiedzi: 1.

∢ B A C = 30 °

, 2.

∢ B A C = 60 °

, 3.

∢ B A C = 135 °

, 4.

∢ B A C = 45 °

Niech dany będzie trójkąt o wierzchołkach $A$ , $B$ , $C$ i kącie $∢ B A C$ . Połącz w pary opisy współrzędnych wierzchołków $A B C$ z wartościami kąta $∢ B A C$ :

$A = (1, 4), B = (3, 6), C = (8, 4)$
$A = (0, 1), B = (- 2, 3), C = (8, 1)$
$A = (\sqrt{3}, - 1), B = (- 5, - 1), C = (- 4 \sqrt{3}, 4)$
$A = (0, 0), B = (1, \sqrt{3}), C = (3 \sqrt{3}, 0)$

R1HJN74QSYRaf2

Ćwiczenie 5

Odległość pomiędzy punktami $G = (a, b)$ i $H = (c, d)$ wynosi $8 \sqrt{3}$ . Półprosta poprowadzona przez te punkty ze środka układu współrzędnych tworzy z dodatnią półosią $X$ kąt ostry $α$ . Wyznacz wartość kąta $α$ wiedząc, że $(d - b) = 12$ .

$\frac{π}{4}$
$\frac{π}{6}$
$\frac{π}{3}$
$45 °$
$60 °$
$30 °$

RU1ghnX0jOsDT2

Ćwiczenie 6

Dostępne opcje do wyboru:

\frac{12 \sqrt{3}}{5}

\frac{\sqrt{5}}{3}

4 \frac{2}{3}

\frac{\sqrt{5}}{9}

\frac{\sqrt{5}}{13}

2 \sqrt{5}

\frac{20}{3}

\frac{7 \sqrt{5}}{2}

\frac{13 \sqrt{5}}{3}

\frac{1}{3}

10 \frac{1}{2}

. Polecenie: Uzupełnij tekst, przeciągając odpowiednie wyrażenia w puste miejsca. Jedno z ramion kąta

α

pokrywa się z dodatnią półosią

X

, natomiast drugie przechodzi przez punkty

(x_{1}, y_{1})

. Z faktu, że

\sin α = \frac{2}{3}

możemy wywnioskować, że

\cos α =

luka do uzupełnienia . Dysponując dodatkową informacją o tym, że

(x_{1}, y_{1})

leży na okręgu o promieniu luka do uzupełnienia , możemy stwierdzić, że

x_{1} =

luka do uzupełnienia , zaś

y_{1} = 7

Uzupełnij tekst, przeciągając odpowiednie wyrażenia w pasujące miejsca:

$\frac{7 \sqrt{5}}{2}$ , $10 \frac{1}{2}$ , $4 \frac{2}{3}$ , $\frac{20}{3}$ , $\frac{13 \sqrt{5}}{3}$ , $\frac{\sqrt{5}}{9}$ , $2 \sqrt{5}$ , $\frac{1}{3}$ , $\frac{\sqrt{5}}{3}$ , $\frac{\sqrt{5}}{13}$ , $\frac{12 \sqrt{3}}{5}$

Jedno z ramion kąta $α$ pokrywa się z dodatnią półosią $X$ , natomiast drugie przechodzi przez punkty $(x_{1}, y_{1})$ . Z faktu, że $\sin α = \frac{2}{3}$ możemy wywnioskować, że $\cos α =$ . Dysponując dodatkową informacją o tym, że $(x_{1}, y_{1})$ leży na okręgu o promieniu możemy stwierdzić, że $x_{1} =$ , zaś $y_{1} = 7$ .

Ćwiczenie 7

Współrzędne punktu $(x, y)$ leżącego na ramieniu końcowym kąta $β$ spełniają warunek $x \neq 0$ . Ponadto wiemy, że stanowią one pierwiastki równania kwadratowego $t^{2} + 3 t + m^{3} = 0$ , dla pewnego parametru $m$ . Wiedząc, że $tg α = 4$ , wyznacz $x$ i $y$ .

Korzystając z wzorów Viete'a dla równania $t^{2} + 3 t + m^{3} = 0$ mamy $x + y = - 3$ , zatem $x = - 3 - y$ . Z faktu, że $tg α = 4$ wynika, że $\frac{y}{x} = 4$ .

A zatem, wstawiając pierwszą z uzyskanych równości do drugiej mamy $y = 4 (- 3 - y)$ , skąd $y = - \frac{12}{5}$ . W konsekwencji $x = - \frac{3}{5}$ .

$y = - \frac{12}{5}$ ,

$x = - \frac{3}{5}$ .

RYP82LjZlYBny3

Ćwiczenie 8

Punkt o współrzędnych $A = (x, x + 3)$ leży w drugiej ćwiartce układu współrzędnych. Poprowadzono przez niego półprostą $l$ o początku w punkcie $O = (0, 0)$ . Oblicz pole trójkąta $A O B$ , jeżeli $B = (4, 0)$ , zaś sinus kąta rozwartego $∢ A O B$ wynosi $\frac{1}{3}$ .

$\frac{12 \sqrt{3} + 4}{3}$
$\frac{12 \sqrt{2} + 4}{7}$
$\frac{7 \sqrt{2} - 4}{3}$
$\frac{12 \sqrt{2} - 6}{7}$

Symulacja interaktywna

Dla nauczyciela