Dopiszmy na rysunku zależności pomiędzy poszczególnymi krawędziami.

R1JcRS4qA7OtS

Ilustracja przedstawia siatkę czworościanu. Podstawą czworościanu jest trójkąt prostokątny, w którym jeden z kątów ostrych ma miarę 60 stopni, przyprostokątna leżąca przy tym kącie ma długość a. Do tej przyprostokątnej, swoją przyprostokątną przylega trójkąt prostokątny numer jeden. W trójkącie numer jeden zaznaczono kąt 45 stopni, jego przyprostokątne mają długość a, natomiast przeciwprostokątna ma długość $a\sqrt{2}$ . Do drugiej przyprostokątnej podstawy przylega trójkąt numer dwa, jest to trójkąt prostokątny, jego przyprostokątna przylegająca do krawędzi podstawy ostrosłupa ma długość $a\sqrt{3}$, druga przyprostokątna ma długość a, przeciwprostokątna ma długość $2a$. Do przeciwprostokątnej podstawy przylega trójkąt trzeci, dwa ramiona, w tym ramię, które przylega do podstawy, mają długość $2a$, natomiast trzeci bok ma długość $a\sqrt{2}$.

Skoro pole podstawy wynosi $S$, to mamy równanie:

$S=\frac{a·a\sqrt{3}}{2}$

$2S=a^2\sqrt{3}$

$a^2=\frac{2S\sqrt{3}}{3}$

$a=\sqrt{\frac{2S\sqrt{3}}{3}}$

Pole boczne składa się z trzech trójkątów:

$P=\frac{1}{2}{a}^2=\frac{1}{2}·\frac{2S\sqrt{3}}{3}=\frac{S\sqrt{3}}{3}$

$P=\frac{1}{2}a·a\sqrt{3}=S$

RAW66Cn7mLCMG

Ilustracja przedstawia trójkąt równoramienny. Podstawa ma długość $a\sqrt{2}$, ramiona mają długość $2a$. W trójkącie zaznaczono wysokość, która jest pod kątem prostym do podstawy i jest podpisana literą h.

$h^2={\left(2a\right)}^2-{\left(\frac{a\sqrt{2}}{2}\right)}^2$

$h^2=\frac{7}{2}{a}^2$

$h=\frac{a\sqrt{14}}{2}$

$P=\frac{1}{2}a\sqrt{2}·\frac{a\sqrt{14}}{2}=\frac{a^2\sqrt{28}}{4}=\frac{a^2\sqrt{7}}{2}=\frac{2S\sqrt{3}}{3}·\frac{\sqrt{7}}{2}=\frac{S\sqrt{21}}{3}$

$P_b=\frac{S\sqrt{3}}{3}+S+\frac{S\sqrt{21}}{3}=\frac{S\sqrt{3}+3S+S\sqrt{21}}{3}=\frac{S\left(\sqrt{3}+3+\sqrt{21}\right)}{3}$

Ponieważ $\frac{\sqrt{3}+3+\sqrt{21}}{3}\approx \frac{9,31}{3}\approx 3,1$, więc $\frac{S\left(\sqrt{3}+3+\sqrt{21}\right)}{3}>3S$.

Wszystkie krawędzie boczne są tej samej długości, zatem spodek wysokości ostrosłupa pokrywa się ze środkiem okręgu opisanego na jego podstawie.

R16sTgHBToPsa

Ilustracja przedstawia trójkąt równoramienny wpisany w okrąg. Podstawa ma długość 8, ramiona mają długość x. W trójkącie zaznaczono wysokość, która jest pod kątem prostym do podstawy i ma długość dwanaście. Na wysokości zaznaczono punkt O, który jest środkiem okręgu opisanego na trójkącie. Promień okręgu biegnący z punktu O do jednego z wierzchołków podpisano literą R.

Z twierdzenia Pitagorasa mamy

$x=\sqrt{160}=4\sqrt{10}$

Obliczmy promień okręgu opisanego na tym trójkącie, korzystając ze wzoru na pole trójkąta:

$P=\frac{abc}{4R}$

gdzie:
$a$, $b$, $c$ – długości boków trójkąta,
$R$ – promień okręgu opisanego na trójkącie.

$P=\frac{8·12}{2}=48$

Iloczyn długości boków wynosi:

$8·4\sqrt{10}·4\sqrt{10}=1280$

Podstawiając do wzoru na pole trójkąta, otrzymujemy:

$48=\frac{1280}{4R}$

$R=\frac{20}{3}=6\frac{2}{3}$

Aby obliczyć wysokość ostrosłupa $\left(H\right)$, wystarczy więc wykorzystać twierdzenie Pitagorasa dla trójkąta prostokątnego $SOA$:

RUkjWnWiY2QfB

Ilustracja przedstawia ostrosłup, którego podstawą jest trójkąt A B C. Trójkąt ten wpisany jest w okrąg, o środku O i promieniu R. Krawędź podstawy AB ma długość osiem. Wierzchołek górny ostrosłupa podpisano literą S. Odcinek SO jest wysokością ostrosłupa i jest podpisany literą H. Krawędź boczna ostrosłupa ma długość dwanaście.

$H^2={12}^2-{\left(\frac{20}{3}\right)}^2$

$H=\frac{8\sqrt{14}}{3}$

Policzmy pole powierzchni bocznej:

I. Z twierdzenia Pitagorasa obliczamy wysokość ściany bocznej $BCS$. Oznaczamy ją jako $h_1$.

R24yNgL0mlRMj

Ilustracja przedstawia trójkąt o wierzchołkach A C S. Podstawa AC ma długość $4\sqrt{10}$, ramiona mają długość dwanaście. Wysokość opuszczoną z wierzchołka S na podstawę AC podpisano $h_1$.

$h_1=\sqrt{104}=2\sqrt{26}$

$P=\frac{1}{2}·4\sqrt{10}·2\sqrt{26}=8\sqrt{65}$

Ściana $ACS$ jest przystająca do ściany $BCS$, więc ma takie samo pole powierzchni.

II. Analogicznie wysokość ściany $ABS$ wynosi:

RQ7OtszK7Qrbk

Ilustracja przedstawia trójkąt o wierzchołkach A B S. Podstawa AB ma długość 8, ramiona mają długość dwanaście. Wysokość opuszczoną z wierzchołka S na podstawę AB podpisano $h_2$.

$h_2=\sqrt{128}=8\sqrt{2}$

$P=\frac{1}{2}·8·8\sqrt{2}=32\sqrt{2}$

Możemy policzyć już pole powierzchni bocznej:

$P_b=2\cdot 8\sqrt{65}+32\sqrt{2}=16\sqrt{65}+32\sqrt{2}{\mathrm{c}\mathrm{m}}^2$

oraz pole powierzchni całkowitej:

$P_c=48+16\sqrt{65}+32\sqrt{2} \left[{\mathrm{cm}}^2\right]$.