Sprawdź się

Pokaż ćwiczenia:

Rg6cz9H1vOOzF1

Ćwiczenie 1

RfR6s03dst0T1

Ćwiczenie 1

R18xEL8B3cRnC1

Ćwiczenie 2

Pięć krawędzi czworościanu ma długość $a$ , zaś szósta długość $b$ , przy czym $a \neq b$ . Wybierz zdanie fałszywe.

Dokładnie trzy trójkąty w siatce tego ostrosłupa są trójkątami równobocznymi.
Dwa trójkąty w siatce tego ostrosłupa są trójkątami równobocznymi.
Co najmniej trzy trójkąty siatki tego ostrosłupa są trójkątami równoramiennymi.

R8y18sPpRTnMq1

Ćwiczenie 3

Ćwiczenie 3

RqnIT6eGkbUu2

Ćwiczenie 4

Na poniższym rysunku znajduje się siatka ostrosłupa czworokątnego, którego podstawą jest trapez równoramienny. Ile jest równa suma długości wszystkich krawędzi tego ostrosłupa?

R16z3sFexNGTk

Rysunek przedstawia siatkę ostrosłupa. Podstawą ostrosłupa jest trapez. Ramiona trapezu mają długość a, dolna podstawa trapezu ma długość b, górna podstawa trapezu ma długość a. Trójkąty przylegające do ramion trapezu, mają z trapezem wspólny bok o długości a, a ich pozostałe boki mają długości: c oraz d. Trójkąt przylegający do dolnej podstawy trapezu, ma z nim wspólny bok o długości b, a jego pozostałe dwa ramiona mają długość d. Trójkąt przylegający do górnej podstawy trapezu, ma z nim wspólny bok o długości a, każdy z jego pozostałych boków ma długość c.

R12ekfBo8hl8D

Wpisz w puste miejsca odpowiednie liczby całkowite.

............ $a +$ ............ $b +$ ............ $c +$ ............ $d$

RbTXS9vjMD5k82

Ćwiczenie 5

Ćwiczenie 6

Na rysunku przedstawiona jest siatka pewnego ostrosłupa, którego wszystkie krawędzie mają długość $10$ . Narysowano na niej kolorowe odcinki, których końce są każdorazowo środkami odpowiednich boków trójkątów równobocznych. Kolorowe odcinki po sklejeniu siatki w ostrosłup ograniczą pewien wielokąt. Oblicz pole tego wielokąta. Wpisz w puste kratki pierwsze trzy cyfry po przecinku rozwinięcia dziesiętnego otrzymanego wyniku.

RR7HcE4YeDWZL

Rysunek przedstawia siatkę ostrosłupa, którego podstawą jest trójkąt. Wierzchołki podstawy to: B, C, D. Do każdego z boków tego trójkąta przylega trójkąt, którego trzeci wierzchołek jest podpisany literą A. Powstają trójkąty: trójkąt 1: B, C, A, trójkąt 2: C, D, A, trójkąt 3: D, B, A. Na rysunku zostały narysowane 3 linie w kolorze różowym. Pierwsza z nich jest równoległa do odcinka AC i przechodzi przez 2 punkty: S dolny indeks 1, znajdujący się na odcinku AD w trójkącie 2, S dolny indeks 2 znajdujący się na boku CD. Druga linia łączy punkty: S dolny indeks znajdujący się na odcinku CD z punktem S dolny indeks 3 znajdujący się na odcinku DB podstawy. Trzecia linia łączy punkt S dolny indeks 3 z punktem S dolny indeks 4 znajdujący się na boku AD w trójkącie 3.

R6B7KTf63CJ7X

............ ............ ............

Jest to siatka ostrosłupa trójkątnego. Analizując, które punkty z siatki skleją się ze sobą w przestrzeni, możemy wykonać szkic czworościanu w rzucie.

R1ddlEsya0Zlq

Grafika przedstawia ostrosłup, którego podstawą jest trójkąt. Wierzchołki podstawy to: B, C, D. Wierzchołek ostrosłupa jest podpisany literą A. W ostrosłupie znajduje się trójkąt, którego wierzchołki znajdują się na krawędziach ostrosłupa. Wierzchołki trójkąta to: S dolny indeks 1 równa się S dolny indeks 4, punkt ten znajduje się na krawędzi bocznej AD, S dolny indeks 2, znajdujący się na krawędzi podstawy C,D, S dolny indeks 3, znajdujący się na krawędzi podstawy BC.

Na rysunku zaznaczona jest informacja, że punkty $S_{4}$ oraz $S_{1}$ zostały ze sobą utożsamione. Ostatecznie rozpatrujemy trójkąt $S_{1} S_{2} S_{3}$ . Aby obliczyć jego pole, wystarczy zauważyć, że jest to trójkąt równoboczny o boku równym połowie długości krawędzi ostrosłupa. To pozwala już obliczyć jego pole: $P = \frac{5^{2} \cdot \sqrt{3}}{4} = \frac{25 \sqrt{3}}{4} \approx 10, 8253$ .

Poprawny kod tworzą cyfry $825$ .

Ćwiczenie 7

Dany jest ostrosłup czworokątny o podstawie kwadratu, którego spodek wysokości pokrywa się z jednym z wierzchołków podstawy. Wysokość tego ostrosłupa jest równa krawędzi jego podstawy. Model takiego ostrosłupa można wykonać na $2$ sposoby. Możemy wykorzystać siatkę ze skrzydełkami na klej albo tzw. pseudosiatkę, która nie wymaga używania kleju. Pseudosiatka bryły — nie jest to siatka bryły w ogólnym rozumieniu. Ściany bryły powtarzają się kilkukrotnie, co nie jest dopuszczalne w zwykłych siatkach. Bryłę z takiej pseudosiatki otrzymuje się przez odpowiednie zaginanie i nakładanie na siebie wielokątów. Oblicz, jakim procentem pola umieszczonej poniżej pseudosiatki jest pole standardowej siatki ostrosłupa czworokątnego opisanego w zadaniu.

RmEbOQsk7qOBY

Grafika przedstawia pseudosiatkę ostrosłupa czworokątnego. Siatka ta składa się z 4 kwadratów i 7 trójkątów prostokątnych. Dwa kwadraty podpisane są cyfrą 1. Ułożenie pseudosiatki na rysunku jest następujące: do kwadratu z cyfrą jeden przylega z prawej strony pusty kwadrat, od góry do kwadratu z cyfrą jeden przylega trójkąt, w taki sposób, że ich wspólnym bokiem jest przyprostokątna trójkąta. Do pustego kwadratu od dołu przylega drugi pusty kwadrat, a od góry przylega trójkąt, w taki sposób, że ich wspólnym bokiem jest przyprostokątna. Oba trójkąty przylegają do siebie ich drugą przyprostokątną. Do przeciwprostokątnej drugiego trójkąta przylega swoją przyprostokątną trzeci trójkąt. Do drugiej przyprostokątnej tego trójkąta przylega czwarty kwadrat, znajduje się na nim cyfra 1. Czwarty trójkąt przylega do przeciwprostokątnej trzeciego trójkąta swoją przeciwprostokątną. Do przyprostokątnych czwartego trójkąta przylegają trójkąt 5 i 6, w taki sposób, że przyprostokątna 5 trójkąta przylega do przyprostokątnej czwartego trójkąta, a przeciwprostokątna 6 trójkąta przylega to drugiej przyprostokątnej trójkąta 4. Ostatni trójkąt- siódmy- przylega jedną ze swoich przyprostokątnych do przyprostokątnej trójkąta 6.

Uwaga:
Aby z zaprezentowanej pseudosiatki poskładać ostrosłup, należy po wycięciu jej z kartki po pierwsze rozciąć krawędź zaznaczoną linią przerywaną. Po drugie należy pozaginać siatkę wzdłuż zaznaczonych odcinków i tak ją poskładać, aby obie „jedynki” nakładały się wzajemnie na siebie.

Najłatwiej wyobrazić sobie własności miarowe danego ostrosłupa wpisując go w sześcian.

R1ZpW22477XeK

Rysunek przedstawia graniastosłup, w który wpisany jest ostrosłup. Obie bryły mają wspólną podstawę, którą jest czworokąt. Wierzchołki graniastosłupa to: A, B, C, D, S, B prim, C prim, D prim. Wierzchołki ostrosłupa to: A, B, C, D, S. Przy czym wierzchołki: A, B, C, D to wierzchołki podstawy.

Przyjmijmy długość krawędzi podstawy ostrosłupa jako $a$ . Standardowa siatka zbudowana jest z jednego kwadratu, dwóch przystających trójkątów prostokątnych i równoramiennych oraz dwóch przystających trójkątów prostokątnych o przyprostokątnych długości $a$ oraz $a \sqrt{2}$ odpowiednio. Obliczamy pole siatki (pomijamy materiał użyty na skrzydełka):

$P_{1} = a^{2} + 2 \cdot \frac{1}{2} a^{2} + 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot a \cdot a \sqrt{2} = (2 + \sqrt{2}) a^{2}$

Analizując naszą pseudosiatkę, możemy zauważyć, że jest zbudowana z czterech kwadratów, pięciu przystających trójkątów prostokątnych i równoramiennych oraz dwóch przystających trójkątów prostokątnych o przyprostokątnych długości $a$ oraz $a \sqrt{2}$ odpowiednio. Obliczamy pole pseudosiatki:

$P_{2} = 4 a^{2} + 5 \cdot \frac{1}{2} a^{2} + 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot a \cdot a \sqrt{2} = (6, 5 + \sqrt{2}) a^{2}$ .

Ostatecznie wyznaczając jakim procentem pseudosiatki jest siatka danego ostrosłupa otrzymujemy:

$\frac{(2 + \sqrt{2}) a^{2}}{(6, 5 + \sqrt{2}) a^{2}} \cdot 100 % \approx 43 %$ .

Ćwiczenie 8

Dany jest ostrosłup czworokątny, którego wszystkie krawędzie mają taką samą długość $20$ . Niech $M$ oznacza punkt znajdujący się w połowie krawędzi bocznej ostrosłupa a $N$ przeciwległy wierzchołek podstawy. Wyznaczamy trasę od $M$ do $N$ równolegle do podstawy a następnie wzdłuż wysokości ściany bocznej do wierzchołka (patrz rysunek).

Oblicz długość tej trasy.
Udowodnij, że poruszając się po powierzchni ostrosłupa można znaleźć krótszą niż wskazana trasę, która wiedzie od punktu $M$ do $N$ .
Oblicz, różnicę pomiędzy trasami $M$ do $N$ (zaznaczoną na poniższym rysunku na różowo) a najkrótszą trasą od punktu $M$ do $N$ zawierającą się w powierzchni ostrosłupa.

RsJCeHPNoJIav

Grafika przedstawia ostrosłup. Podstawą ostrosłupa jest czworokąt. Wierzchołki podstawy to: N, P, Q, B. Wierzchołek ostrosłupa jest podpisany literą S. W ostrosłupie zostały zaznaczone dwa odcinki. Jeden z nich znajduje się w płaszczyźnie ściany bocznej o wierzchołkach N, P, S i łączy punkt N z punktem K. Przy czym punkt N jest wierzchołkiem podstawy, a punkt K znajduje się na krawędzi bocznej PS. Drugi odcinek leży w płaszczyźnie ściany P, Q, S łączy punkt K z punktem M, przy czym punkt M znajduje się na krawędzi bocznej ostrosłupa QS.

Mamy obliczyć długość łamanej $M K N$ . Odcinek $M K$ jest odcinkiem łączącym środki boków trójkąta równobocznego, zatem jego długość jest połową długości boku trójkąta. Odcinek $K N$ jest wysokością trójkąta równobocznego. Mamy zatem:

$|M K| + |K N| = 10 + 10 \sqrt{3}$ .

Aby rozwiązać problem zadania posłużymy się siatką naszego ostrosłupa. Skonstruujemy ją tak, aby maksymalna ilość ścian bocznych pozostała nie rozcięta.

R1T35MtFYKtJ8

Grafika przedstawia siatkę ostrosłupa, którego podstawą jest kwadrat. Wierzchołki kwadratu to Q, P, R, N. Do krawędzi QP przylega trójkąt, którego trzeci wierzchołek to S. W tym trójkącie znajduje się odcinek MK równoległy do boku QP. Punkt K znajduje się na boku PS, a punkt M na boku QS. Do boku PS trójkąta przylega drugi trójkąt , którego trzeci wierzchołek to N. W tym trójkącie znajduje się odcinek KN. W tych trójkątach został zaznaczony trzeci odcinek, który łączy punkt M z punktem N. Trzeci trójkąt o wierzchołkach SNR przylega do boku SN drugiego trójkąta. Czwarty trójkąt SRQ przylega do boku SR trzeciego trójkąta.

Z warunku istnienia trójkąta wiemy, że suma długości $M K$ oraz $K N$ jest większa od długości odcinka $M N$ . Istnieje zatem trasa krótsza od wskazanej, spełniająca warunki zadania.

Aby obliczyć długość zielonego odcinka $|M N|$ wykorzystamy twierdzenie cosinusów dla trójkąta $S M N$ z siatki. Mamy zatem:

${|M N|}^{2} = {|M S|}^{2} + {|S N|}^{2} - 2 \cdot |M S| \cdot |S N| \cdot \cos ∠ (M S N)$

${|M N|}^{2} = 10^{2} + 20^{2} - 2 \cdot 10 \cdot 20 \cdot \cos 120 °$

${|M N|}^{2} = 500 - 400 \cdot (- \cos 60 °)$

${|M N|}^{2} = 500 + 400 \cdot \frac{1}{2}$

${|M N|}^{2} = 700$

$|M N| = 10 \sqrt{7}$

Ostatecznie różnica między zieloną i różową trasą stanowi:

$|M K| + |K N| - |M N| = 10 + 10 \sqrt{3} - 10 \sqrt{7}$ .

Animacja

Dla nauczyciela