Sprawdź się

Pokaż ćwiczenia:

R15H4PQ4GFLf71

Ćwiczenie 1

Niech $W$ oznacza wyznacznik główny układu równań, $W_{x}$ – wyznacznik niewiadomej $x$ , $W_{y}$ – wyznacznik niewiadomej $y$ . Zaznacz wszystkie warunki, które muszą być jednocześnie spełnione, aby taki układ był nieoznaczony.

$W \neq 0$
$W = 0$
$W_{x} = 0$
$W_{x} \neq 0$
$W_{y} = 0$
$W_{y} \neq 0$

R1RnvcYxD7gME1

Ćwiczenie 2

Oblicz wyznaczniki układu równań $"{"\begin{array}{c} 5 x - 10 y = 7 \\ - x + 2 y = 4 \end{array}""$ i określ prawdziwość zdań.

	Prawda	Fałsz
Układ równań jest oznaczony.	□	□
Układ równań jest nieoznaczony.	□	□
Układ równań jest sprzeczny.	□	□

R14ebr8icw5Nw1

Ćwiczenie 3

Oblicz wyznaczniki główne podanych układów równań i zaznacz wszystkie układy oznaczone.

$"{"\begin{array}{c} 3 x + 5 y = 6 \\ 4 x + 6 y = 7 \end{array}""$
$"{"\begin{array}{c} - 2 x + 15 y = 10 \\ 30 x + 225 y = 200 \end{array}""$
$"{"\begin{array}{c} 14 x + 21 y = - 28 \\ - 2 x - 3 y = 4 \end{array}""$
$"{"\begin{array}{c} - 15 x + 10 y = 20 \\ 20 x - 15 y = 10 \end{array}""$

R1LDmUNOJ3Crj2

Ćwiczenie 4

Oblicz wyznaczniki podanych układów równań. Następnie przeciągnij układ do właściwego obszaru. Układy oznaczone Możliwe odpowiedzi: 1.

\{\begin{cases} - \sqrt{3} x + y = \sqrt{3} \\ \sqrt{6} x - \sqrt{2} y = - \sqrt{6} \end{cases}

, 2.

\{\begin{cases} - \sqrt{6} x + \sqrt{2} y = \sqrt{3} \\ - \sqrt{3} x + y = \sqrt{2} \end{cases}

, 3.

\{\begin{cases} (1 - \sqrt{2}) x + \sqrt{5} y = 3 \\ - \sqrt{10} x + (1 + \sqrt{2}) y = 5 \end{cases}

, 4.

\{\begin{cases} (9 - 4 \sqrt{5}) x + \frac{1}{\sqrt{5} + 2} y = 1 \\ (\sqrt{5} - 2) x + y = \sqrt{5} + 2 \end{cases}

, 5.

\{\begin{cases} \sqrt{6} x + \sqrt{2} y = \sqrt{7} \\ 3 \sqrt{2} x - \sqrt{3} y = \sqrt{6} \end{cases}

, 6.

\{\begin{cases} (1 - \sqrt{2}) x + y = \sqrt{2} \\ - x + (\sqrt{2} + 1) y = 1 \end{cases}

Układy nieoznaczone Możliwe odpowiedzi: 1.

\{\begin{cases} - \sqrt{3} x + y = \sqrt{3} \\ \sqrt{6} x - \sqrt{2} y = - \sqrt{6} \end{cases}

, 2.

\{\begin{cases} - \sqrt{6} x + \sqrt{2} y = \sqrt{3} \\ - \sqrt{3} x + y = \sqrt{2} \end{cases}

, 3.

\{\begin{cases} (1 - \sqrt{2}) x + \sqrt{5} y = 3 \\ - \sqrt{10} x + (1 + \sqrt{2}) y = 5 \end{cases}

, 4.

\{\begin{cases} (9 - 4 \sqrt{5}) x + \frac{1}{\sqrt{5} + 2} y = 1 \\ (\sqrt{5} - 2) x + y = \sqrt{5} + 2 \end{cases}

, 5.

\{\begin{cases} \sqrt{6} x + \sqrt{2} y = \sqrt{7} \\ 3 \sqrt{2} x - \sqrt{3} y = \sqrt{6} \end{cases}

, 6.

\{\begin{cases} (1 - \sqrt{2}) x + y = \sqrt{2} \\ - x + (\sqrt{2} + 1) y = 1 \end{cases}

Układy sprzeczne Możliwe odpowiedzi: 1.

\{\begin{cases} - \sqrt{3} x + y = \sqrt{3} \\ \sqrt{6} x - \sqrt{2} y = - \sqrt{6} \end{cases}

, 2.

\{\begin{cases} - \sqrt{6} x + \sqrt{2} y = \sqrt{3} \\ - \sqrt{3} x + y = \sqrt{2} \end{cases}

, 3.

\{\begin{cases} (1 - \sqrt{2}) x + \sqrt{5} y = 3 \\ - \sqrt{10} x + (1 + \sqrt{2}) y = 5 \end{cases}

, 4.

\{\begin{cases} (9 - 4 \sqrt{5}) x + \frac{1}{\sqrt{5} + 2} y = 1 \\ (\sqrt{5} - 2) x + y = \sqrt{5} + 2 \end{cases}

, 5.

\{\begin{cases} \sqrt{6} x + \sqrt{2} y = \sqrt{7} \\ 3 \sqrt{2} x - \sqrt{3} y = \sqrt{6} \end{cases}

, 6.

\{\begin{cases} (1 - \sqrt{2}) x + y = \sqrt{2} \\ - x + (\sqrt{2} + 1) y = 1 \end{cases}

Oblicz wyznaczniki podanych układów równań. Następnie przeciągnij układ do właściwego obszaru.

Układy oznaczone
Układy nieoznaczone
Układy sprzeczne

R1NB5aERgue2t2

Ćwiczenie 5

Dany jest układ równań liniowych z dwiema niewiadomymi $x$ i $y$ oraz parametrem $m$
$"{"\begin{array}{c} m x + y = - 5 \\ x + m y = 5 \end{array}""$ .
Rozwiąż układ równań metodą wyznacznikową i przeciągnij w odpowiednie miejsca poprawne elementy.

$W =$ , $W_{x} =$ , $W_{y} =$ , Układ posiada dokładnie jedno rozwiązanie wtedy i tylko wtedy, gdy, $x =$ , $y =$ , Układ posiada nieskończenie wiele rozwiązań wtedy i tylko wtedy, gdy, Układ nie posiada rozwiązania wtedy i tylko wtedy, gdy

	Wartości
$W =$
$W_{x} =$
$W_{y} =$
Układ posiada dokładnie jedno rozwiązanie wtedy i tylko wtedy, gdy
$x =$
$y =$
Układ posiada nieskończenie wiele rozwiązań wtedy i tylko wtedy, gdy
Układ nie posiada rozwiązania wtedy i tylko wtedy, gdy

Rp3bNFLdDtsIi2

Ćwiczenie 6

Dla jakich wartości parametru $k$ , rozwiązaniem układu równań $"{"\begin{array}{c} 3 x + 5 y = 3 - k \\ x - 2 y = k - 4 \end{array}""$ jest para liczb ujemnych. Rozwiąż układ i zaznacz prawidłową odpowiedź.

$k \in (- \infty, 3 \frac{3}{4}) \cup (4 \frac{2}{3}, \infty)$
$k \in (4 \frac{1}{3}, 7 \frac{1}{2})$
$k \in (3 \frac{3}{4}, 4 \frac{2}{3})$
$k \in (- \infty, 4 \frac{1}{3}) \cup (7 \frac{1}{2}, \infty)$

Ćwiczenie 7

Rozwiąż układ równań metodą wyznacznikową i określ liczbę jego rozwiązań w zależności od parametru $a$ .

$\{\begin{cases} a^{3} x + a y = 3 a^{2} \\ 4 x + y = 6 \end{cases}$ .

$W = |\begin{matrix} a^{3} & a \\ 4 & 1 \end{matrix}| = a^{3} - 4 a = a (a - 2) (a + 2)$

$W_{x} = |\begin{matrix} 3 a^{2} & a \\ 6 & 1 \end{matrix}| = 3 a^{2} - 6 a = 3 a (a - 2)$

$W_{y} = |\begin{matrix} a^{3} & 3 a^{2} \\ 4 & 6 \end{matrix}| = 6 a^{3} - 12 a^{2} = 6 a^{2} (a - 2)$

$x = \frac{W_{x}}{W} = \frac{3 a (a - 2)}{a (a - 2) (a + 2)} = \frac{3}{a + 2}$

$y = \frac{W_{y}}{W} = \frac{6 a^{2} (a - 2)}{a (a - 2) (a + 2)} = \frac{6 a}{a + 2}$

$\{\begin{cases} x = \frac{3}{a + 2} \\ y = \frac{6 a}{a + 2} \end{cases}$

Dla $a \in ℝ ∖ \{- 2, 0, 2\}$ układ posiada dokładnie jedno rozwiązanie postaci $\{\begin{cases} x = \frac{3}{a + 2} \\ y = \frac{6 a}{a + 2} \end{cases}$ .

Dla $a \in \{0, 2\}$ układ posiada nieskończenie wiele rozwiązań.

Dla $a = - 2$ układ nie posiada rozwiązań.

Ćwiczenie 8

Rozwiąż układ równań metodą wyznacznikową i określ liczbę jego rozwiązań w zależności od parametrów $p$ i $q$ .

$\{\begin{cases} (p - 1) x + 2 q y = 10 \\ 3 p x + 6 (q + 2) y = 30 \end{cases}$

$W = |\begin{matrix} p - 1 & 2 q \\ 3 p & 6 q + 12 \end{matrix}| = 6 p q + 12 p - 6 q - 12 - 6 p q = 12 p - 6 q - 12$

$W_{x} = |\begin{matrix} 10 & 2 q \\ 30 & 6 q + 12 \end{matrix}| = 60 q + 120 - 60 q = 120$

$W_{y} = |\begin{matrix} p - 1 & 10 \\ 3 p & 30 \end{matrix}| = 30 p - 30 - 30 p = - 30$

$x = \frac{W_{x}}{W} = \frac{120}{12 p - 6 q - 12} = \frac{20}{2 p - q - 2}$

$y = \frac{W_{y}}{W} = \frac{- 30}{12 p - 6 q - 12} = \frac{- 5}{2 p - q - 2}$

$\{\begin{cases} x = \frac{20}{2 p - q - 2} \\ y = \frac{- 5}{2 p - q - 2} \end{cases}$

Dla $q \neq 2 p - 2$ układ posiada dokładnie jedno rozwiązanie postaci $\{\begin{cases} x = \frac{20}{2 p - q - 2} \\ y = \frac{- 5}{2 p - q - 2} \end{cases}$ .

Dla $q = 2 p - 2$ układ nie posiada rozwiązań.

Schemat interaktywny

Dla nauczyciela