Jeżeli wykres funkcji kwadratowej określonej wzorem $f\left(x\right)=a{x}^2+bx+c$ przecina oś $Y$ w punkcie o rzędnej $4$, to $f\left(0\right)=4$, więc $c=4$.

Wzór funkcji zapisujemy w postaci: $f\left(x\right)=a{x}^2+bx+4$.

Jeżeli punkty o współrzędnych $\left(-3,1\right)$, $\left(1,1\right)$ należą do paraboli, będącej wykresem tej funkcji, to do wyznaczenia wartości współczynników $a$ i $b$ rozwiązujemy układ równań:

$\left\{\begin{array}{l}1=a·{\left(-3\right)}^2+b·\left(-3\right)+4\\ 1=a·1^2+b·1+4\end{array}\right.$

Po uporządkowaniu układ równań zapisujemy w postaci:

$\left\{\begin{array}{l}1=9a-3b+4\\ 1=a+b+4\end{array}\right.$

Po rozwiązaniu układu równań otrzymujemy, że: $a=-1$ oraz $b=-2$.

Zatem funkcja jest określona za pomocą wzoru $f\left(x\right)=-x^2-2x+4$.

Z paraboli, będącej wykresem funkcji kwadratowej możemy odczytać, że miejscami zerowymi są liczby $x_1=-3$ oraz $x_2=2$.

Korzystając ze wzoru funkcji kwadratowej w postaci iloczynowej mamy, że

$f\left(x\right)=a·\left(x+3\right)\left(x-2\right)$.

Zauważmy, że do paraboli, będącej wykresem tej funkcji należy punkt o współrzędnych $\left(3,2\right)$, zatem do wyznaczenia wartości $a$ rozwiązujemy równanie:

$2=a·\left(3+3\right)·\left(3-2\right)$

Zatem $a=\frac{1}{3}$.

Wobec tego funkcja jest określona za pomocą wzoru $f\left(x\right)=\frac{1}{3}\left(x+3\right)\left(x-2\right)$.

Współrzędne punktów, które należą do paraboli, będącej wykresem funkcji kwadratowej, podstawiamy do wzoru funkcji kwadratowej w postaci ogólnej i otrzymujemy układ równań:

$\left\{\begin{array}{l}0=a·{\left(-1\right)}^2+b·\left(-1\right)+c\\ -2=a·1+b·1+c\\ 6=a·2^2+b·2+c\end{array}\right.$

Po uporządkowaniu układ równań jest postaci:

$\left\{\begin{array}{l}0=a-b+c\\ -2=a+b+c\\ 6=4a+2b+c\end{array}\right.$

Rozwiązaniem układu równań są liczby:

$a=3$, $b=-1$, $c=-4$.

Wzór funkcji kwadratowej zapisujemy w postaci ogólnej:

$f\left(x\right)=3x^2-x-4$