Animacja 3D

Polecenie 1

Zapoznajmy sie z treścią animacji 3D. Zwróćmy uwagę na różne rodzaje ostrosłupów; szczególnie na ostrosłup, który nie jest prawidłowy, co nieco utrudnia sposób obliczania pola jego powierzchni.

R16bwqssOfU6s

Film dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/a/D120Jhy21

Film nawiązujący do treści materiału dotyczący pola powierzchni ostrosłupów.

Polecenie 2

Podstawą ostrosłupa jest trójkąt prostokątny, którego przeciwprostokątna ma długość $13$ , a tangens mniejszego z kątów ostrych ma wartość $\frac{5}{12}$ . Każda z krawędzi bocznych jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem $60 °$ . Obliczmy pole powierzchni całkowitej tego ostrosłupa.

Obliczmy przyprostokątne trójkąta prostokątnego.

RxfXrGvHezXZT

Ilustracja przedstawia trójkąt prostokątny A B C, w którym przeciwprostokątna BC ma długość trzynaście. Kąt BAC jest kątem prostym, a kąt ACB jest podpisany literą alfa.

Skoro $tg α = \frac{5}{12}$ ,

więc $|A B| = 5 x$ , $|A C| = 12 x$

Z twierdzenia Pitagorasa mamy:

${(12 x)}^{2} + {(5 x)}^{2} = 13^{2}$

Zatem $x = 1$ ,

co oznacza, że $|A B| = 5$ , $|A C| = 12$ .

Wykonajmy rysunek naszego ostrosłupa.

R148su3HiibD6

Ilustracja przedstawia ostrosłup, którego podstawą jest trójkąt prostokątny B C. Przyprostokątna AB ma długość 5, natomiast przyprostokątna BC ma długość dwanaście. W podstawie zaznaczono jej wysokość opuszczoną z wierzchołka A na bok BC, spodek tej wysokości podpisano literą O. Wierzchołek górny ostrosłupa podpisano literą S. Z tego wierzchołka w ścianie BCS poprowadzono odcinek SO, który jest pod kątem prostym do krawędzi podstawy BC. W trójkącie BCS kąt CBS i BCS ma 60 stopni. Krawędzie boczne ostrosłupa mają długość trzynaście.

$△ A O S \equiv △ B O S \equiv △ C O S$ (cecha $k b k$ )

$|O C| = |O B| = |O A| = R = 6, 5$

$△ B C S$ jest równoboczny. Zatem

$P_{△ B C S} = \frac{13^{2} \sqrt{3}}{4} = \frac{169 \sqrt{3}}{4}$

Podstawa jest trójkątem prostokątnym, więc:

$P_{p} = \frac{5 \cdot 12}{2} = 30$

Obliczmy pole trójkąta $A C S$ . Możemy wykorzystać wzór Herona.

$p = \frac{13 + 13 + 12}{2} = 19$

$P_{△ A C S} = \sqrt{19 \cdot {(19 - 13)}^{2} (19 - 12)} = \sqrt{19 \cdot 36 \cdot 7} = 6 \sqrt{133}$

Obliczmy pole trójkąta $B A S$ .

$p = \frac{13 + 13 + 5}{2} = \frac{31}{2} = 15, 5$

$P_{△ B A S} = \sqrt{15, 5 \cdot {(15, 5 - 13)}^{2} (15, 5 - 5)} = \sqrt{15, 5 \cdot 6, 25 \cdot 10, 5} = \frac{5 \sqrt{651}}{4}$

Pole całkowite wynosi:

$P_{_{C}} = 30 + \frac{169 \sqrt{3}}{4} + 6 \sqrt{133} + \frac{5 \sqrt{651}}{4}$ .

Przeczytaj

Sprawdź się