Sprawdź się

Pokaż ćwiczenia:

R1eHgYN0tjrjT1

Ćwiczenie 1

Podstawą ostrosłupa prostego jest prostokąt, którego boki są w stosunku dwa, podzielić na, jeden. Krawędzie boczne są nachylone do płaszczyzny podstawy pod kątem trzydzieści stopni. Wysokość ostrosłupa wynosi H. Połącz dane opisy liczb z ich wartościami. wysokość większej ściany bocznej Możliwe odpowiedzi: 1. początek ułamka, dwa, mianownik, pięć, koniec ułamka, H pierwiastek kwadratowy z piętnaście koniec pierwiastka, 2. początek ułamka, siedem, mianownik, dziesięć, koniec ułamka, 3. początek ułamka, dwadzieścia cztery H indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, mianownik, pięć, koniec ułamka, 4. H, 5. początek ułamka, dwa, mianownik, pięć, koniec ułamka, H pierwiastek kwadratowy z dziesięć koniec pierwiastka pole podstawy Możliwe odpowiedzi: 1. początek ułamka, dwa, mianownik, pięć, koniec ułamka, H pierwiastek kwadratowy z piętnaście koniec pierwiastka, 2. początek ułamka, siedem, mianownik, dziesięć, koniec ułamka, 3. początek ułamka, dwadzieścia cztery H indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, mianownik, pięć, koniec ułamka, 4. H, 5. początek ułamka, dwa, mianownik, pięć, koniec ułamka, H pierwiastek kwadratowy z dziesięć koniec pierwiastka różnica pomiędzy długością krawędzi bocznej, a wysokością ostrosłupa Możliwe odpowiedzi: 1. początek ułamka, dwa, mianownik, pięć, koniec ułamka, H pierwiastek kwadratowy z piętnaście koniec pierwiastka, 2. początek ułamka, siedem, mianownik, dziesięć, koniec ułamka, 3. początek ułamka, dwadzieścia cztery H indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, mianownik, pięć, koniec ułamka, 4. H, 5. początek ułamka, dwa, mianownik, pięć, koniec ułamka, H pierwiastek kwadratowy z dziesięć koniec pierwiastka długość krótszej krawędzi podstawy Możliwe odpowiedzi: 1. początek ułamka, dwa, mianownik, pięć, koniec ułamka, H pierwiastek kwadratowy z piętnaście koniec pierwiastka, 2. początek ułamka, siedem, mianownik, dziesięć, koniec ułamka, 3. początek ułamka, dwadzieścia cztery H indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, mianownik, pięć, koniec ułamka, 4. H, 5. początek ułamka, dwa, mianownik, pięć, koniec ułamka, H pierwiastek kwadratowy z dziesięć koniec pierwiastka cosinus kąta płaskiego przy wierzchołku ostrosłupa w mniejszej ścianie bocznej Możliwe odpowiedzi: 1. początek ułamka, dwa, mianownik, pięć, koniec ułamka, H pierwiastek kwadratowy z piętnaście koniec pierwiastka, 2. początek ułamka, siedem, mianownik, dziesięć, koniec ułamka, 3. początek ułamka, dwadzieścia cztery H indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, mianownik, pięć, koniec ułamka, 4. H, 5. początek ułamka, dwa, mianownik, pięć, koniec ułamka, H pierwiastek kwadratowy z dziesięć koniec pierwiastka

R1ILLU929OYUj1

Ćwiczenie 2

RIMsoX3wW9DWg2

Ćwiczenie 3

ReYg5nzCuAOS52

Ćwiczenie 4

Ćwiczenie 5

Na rysunku przedstawiono siatkę ostrosłupa, w którego podstawie jest kwadrat o boku długości $a$ . Wszystkie ściany boczne są trójkątami prostokątnymi.

R9RjUDuQNKacC

Ilustracja przedstawia siatkę ostrosłupa, którego podstawą jest kwadrat o boku długości a. Do każdej ściany kwadratu przylega jedną ze swoich przyprostokątnych trójkąt prostokątny. W jednym z trójkątów obie przyprostokątne mają długość a.

R1d7oRYpIV1jY

RWxKw4p9PNykN2

Ćwiczenie 6

Ćwiczenie 7

Na rysunku przedstawiono siatkę czworościanu, w którego podstawie jest trójkąt prostokątny o polu $S$ . Wykaż, że pole powierzchni bocznej jest większe od $3 S$ .

Re8gQ9y5B1vuC

Ilustracja przedstawia siatkę czworościanu. Podstawą czworościanu jest trójkąt prostokątny, w którym jeden z kątów ostrych ma miarę 60 stopni. Do tej przyprostokątnej, która jest pod kątem 60 stopni do przeciwprostokątnej swoją przyprostokątną przylega trójkąt prostokątny. W tym trójkącie pomiędzy drugą przyprostokątną a przeciwprostokątną zaznaczono kąt 45 stopni. Do drugiej przyprostokątnej podstawy również przylega trójkąt prostokątny, natomiast do przeciwprostokątnej podstawy przylega trójkąt, w który nie został zaznaczony żaden kąt.

Dopiszmy na rysunku zależności pomiędzy poszczególnymi krawędziami.

R1JcRS4qA7OtS

Skoro pole podstawy wynosi $S$ , to mamy równanie:

$S = \frac{a \cdot a \sqrt{3}}{2}$

$2 S = a^{2} \sqrt{3}$

$a^{2} = \frac{2 S \sqrt{3}}{3}$

$a = \sqrt{\frac{2 S \sqrt{3}}{3}}$

Pole boczne składa się z trzech trójkątów:

$P = \frac{1}{2} a^{2} = \frac{1}{2} \cdot \frac{2 S \sqrt{3}}{3} = \frac{S \sqrt{3}}{3}$

II.

$P = \frac{1}{2} a \cdot a \sqrt{3} = S$

III.

RAW66Cn7mLCMG

Ilustracja przedstawia trójkąt równoramienny. Podstawa ma długość a2, ramiona mają długość 2a. W trójkącie zaznaczono wysokość, która jest pod kątem prostym do podstawy i jest podpisana literą h.

$h^{2} = {(2 a)}^{2} - {(\frac{a \sqrt{2}}{2})}^{2}$

$h^{2} = \frac{7}{2} a^{2}$

$h = \frac{a \sqrt{14}}{2}$

$P = \frac{1}{2} a \sqrt{2} \cdot \frac{a \sqrt{14}}{2} = \frac{a^{2} \sqrt{28}}{4} = \frac{a^{2} \sqrt{7}}{2} = \frac{2 S \sqrt{3}}{3} \cdot \frac{\sqrt{7}}{2} = \frac{S \sqrt{21}}{3}$

$P_{b} = \frac{S \sqrt{3}}{3} + S + \frac{S \sqrt{21}}{3} = \frac{S \sqrt{3} + 3 S + S \sqrt{21}}{3} = \frac{S (\sqrt{3} + 3 + \sqrt{21})}{3}$

Ponieważ $\frac{\sqrt{3} + 3 + \sqrt{21}}{3} \approx \frac{9, 31}{3} \approx 3, 1$ , więc $\frac{S (\sqrt{3} + 3 + \sqrt{21})}{3} > 3 S$ .

Ćwiczenie 8

Podstawą ostrosłupa jest trójkąt równoramienny, którego podstawa ma długość $8 cm$ , a wysokość $12 cm$ . Krawędzie boczne są tej samej długości równej $12 cm$ . Oblicz pole powierzchni całkowitej ostrosłupa oraz jego wysokość.

Wszystkie krawędzie boczne są tej samej długości, zatem spodek wysokości ostrosłupa pokrywa się ze środkiem okręgu opisanego na jego podstawie.

R16sTgHBToPsa

Ilustracja przedstawia trójkąt równoramienny wpisany w okrąg. Podstawa ma długość 8, ramiona mają długość x. W trójkącie zaznaczono wysokość, która jest pod kątem prostym do podstawy i ma długość dwanaście. Na wysokości zaznaczono punkt O, który jest środkiem okręgu opisanego na trójkącie. Promień okręgu biegnący z punktu O do jednego z wierzchołków podpisano literą R.

Z twierdzenia Pitagorasa mamy

$x = \sqrt{160} = 4 \sqrt{10}$

Obliczmy promień okręgu opisanego na tym trójkącie, korzystając ze wzoru na pole trójkąta:

$P = \frac{a b c}{4 R}$

gdzie:
$a$ , $b$ , $c$ – długości boków trójkąta,
$R$ – promień okręgu opisanego na trójkącie.

$P = \frac{8 \cdot 12}{2} = 48$

Iloczyn długości boków wynosi:

$8 \cdot 4 \sqrt{10} \cdot 4 \sqrt{10} = 1280$

Podstawiając do wzoru na pole trójkąta, otrzymujemy:

$48 = \frac{1280}{4 R}$

$R = \frac{20}{3} = 6 \frac{2}{3}$

Aby obliczyć wysokość ostrosłupa $(H)$ , wystarczy więc wykorzystać twierdzenie Pitagorasa dla trójkąta prostokątnego $S O A$ :

RUkjWnWiY2QfB

Ilustracja przedstawia ostrosłup, którego podstawą jest trójkąt A B C. Trójkąt ten wpisany jest w okrąg, o środku O i promieniu R. Krawędź podstawy AB ma długość osiem. Wierzchołek górny ostrosłupa podpisano literą S. Odcinek SO jest wysokością ostrosłupa i jest podpisany literą H. Krawędź boczna ostrosłupa ma długość dwanaście.

$H^{2} = 12^{2} - {(\frac{20}{3})}^{2}$

$H = \frac{8 \sqrt{14}}{3}$

Policzmy pole powierzchni bocznej:

I. Z twierdzenia Pitagorasa obliczamy wysokość ściany bocznej $B C S$ . Oznaczamy ją jako $h_{1}$ .

R24yNgL0mlRMj

Ilustracja przedstawia trójkąt o wierzchołkach A C S. Podstawa AC ma długość 410, ramiona mają długość dwanaście. Wysokość opuszczoną z wierzchołka S na podstawę AC podpisano h1.

$h_{1} = \sqrt{104} = 2 \sqrt{26}$

$P = \frac{1}{2} \cdot 4 \sqrt{10} \cdot 2 \sqrt{26} = 8 \sqrt{65}$

Ściana $A C S$ jest przystająca do ściany $B C S$ , więc ma takie samo pole powierzchni.

II. Analogicznie wysokość ściany $A B S$ wynosi:

RQ7OtszK7Qrbk

Ilustracja przedstawia trójkąt o wierzchołkach A B S. Podstawa AB ma długość 8, ramiona mają długość dwanaście. Wysokość opuszczoną z wierzchołka S na podstawę AB podpisano h2.

$h_{2} = \sqrt{128} = 8 \sqrt{2}$

$P = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 8 \sqrt{2} = 32 \sqrt{2}$

Możemy policzyć już pole powierzchni bocznej:

$P_{b} = 2 \cdot 8 \sqrt{65} + 32 \sqrt{2} = 16 \sqrt{65} + 32 \sqrt{2} {c m}^{2}$

oraz pole powierzchni całkowitej:

$P_{c} = 48 + 16 \sqrt{65} + 32 \sqrt{2} [{cm}^{2}]$ .

Animacja 3D

Dla nauczyciela