Sprawdź się

Pokaż ćwiczenia:

Ćwiczenie 1

W trójkącie prostokątnym, w którym $h_{a} > h_{b} > h_{c}$ mamy dane: $h_{b} = 5$ , $h_{a} = 12$ . Wyznacz długość wysokości $h_{c}$ tego trójkąta.

Zauważmy, że najkrótsza z wysokości trójkąta prostokątnego jest poprowadzona na przeciwprostokątną, a dwie pozostałe wysokości są przyprostokątnymi tego trójkąta.

Oznaczmy przez $c$ przeciwprostokątną trójkąta.

Wtedy $h_{b}^{2} + h_{a}^{2} = c^{2}$ .

Stąd $c = \sqrt{5^{2} + 12^{2}} = 13$ .

Ponieważ $\frac{1}{2} c \cdot h_{c} = \frac{1}{2} h_{a} \cdot h_{b}$ , więc $h_{c} = \frac{5 \cdot 12}{13} = \frac{60}{13}$ .

Ćwiczenie 2

W trójkącie prostokątnym, wysokość poprowadzona na przeciwprostokątną ma długość $2$ , a jedna z pozostałych wysokości ma długość $3$ . Oblicz długość trzeciej wysokości tego trójkąta.

Oznaczmy przez $h$ szukaną wysokość (przyprostokątną) trójkąta.

Wtedy przeciwprostokątna $c$ jest równa $3^{2} + h^{2} = c^{2}$ .

Ponieważ $\frac{1}{2} c \cdot 2 = \frac{1}{2} h \cdot 3$ , więc $\frac{1}{2} \sqrt{3^{2} + h^{2}} \cdot 2 = \frac{1}{2} h \cdot 3$ .

Stąd otrzymujemy, że $4 \cdot (3^{2} + h^{2}) = 9 h^{2}$ .

Stąd $5 h^{2} = 36$ , czyli $h = \frac{6 \sqrt{5}}{5}$ .

RVz5jHeF1wfiu2

Ćwiczenie 3

R1cV8Z48l652P2

Ćwiczenie 4

Zaznacz poprawną odpowiedź. W trójkącie o wysokościach $h_{a}$ , $h_{b}$ , $h_{c}$ mamy dane $h_{a} = \frac{1}{2}$ , $h_{b} = \frac{1}{3}$ , $h_{c} = \frac{1}{4}$ . Pole tego trójkąta jest równe:

$\frac{\sqrt{455}}{144}$
$\frac{144}{\sqrt{455}}$
$\frac{1}{\sqrt{135}}$
$\sqrt{135}$

Ćwiczenie 5

R7yPs1tVvNz8Q

R18TURyQUXYzU

Na rysunkach opisano miary dwóch wybranych kątów, jakie wysokości trójkąta A B C tworzą z odpowiednimi bokami. Korzystając z przedstawionych na rysunku zależności, wyznacz miarę kąta alfa.
Dopasuj miarę kąta do odpowiedniego rysunku. alfa, równa się, piętnaście stopni Możliwe odpowiedzi: 1. Na ilustracji przedstawiono trójkąt ostrokątny A B C. Z wierzchołka A opuszczono wysokość, której spodek leży w punkcie D, znajdującym się na boku B C. Z wierzchołka B opuszczono wysokość, której spodek leży w punkcie E, znajdującym się na boku A C. Z wierzchołka C opuszczono wysokość, której spodek leży w punkcie F, znajdującym się na boku A B. Zaznaczono kąt równy 2 alfa minus 12 stopni, między wysokością B E, a bokiem B C, oraz kąt alfa plus 18 stopni między wysokością A D, a bokiem A C., 2. Na ilustracji przedstawiono trójkąt rozwartokątny A B C. Z wierzchołka A opuszczono wysokość, której spodek leży w punkcie D, znajdującym się na przedłużeniu boku B C. Z wierzchołka B opuszczono wysokość, której spodek leży w punkcie E znajdującym się na boku A C. Z wierzchołka C opuszczono wysokość, której spodek leży w punkcie F znajdującym się na przedłużeniu boku A B. Zaznaczono kąt równy alfa między bokiem A B C, a wysokością A D trójkąta, oraz kąt dwa alfa, minus, trzydzieści cztery stopnie, między bokiem B C, a wysokością C F trójkąta., 3. Na ilustracji przedstawiono trójkąt rozwartokątny A B C. Z wierzchołka A opuszczono wysokość, której spodek leży w punkcie D, znajdującym się na przedłużeniu boku B C. Z wierzchołka B opuszczono wysokość, której spodek leży w punkcie E znajdującym się na boku A C. Z wierzchołka C opuszczono wysokość, której spodek leży w punkcie F znajdującym się na przedłużeniu boku A B. Zaznaczono kąt równy cztery alfa między bokiem A B , a wysokością B E trójkąta, oraz kąt dwa alfa, plus, pięć stopni, między bokiem B C, a wysokością C F trójkąta., 4. Na ilustracji przedstawiono trójkąt ostrokątny A B C. Z wierzchołka A opuszczono wysokość, której spodek leży w punkcie D, znajdującym się na boku B C. Z wierzchołka B opuszczono wysokość, której spodek leży w punkcie E, znajdującym się na boku A C. Z wierzchołka C opuszczono wysokość, której spodek leży w punkcie F, znajdującym się na boku A B. Zaznaczono kąt równy 2 alfa minus 8 stopni, między wysokością A D, a bokiem A B, oraz kąt alfa plus 8 stopni między wysokością F C, a bokiem A C. alfa, równa się, trzydzieści cztery stopnie Możliwe odpowiedzi: 1. Na ilustracji przedstawiono trójkąt ostrokątny A B C. Z wierzchołka A opuszczono wysokość, której spodek leży w punkcie D, znajdującym się na boku B C. Z wierzchołka B opuszczono wysokość, której spodek leży w punkcie E, znajdującym się na boku A C. Z wierzchołka C opuszczono wysokość, której spodek leży w punkcie F, znajdującym się na boku A B. Zaznaczono kąt równy 2 alfa minus 12 stopni, między wysokością B E, a bokiem B C, oraz kąt alfa plus 18 stopni między wysokością A D, a bokiem A C., 2. Na ilustracji przedstawiono trójkąt rozwartokątny A B C. Z wierzchołka A opuszczono wysokość, której spodek leży w punkcie D, znajdującym się na przedłużeniu boku B C. Z wierzchołka B opuszczono wysokość, której spodek leży w punkcie E znajdującym się na boku A C. Z wierzchołka C opuszczono wysokość, której spodek leży w punkcie F znajdującym się na przedłużeniu boku A B. Zaznaczono kąt równy alfa między bokiem A B C, a wysokością A D trójkąta, oraz kąt dwa alfa, minus, trzydzieści cztery stopnie, między bokiem B C, a wysokością C F trójkąta., 3. Na ilustracji przedstawiono trójkąt rozwartokątny A B C. Z wierzchołka A opuszczono wysokość, której spodek leży w punkcie D, znajdującym się na przedłużeniu boku B C. Z wierzchołka B opuszczono wysokość, której spodek leży w punkcie E znajdującym się na boku A C. Z wierzchołka C opuszczono wysokość, której spodek leży w punkcie F znajdującym się na przedłużeniu boku A B. Zaznaczono kąt równy cztery alfa między bokiem A B , a wysokością B E trójkąta, oraz kąt dwa alfa, plus, pięć stopni, między bokiem B C, a wysokością C F trójkąta., 4. Na ilustracji przedstawiono trójkąt ostrokątny A B C. Z wierzchołka A opuszczono wysokość, której spodek leży w punkcie D, znajdującym się na boku B C. Z wierzchołka B opuszczono wysokość, której spodek leży w punkcie E, znajdującym się na boku A C. Z wierzchołka C opuszczono wysokość, której spodek leży w punkcie F, znajdującym się na boku A B. Zaznaczono kąt równy 2 alfa minus 8 stopni, między wysokością A D, a bokiem A B, oraz kąt alfa plus 8 stopni między wysokością F C, a bokiem A C. alfa, równa się, trzydzieści stopni Możliwe odpowiedzi: 1. Na ilustracji przedstawiono trójkąt ostrokątny A B C. Z wierzchołka A opuszczono wysokość, której spodek leży w punkcie D, znajdującym się na boku B C. Z wierzchołka B opuszczono wysokość, której spodek leży w punkcie E, znajdującym się na boku A C. Z wierzchołka C opuszczono wysokość, której spodek leży w punkcie F, znajdującym się na boku A B. Zaznaczono kąt równy 2 alfa minus 12 stopni, między wysokością B E, a bokiem B C, oraz kąt alfa plus 18 stopni między wysokością A D, a bokiem A C., 2. Na ilustracji przedstawiono trójkąt rozwartokątny A B C. Z wierzchołka A opuszczono wysokość, której spodek leży w punkcie D, znajdującym się na przedłużeniu boku B C. Z wierzchołka B opuszczono wysokość, której spodek leży w punkcie E znajdującym się na boku A C. Z wierzchołka C opuszczono wysokość, której spodek leży w punkcie F znajdującym się na przedłużeniu boku A B. Zaznaczono kąt równy alfa między bokiem A B C, a wysokością A D trójkąta, oraz kąt dwa alfa, minus, trzydzieści cztery stopnie, między bokiem B C, a wysokością C F trójkąta., 3. Na ilustracji przedstawiono trójkąt rozwartokątny A B C. Z wierzchołka A opuszczono wysokość, której spodek leży w punkcie D, znajdującym się na przedłużeniu boku B C. Z wierzchołka B opuszczono wysokość, której spodek leży w punkcie E znajdującym się na boku A C. Z wierzchołka C opuszczono wysokość, której spodek leży w punkcie F znajdującym się na przedłużeniu boku A B. Zaznaczono kąt równy cztery alfa między bokiem A B , a wysokością B E trójkąta, oraz kąt dwa alfa, plus, pięć stopni, między bokiem B C, a wysokością C F trójkąta., 4. Na ilustracji przedstawiono trójkąt ostrokątny A B C. Z wierzchołka A opuszczono wysokość, której spodek leży w punkcie D, znajdującym się na boku B C. Z wierzchołka B opuszczono wysokość, której spodek leży w punkcie E, znajdującym się na boku A C. Z wierzchołka C opuszczono wysokość, której spodek leży w punkcie F, znajdującym się na boku A B. Zaznaczono kąt równy 2 alfa minus 8 stopni, między wysokością A D, a bokiem A B, oraz kąt alfa plus 8 stopni między wysokością F C, a bokiem A C. alfa, równa się, szesnaście stopni Możliwe odpowiedzi: 1. Na ilustracji przedstawiono trójkąt ostrokątny A B C. Z wierzchołka A opuszczono wysokość, której spodek leży w punkcie D, znajdującym się na boku B C. Z wierzchołka B opuszczono wysokość, której spodek leży w punkcie E, znajdującym się na boku A C. Z wierzchołka C opuszczono wysokość, której spodek leży w punkcie F, znajdującym się na boku A B. Zaznaczono kąt równy 2 alfa minus 12 stopni, między wysokością B E, a bokiem B C, oraz kąt alfa plus 18 stopni między wysokością A D, a bokiem A C., 2. Na ilustracji przedstawiono trójkąt rozwartokątny A B C. Z wierzchołka A opuszczono wysokość, której spodek leży w punkcie D, znajdującym się na przedłużeniu boku B C. Z wierzchołka B opuszczono wysokość, której spodek leży w punkcie E znajdującym się na boku A C. Z wierzchołka C opuszczono wysokość, której spodek leży w punkcie F znajdującym się na przedłużeniu boku A B. Zaznaczono kąt równy alfa między bokiem A B C, a wysokością A D trójkąta, oraz kąt dwa alfa, minus, trzydzieści cztery stopnie, między bokiem B C, a wysokością C F trójkąta., 3. Na ilustracji przedstawiono trójkąt rozwartokątny A B C. Z wierzchołka A opuszczono wysokość, której spodek leży w punkcie D, znajdującym się na przedłużeniu boku B C. Z wierzchołka B opuszczono wysokość, której spodek leży w punkcie E znajdującym się na boku A C. Z wierzchołka C opuszczono wysokość, której spodek leży w punkcie F znajdującym się na przedłużeniu boku A B. Zaznaczono kąt równy cztery alfa między bokiem A B , a wysokością B E trójkąta, oraz kąt dwa alfa, plus, pięć stopni, między bokiem B C, a wysokością C F trójkąta., 4. Na ilustracji przedstawiono trójkąt ostrokątny A B C. Z wierzchołka A opuszczono wysokość, której spodek leży w punkcie D, znajdującym się na boku B C. Z wierzchołka B opuszczono wysokość, której spodek leży w punkcie E, znajdującym się na boku A C. Z wierzchołka C opuszczono wysokość, której spodek leży w punkcie F, znajdującym się na boku A B. Zaznaczono kąt równy 2 alfa minus 8 stopni, między wysokością A D, a bokiem A B, oraz kąt alfa plus 8 stopni między wysokością F C, a bokiem A C.

Ćwiczenie 6

W trójkącie ostrokątnym o bokach długości $a$ , $b$ , $c$ i wysokościach odpowiednio $h_{a}$ , $h_{b}$ , $h_{c}$ mamy dane $h_{a} = 3$ , $h_{b} = 4$ , $c = 6$ . Oblicz pole tego trójkąta.

Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku.

RK6S1wQvGmR9z

Na ilustracji przedstawiono trójkąt ostrokątny ABC. Z wierzchołka A opuszczono wysokość do boku AB, o długości trzy. Spodek tej wysokości leży w punkcie D. Z wierzchołka B opuszczono wysokość do boku AC, o długości cztery. Spodek tej wysokości leży w punkcie E. Z wierzchołka C opuszczono wysokość do boku AB, której spodek leży w punkcie F. Długość odcinka AF oznaczono x, natomiast długość odcinka FB oznaczono y.

Wtedy $|A E| = \sqrt{6^{2} - 4^{2}} = 2 \sqrt{5}$ oraz $|B D| = \sqrt{6^{2} - 3^{2}} = 3 \sqrt{3}$ .

Ponadto $tg (∢ A B C) = \frac{3}{3 \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{h_{c}}{y}$ oraz $tg (∢ B A C) = \frac{4}{2 \sqrt{5}} = \frac{2 \sqrt{5}}{5} = \frac{h_{c}}{x}$ .

Stąd $y = \frac{2 \sqrt{15} \cdot x}{5}$ .

Ale $x + y = 6$ , czyli $x + \frac{2 \sqrt{15} \cdot x}{5} = 6$ .

Stąd $x = \frac{30}{2 \sqrt{15} + 5}$ .

Wtedy $h_{c} = \frac{2 \sqrt{5}}{5} \cdot \frac{30}{2 \sqrt{15} + 5} = \frac{12 \cdot (2 \sqrt{3} - \sqrt{5})}{7}$ .

Zatem pole trójkąta jest równe $P = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot \frac{12 \cdot (2 \sqrt{3} - \sqrt{5})}{7} = \frac{36 \cdot (2 \sqrt{3} - \sqrt{5})}{7}$ .

Uwaga:

Zadanie można także rozwiązać korzystając ze wzoru Herona dla wysokości.

Łatwo zauważyć, że $h_{c} = \frac{2 P}{c} = \frac{P}{3}$ .

Wtedy wzór Herona można zapisać w postaci równania z jedną niewiadomą: $\frac{1}{P} = \sqrt{(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{3}{P}) (\frac{1}{3} + \frac{1}{4} - \frac{3}{P}) (\frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \frac{3}{P}) (- \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{3}{P})}$ .

Jego przekształcenie prowadzi do równania czwartego stopnia, w którym niewiadoma występuje tylko w czwartej i drugiej potędze.

Ćwiczenie 7

Przeprowadź konstrukcję trójkąta mając dane: podstawę $A B = c$ , wysokość $C P = h_{c}$ i kąt $α$ , jaki środkowa $C Q$ tworzy z bokiem $A C$ .

Opis konstrukcji:

Kreślimy dowolną prostą $k$ i na tej prostej odkładamy odcinek $A B = c$ .
Prowadzimy symetralną odcinka $A B = c$ i wyznaczony środek odcinka oznaczamy jako $Q$ .
Kreślimy miejsce geometryczne punktów, z których odcinek $A Q$ widać pod kątem $α$ : odkładamy kąt $α$ w taki sposób, że wierzchołkiem kąta będzie punkt $A$ , a jedno ramię kąta zawiera dany odcinek – drugie ramię wyznacza prostą $l$ ; kreślimy prostą prostopadłą do $l$ , przechodzącą przez punkt $A$ – otrzymujemy prostą $m$ ; kreślimy symetralną odcinka $A Q$ – punkt wspólny tej symetralnej i prostej $m$ wyznacza punkt $O$ ; z punktu $O$ kreślimy łuk o końcach w punktach $A$ i $Q$ . Środek odcinka $A Q$ oznaczamy przez $S$ .
RPVLA27G9fF7z
Na ilustracji przedstawiono okrąg wraz z poprowadzoną cięciwę k przechodząca przez punkt A i Q w prawym górnym rogu. Środek tego odcinka oznaczono literą S. Przez punkt S i Q poprowadzono przerywaną linią proste prostopadłe do tej cięciwy. Na prostej k zaznaczono również punkt B taki, że długość odcinka A Q równa się długości odcinka Q B. Poprowadzono styczną l do tego okręgu w punkcie A taką, że miara kąta między prostymi k i l wynosi alfa. Przerywaną linią zaznaczono prostą m prostopadłą do prostej l, przechodzącą przez punkt A i środek okręgu O.
Na symetralnej $S O$ odkładamy odcinek $h_{c}$ , tak, że jednym z końców odcinka jest punkt $S$ – drugi koniec oznaczamy przez $R$ .
Przez punkt $R$ prowadzimy prostą równoległą do $k$ , aż do przecięcia z łukiem o końcach $A$ i $Q$ – otrzymujemy wierzchołki $C_{1}$ i $C_{2}$ trójkąta.
RGfWjRKgIGhGn
Na ilustracji przedstawiono okrąg wraz z poprowadzoną cięciwę k przechodząca przez punkt A i Q w prawym górnym rogu. Środek tego odcinka oznaczono literą S. Przez punkt S i Q poprowadzono przerywaną linią proste prostopadłe do tej cięciwy. Na prostej k zaznaczono również punkt B taki, że długość odcinka A Q równa się długości odcinka Q B. Poprowadzono styczną l do tego okręgu w punkcie A taką, że miara kąta między prostymi k i l wynosi alfa. Przerywaną linią zaznaczono prostą m prostopadłą do prostej l, przechodzącą przez punkt A i środek okręgu O. Na dolnym lewym rogu okręgu zaznaczono również punkty $C_{1}$ oraz $C_{2}$ , które połączono z punktami A i B. Środek odcinka $C_{1} C_{2}$ oznaczono przez punkt R, tak że leży on na prostej prostopadłej przechodzącej przez punkt S i środek okręgu O. Powstały w ten sposób trójkąt $A C_{2} B$ zaznaczono kolorem fioletowym, a $A C_{1} B$ kolorem niebieskim.

Pozostaje zauważyć, że konstrukcja nie zawsze będzie możliwa do wykonania. W szczególności, gdyby odcinek $h_{c}$ byłby istotnie dłuższy, to wówczas prosta przechodząca przez punkt $R$ i równoległa do $k$ nie miałaby punktów wspólnych z łukiem $A Q$ .

R19SSMxx5JU273

Ćwiczenie 8

Aplet

Dla nauczyciela