Zaznacz prawidłową odpowiedź. Pochodna funkcji f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, x indeks górny, sześć, koniec indeksu górnego jest równa: Możliwe odpowiedzi: 1. f prim nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, sześć x indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego, 2. f prim nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, siedem x indeks górny, sześć, koniec indeksu górnego, 3. f prim nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, sześć x indeks górny, sześć, koniec indeksu górnego
R1QfHtFKvwNh31
Ćwiczenie 2
Wskaż funkcje, których pochodna jest równa 0. Możliwe odpowiedzi: 1. f nawias x zamknięcie nawiasu, równa się, x, 2. f nawias x zamknięcie nawiasu, równa się, sześć, 3. f nawias x zamknięcie nawiasu, równa się, x indeks górny, zero, koniec indeksu górnego, 4. f nawias x zamknięcie nawiasu, równa się, dwieście
R18WmBuFU3pBr1
Ćwiczenie 3
Pochodna funkcji f nawias x zamknięcie nawiasu, równa się, x indeks górny, pięćdziesiąt sześć, koniec indeksu górnego jest równa Możliwe odpowiedzi: 1. pięćdziesiąt sześć x indeks górny, pięćdziesiąt pięć, koniec indeksu górnego, 2. x indeks górny, pięćdziesiąt pięć, koniec indeksu górnego, 3. pięćdziesiąt pięć x indeks górny, pięćdziesiąt pięć, koniec indeksu górnego
2
Ćwiczenie 4
Wyznacz pochodne następujących funkcji:
,
,
.
Zastosuj poniższe wzory opisujące pochodne funkcji stałych i potęgowych, odpowiednio:
Pochodna dowolnej funkcji stałej jest równa zero, więc .
Aby wyznaczyć pochodną funkcji , korzystamy z wzoru na pochodną funkcji potęgowej . Otrzymamy
Wykorzystując ponownie wzór na pochodną funkcji potęgowej, znajdziemy pochodną funkcji . Dostaniemy .
R1OJONHAWrOYn2
Ćwiczenie 5
Dopasuj poniższe funkcje z odpowiadającymi im pochodnymi. f nawias x zamknięcie nawiasu, równa się, x indeks górny, siedem, koniec indeksu górnego Możliwe odpowiedzi: 1. f prim nawias x zamknięcie nawiasu, równa się, siedem indeks górny, x, koniec indeksu górnego, razy, logarytm naturalny z siedem, 2. f prim nawias x zamknięcie nawiasu, równa się, kosinus x, 3. f prim nawias x zamknięcie nawiasu, równa się, początek ułamka, jeden, mianownik, x, koniec ułamka, 4. f prim nawias x zamknięcie nawiasu, równa się, siedem x indeks górny, sześć, koniec indeksu górnego, 5. f prim nawias x zamknięcie nawiasu, równa się, początek ułamka, jeden, mianownik, x, razy, logarytm naturalny z siedem, koniec ułamka, 6. f prim nawias x zamknięcie nawiasu, równa się, minus, sinus x f nawias x zamknięcie nawiasu, równa się, siedem indeks górny, x, koniec indeksu górnego Możliwe odpowiedzi: 1. f prim nawias x zamknięcie nawiasu, równa się, siedem indeks górny, x, koniec indeksu górnego, razy, logarytm naturalny z siedem, 2. f prim nawias x zamknięcie nawiasu, równa się, kosinus x, 3. f prim nawias x zamknięcie nawiasu, równa się, początek ułamka, jeden, mianownik, x, koniec ułamka, 4. f prim nawias x zamknięcie nawiasu, równa się, siedem x indeks górny, sześć, koniec indeksu górnego, 5. f prim nawias x zamknięcie nawiasu, równa się, początek ułamka, jeden, mianownik, x, razy, logarytm naturalny z siedem, koniec ułamka, 6. f prim nawias x zamknięcie nawiasu, równa się, minus, sinus x f nawias x zamknięcie nawiasu, równa się, logarytm o podstawie siedem z x Możliwe odpowiedzi: 1. f prim nawias x zamknięcie nawiasu, równa się, siedem indeks górny, x, koniec indeksu górnego, razy, logarytm naturalny z siedem, 2. f prim nawias x zamknięcie nawiasu, równa się, kosinus x, 3. f prim nawias x zamknięcie nawiasu, równa się, początek ułamka, jeden, mianownik, x, koniec ułamka, 4. f prim nawias x zamknięcie nawiasu, równa się, siedem x indeks górny, sześć, koniec indeksu górnego, 5. f prim nawias x zamknięcie nawiasu, równa się, początek ułamka, jeden, mianownik, x, razy, logarytm naturalny z siedem, koniec ułamka, 6. f prim nawias x zamknięcie nawiasu, równa się, minus, sinus x f nawias x zamknięcie nawiasu, równa się, logarytm naturalny z x Możliwe odpowiedzi: 1. f prim nawias x zamknięcie nawiasu, równa się, siedem indeks górny, x, koniec indeksu górnego, razy, logarytm naturalny z siedem, 2. f prim nawias x zamknięcie nawiasu, równa się, kosinus x, 3. f prim nawias x zamknięcie nawiasu, równa się, początek ułamka, jeden, mianownik, x, koniec ułamka, 4. f prim nawias x zamknięcie nawiasu, równa się, siedem x indeks górny, sześć, koniec indeksu górnego, 5. f prim nawias x zamknięcie nawiasu, równa się, początek ułamka, jeden, mianownik, x, razy, logarytm naturalny z siedem, koniec ułamka, 6. f prim nawias x zamknięcie nawiasu, równa się, minus, sinus x f nawias x zamknięcie nawiasu, równa się, sinus x Możliwe odpowiedzi: 1. f prim nawias x zamknięcie nawiasu, równa się, siedem indeks górny, x, koniec indeksu górnego, razy, logarytm naturalny z siedem, 2. f prim nawias x zamknięcie nawiasu, równa się, kosinus x, 3. f prim nawias x zamknięcie nawiasu, równa się, początek ułamka, jeden, mianownik, x, koniec ułamka, 4. f prim nawias x zamknięcie nawiasu, równa się, siedem x indeks górny, sześć, koniec indeksu górnego, 5. f prim nawias x zamknięcie nawiasu, równa się, początek ułamka, jeden, mianownik, x, razy, logarytm naturalny z siedem, koniec ułamka, 6. f prim nawias x zamknięcie nawiasu, równa się, minus, sinus x f nawias x zamknięcie nawiasu, równa się, kosinus x Możliwe odpowiedzi: 1. f prim nawias x zamknięcie nawiasu, równa się, siedem indeks górny, x, koniec indeksu górnego, razy, logarytm naturalny z siedem, 2. f prim nawias x zamknięcie nawiasu, równa się, kosinus x, 3. f prim nawias x zamknięcie nawiasu, równa się, początek ułamka, jeden, mianownik, x, koniec ułamka, 4. f prim nawias x zamknięcie nawiasu, równa się, siedem x indeks górny, sześć, koniec indeksu górnego, 5. f prim nawias x zamknięcie nawiasu, równa się, początek ułamka, jeden, mianownik, x, razy, logarytm naturalny z siedem, koniec ułamka, 6. f prim nawias x zamknięcie nawiasu, równa się, minus, sinus x
Dopasuj poniższe funkcje z odpowiadającymi im pochodnymi. f nawias x zamknięcie nawiasu, równa się, x indeks górny, siedem, koniec indeksu górnego Możliwe odpowiedzi: 1. f prim nawias x zamknięcie nawiasu, równa się, siedem indeks górny, x, koniec indeksu górnego, razy, logarytm naturalny z siedem, 2. f prim nawias x zamknięcie nawiasu, równa się, kosinus x, 3. f prim nawias x zamknięcie nawiasu, równa się, początek ułamka, jeden, mianownik, x, koniec ułamka, 4. f prim nawias x zamknięcie nawiasu, równa się, siedem x indeks górny, sześć, koniec indeksu górnego, 5. f prim nawias x zamknięcie nawiasu, równa się, początek ułamka, jeden, mianownik, x, razy, logarytm naturalny z siedem, koniec ułamka, 6. f prim nawias x zamknięcie nawiasu, równa się, minus, sinus x f nawias x zamknięcie nawiasu, równa się, siedem indeks górny, x, koniec indeksu górnego Możliwe odpowiedzi: 1. f prim nawias x zamknięcie nawiasu, równa się, siedem indeks górny, x, koniec indeksu górnego, razy, logarytm naturalny z siedem, 2. f prim nawias x zamknięcie nawiasu, równa się, kosinus x, 3. f prim nawias x zamknięcie nawiasu, równa się, początek ułamka, jeden, mianownik, x, koniec ułamka, 4. f prim nawias x zamknięcie nawiasu, równa się, siedem x indeks górny, sześć, koniec indeksu górnego, 5. f prim nawias x zamknięcie nawiasu, równa się, początek ułamka, jeden, mianownik, x, razy, logarytm naturalny z siedem, koniec ułamka, 6. f prim nawias x zamknięcie nawiasu, równa się, minus, sinus x f nawias x zamknięcie nawiasu, równa się, logarytm o podstawie siedem z x Możliwe odpowiedzi: 1. f prim nawias x zamknięcie nawiasu, równa się, siedem indeks górny, x, koniec indeksu górnego, razy, logarytm naturalny z siedem, 2. f prim nawias x zamknięcie nawiasu, równa się, kosinus x, 3. f prim nawias x zamknięcie nawiasu, równa się, początek ułamka, jeden, mianownik, x, koniec ułamka, 4. f prim nawias x zamknięcie nawiasu, równa się, siedem x indeks górny, sześć, koniec indeksu górnego, 5. f prim nawias x zamknięcie nawiasu, równa się, początek ułamka, jeden, mianownik, x, razy, logarytm naturalny z siedem, koniec ułamka, 6. f prim nawias x zamknięcie nawiasu, równa się, minus, sinus x f nawias x zamknięcie nawiasu, równa się, logarytm naturalny z x Możliwe odpowiedzi: 1. f prim nawias x zamknięcie nawiasu, równa się, siedem indeks górny, x, koniec indeksu górnego, razy, logarytm naturalny z siedem, 2. f prim nawias x zamknięcie nawiasu, równa się, kosinus x, 3. f prim nawias x zamknięcie nawiasu, równa się, początek ułamka, jeden, mianownik, x, koniec ułamka, 4. f prim nawias x zamknięcie nawiasu, równa się, siedem x indeks górny, sześć, koniec indeksu górnego, 5. f prim nawias x zamknięcie nawiasu, równa się, początek ułamka, jeden, mianownik, x, razy, logarytm naturalny z siedem, koniec ułamka, 6. f prim nawias x zamknięcie nawiasu, równa się, minus, sinus x f nawias x zamknięcie nawiasu, równa się, sinus x Możliwe odpowiedzi: 1. f prim nawias x zamknięcie nawiasu, równa się, siedem indeks górny, x, koniec indeksu górnego, razy, logarytm naturalny z siedem, 2. f prim nawias x zamknięcie nawiasu, równa się, kosinus x, 3. f prim nawias x zamknięcie nawiasu, równa się, początek ułamka, jeden, mianownik, x, koniec ułamka, 4. f prim nawias x zamknięcie nawiasu, równa się, siedem x indeks górny, sześć, koniec indeksu górnego, 5. f prim nawias x zamknięcie nawiasu, równa się, początek ułamka, jeden, mianownik, x, razy, logarytm naturalny z siedem, koniec ułamka, 6. f prim nawias x zamknięcie nawiasu, równa się, minus, sinus x f nawias x zamknięcie nawiasu, równa się, kosinus x Możliwe odpowiedzi: 1. f prim nawias x zamknięcie nawiasu, równa się, siedem indeks górny, x, koniec indeksu górnego, razy, logarytm naturalny z siedem, 2. f prim nawias x zamknięcie nawiasu, równa się, kosinus x, 3. f prim nawias x zamknięcie nawiasu, równa się, początek ułamka, jeden, mianownik, x, koniec ułamka, 4. f prim nawias x zamknięcie nawiasu, równa się, siedem x indeks górny, sześć, koniec indeksu górnego, 5. f prim nawias x zamknięcie nawiasu, równa się, początek ułamka, jeden, mianownik, x, razy, logarytm naturalny z siedem, koniec ułamka, 6. f prim nawias x zamknięcie nawiasu, równa się, minus, sinus x
R1CZbEUHt8dRG2
Ćwiczenie 6
Łączenie par. . x indeks górny, trzydzieści, koniec indeksu górnego. Możliwe odpowiedzi: Pochodna f prim nawias x zamknięcie nawiasu, Uwagi. x indeks górny, zero, koniec indeksu górnego. Możliwe odpowiedzi: Pochodna f prim nawias x zamknięcie nawiasu, Uwagi. dwa indeks górny, x, koniec indeksu górnego. Możliwe odpowiedzi: Pochodna f prim nawias x zamknięcie nawiasu, Uwagi. piętnaście. Możliwe odpowiedzi: Pochodna f prim nawias x zamknięcie nawiasu, Uwagi. logarytm o podstawie piętnaście z x. Możliwe odpowiedzi: Pochodna f prim nawias x zamknięcie nawiasu, Uwagi. logarytm naturalny z x. Możliwe odpowiedzi: Pochodna f prim nawias x zamknięcie nawiasu, Uwagi. sinus x. Możliwe odpowiedzi: Pochodna f prim nawias x zamknięcie nawiasu, Uwagi. kosinus x. Możliwe odpowiedzi: Pochodna f prim nawias x zamknięcie nawiasu, Uwagi
Łączenie par. . x indeks górny, trzydzieści, koniec indeksu górnego. Możliwe odpowiedzi: Pochodna f prim nawias x zamknięcie nawiasu, Uwagi. x indeks górny, zero, koniec indeksu górnego. Możliwe odpowiedzi: Pochodna f prim nawias x zamknięcie nawiasu, Uwagi. dwa indeks górny, x, koniec indeksu górnego. Możliwe odpowiedzi: Pochodna f prim nawias x zamknięcie nawiasu, Uwagi. piętnaście. Możliwe odpowiedzi: Pochodna f prim nawias x zamknięcie nawiasu, Uwagi. logarytm o podstawie piętnaście z x. Możliwe odpowiedzi: Pochodna f prim nawias x zamknięcie nawiasu, Uwagi. logarytm naturalny z x. Możliwe odpowiedzi: Pochodna f prim nawias x zamknięcie nawiasu, Uwagi. sinus x. Możliwe odpowiedzi: Pochodna f prim nawias x zamknięcie nawiasu, Uwagi. kosinus x. Możliwe odpowiedzi: Pochodna f prim nawias x zamknięcie nawiasu, Uwagi
RZkylIZIM1seO3
Ćwiczenie 7
f nawias x zamknięcie nawiasu, równa się, x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego Możliwe odpowiedzi: 1. f prim nawias x zamknięcie nawiasu, równa się, szesnaście x indeks górny, piętnaście, koniec indeksu górnego, 2. f prim nawias x zamknięcie nawiasu, równa się, trzy x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, 3. f nawias x zamknięcie nawiasu, równa się, początek ułamka, jeden, mianownik, x, razy, logarytm naturalny z dwanaście, koniec ułamka, 4. f prim nawias x zamknięcie nawiasu, równa się, dwanaście indeks górny, x, koniec indeksu górnego, razy, logarytm naturalny z dwanaście, 5. f prim nawias x zamknięcie nawiasu, równa się, zero f nawias x zamknięcie nawiasu, równa się, czterysta Możliwe odpowiedzi: 1. f prim nawias x zamknięcie nawiasu, równa się, szesnaście x indeks górny, piętnaście, koniec indeksu górnego, 2. f prim nawias x zamknięcie nawiasu, równa się, trzy x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, 3. f nawias x zamknięcie nawiasu, równa się, początek ułamka, jeden, mianownik, x, razy, logarytm naturalny z dwanaście, koniec ułamka, 4. f prim nawias x zamknięcie nawiasu, równa się, dwanaście indeks górny, x, koniec indeksu górnego, razy, logarytm naturalny z dwanaście, 5. f prim nawias x zamknięcie nawiasu, równa się, zero f nawias x zamknięcie nawiasu, równa się, dwanaście indeks górny, x, koniec indeksu górnego Możliwe odpowiedzi: 1. f prim nawias x zamknięcie nawiasu, równa się, szesnaście x indeks górny, piętnaście, koniec indeksu górnego, 2. f prim nawias x zamknięcie nawiasu, równa się, trzy x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, 3. f nawias x zamknięcie nawiasu, równa się, początek ułamka, jeden, mianownik, x, razy, logarytm naturalny z dwanaście, koniec ułamka, 4. f prim nawias x zamknięcie nawiasu, równa się, dwanaście indeks górny, x, koniec indeksu górnego, razy, logarytm naturalny z dwanaście, 5. f prim nawias x zamknięcie nawiasu, równa się, zero f nawias x zamknięcie nawiasu, równa się, x indeks górny, szesnaście, koniec indeksu górnego Możliwe odpowiedzi: 1. f prim nawias x zamknięcie nawiasu, równa się, szesnaście x indeks górny, piętnaście, koniec indeksu górnego, 2. f prim nawias x zamknięcie nawiasu, równa się, trzy x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, 3. f nawias x zamknięcie nawiasu, równa się, początek ułamka, jeden, mianownik, x, razy, logarytm naturalny z dwanaście, koniec ułamka, 4. f prim nawias x zamknięcie nawiasu, równa się, dwanaście indeks górny, x, koniec indeksu górnego, razy, logarytm naturalny z dwanaście, 5. f prim nawias x zamknięcie nawiasu, równa się, zero f nawias x zamknięcie nawiasu, równa się, logarytm o podstawie dwanaście z x Możliwe odpowiedzi: 1. f prim nawias x zamknięcie nawiasu, równa się, szesnaście x indeks górny, piętnaście, koniec indeksu górnego, 2. f prim nawias x zamknięcie nawiasu, równa się, trzy x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, 3. f nawias x zamknięcie nawiasu, równa się, początek ułamka, jeden, mianownik, x, razy, logarytm naturalny z dwanaście, koniec ułamka, 4. f prim nawias x zamknięcie nawiasu, równa się, dwanaście indeks górny, x, koniec indeksu górnego, razy, logarytm naturalny z dwanaście, 5. f prim nawias x zamknięcie nawiasu, równa się, zero
f nawias x zamknięcie nawiasu, równa się, x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego Możliwe odpowiedzi: 1. f prim nawias x zamknięcie nawiasu, równa się, szesnaście x indeks górny, piętnaście, koniec indeksu górnego, 2. f prim nawias x zamknięcie nawiasu, równa się, trzy x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, 3. f nawias x zamknięcie nawiasu, równa się, początek ułamka, jeden, mianownik, x, razy, logarytm naturalny z dwanaście, koniec ułamka, 4. f prim nawias x zamknięcie nawiasu, równa się, dwanaście indeks górny, x, koniec indeksu górnego, razy, logarytm naturalny z dwanaście, 5. f prim nawias x zamknięcie nawiasu, równa się, zero f nawias x zamknięcie nawiasu, równa się, czterysta Możliwe odpowiedzi: 1. f prim nawias x zamknięcie nawiasu, równa się, szesnaście x indeks górny, piętnaście, koniec indeksu górnego, 2. f prim nawias x zamknięcie nawiasu, równa się, trzy x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, 3. f nawias x zamknięcie nawiasu, równa się, początek ułamka, jeden, mianownik, x, razy, logarytm naturalny z dwanaście, koniec ułamka, 4. f prim nawias x zamknięcie nawiasu, równa się, dwanaście indeks górny, x, koniec indeksu górnego, razy, logarytm naturalny z dwanaście, 5. f prim nawias x zamknięcie nawiasu, równa się, zero f nawias x zamknięcie nawiasu, równa się, dwanaście indeks górny, x, koniec indeksu górnego Możliwe odpowiedzi: 1. f prim nawias x zamknięcie nawiasu, równa się, szesnaście x indeks górny, piętnaście, koniec indeksu górnego, 2. f prim nawias x zamknięcie nawiasu, równa się, trzy x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, 3. f nawias x zamknięcie nawiasu, równa się, początek ułamka, jeden, mianownik, x, razy, logarytm naturalny z dwanaście, koniec ułamka, 4. f prim nawias x zamknięcie nawiasu, równa się, dwanaście indeks górny, x, koniec indeksu górnego, razy, logarytm naturalny z dwanaście, 5. f prim nawias x zamknięcie nawiasu, równa się, zero f nawias x zamknięcie nawiasu, równa się, x indeks górny, szesnaście, koniec indeksu górnego Możliwe odpowiedzi: 1. f prim nawias x zamknięcie nawiasu, równa się, szesnaście x indeks górny, piętnaście, koniec indeksu górnego, 2. f prim nawias x zamknięcie nawiasu, równa się, trzy x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, 3. f nawias x zamknięcie nawiasu, równa się, początek ułamka, jeden, mianownik, x, razy, logarytm naturalny z dwanaście, koniec ułamka, 4. f prim nawias x zamknięcie nawiasu, równa się, dwanaście indeks górny, x, koniec indeksu górnego, razy, logarytm naturalny z dwanaście, 5. f prim nawias x zamknięcie nawiasu, równa się, zero f nawias x zamknięcie nawiasu, równa się, logarytm o podstawie dwanaście z x Możliwe odpowiedzi: 1. f prim nawias x zamknięcie nawiasu, równa się, szesnaście x indeks górny, piętnaście, koniec indeksu górnego, 2. f prim nawias x zamknięcie nawiasu, równa się, trzy x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, 3. f nawias x zamknięcie nawiasu, równa się, początek ułamka, jeden, mianownik, x, razy, logarytm naturalny z dwanaście, koniec ułamka, 4. f prim nawias x zamknięcie nawiasu, równa się, dwanaście indeks górny, x, koniec indeksu górnego, razy, logarytm naturalny z dwanaście, 5. f prim nawias x zamknięcie nawiasu, równa się, zero
RQ0P1EHuR4vsu3
Ćwiczenie 8
Wymyśl pytanie na kartkówkę związane z tematem materiału.
Wymyśl pytanie na kartkówkę związane z tematem materiału.
3
Ćwiczenie 9
Korzystając bezpośrednio z definicji pochodnej funkcji, wyznacz pochodną funkcji w dowolnym punkcie , w którym funkcja jest określona.
Wykorzystaj definicję pochodnej funkcji jako granicy ilorazu różnicowego dla .
Korzystamy bezpośrednio z definicji pochodnej funkcji jako granicy ilorazu różnicowego dla funkcji .
Przypomnijmy najpierw wzór skróconego mnożenia opisujący sześcian sumy: .
Pochodna funkcji dla dowolnego argumentu będzie miała postać: . Czyli ostatecznie .