Sprawdź się

Pokaż ćwiczenia:

Ćwiczenie 1

Na poniższym rysunku przedstawiono okrąg i prostą.

RG5Dfs9mMCjxi

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus pięciu do pięciu oraz z pionową osią Y od minus trzech do pięciu. Na płaszczyźnie narysowano okrąg o środku w punkcie nawias 2 przecinek 1 zamknięcie nawiasu i o promieniu r równym trzy. Prosta określona jest wzorem y równa się minus x.

R3OROk0vlbuc5

RO41zrNkTWCgw

R5YV0Dr8XoDfJ1

Ćwiczenie 2

R19MKLDuca9p02

Ćwiczenie 3

RFwHnvtp0NLPX2

Ćwiczenie 4

Pogrupuj elementy, zgodnie z podanym opisem. Równanie prostej oraz równanie okręgu, które nie mają punktów wspólnych: Możliwe odpowiedzi: 1. y, równa się, minus, x, minus, dwa oraz nawias, x, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, nawias, y, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, równa się, jeden, 2. y, równa się, dwa x, plus, cztery oraz x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, nawias, y, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, równa się, cztery, 3. y, równa się, minus, x oraz x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, nawias, y, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, równa się, dziewięć, 4. y, równa się, x, plus, trzy oraz nawias, x, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, nawias, y, minus, dwa, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, równa się, cztery, 5. y, równa się, x, plus, trzy oraz nawias, x, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, nawias, y, plus, dwa, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, równa się, cztery, 6. y, równa się, trzy x, minus, jeden oraz x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, nawias, y, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, równa się, cztery Równanie prostej oraz równanie okręgu, które mają dwa punkty wspólne: Możliwe odpowiedzi: 1. y, równa się, minus, x, minus, dwa oraz nawias, x, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, nawias, y, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, równa się, jeden, 2. y, równa się, dwa x, plus, cztery oraz x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, nawias, y, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, równa się, cztery, 3. y, równa się, minus, x oraz x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, nawias, y, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, równa się, dziewięć, 4. y, równa się, x, plus, trzy oraz nawias, x, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, nawias, y, minus, dwa, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, równa się, cztery, 5. y, równa się, x, plus, trzy oraz nawias, x, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, nawias, y, plus, dwa, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, równa się, cztery, 6. y, równa się, trzy x, minus, jeden oraz x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, nawias, y, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, równa się, cztery

R1P8XIQno3FZR2

Ćwiczenie 5

R1ID4kwMXXQTo2

Ćwiczenie 6

R10XTIq3hIRfo3

Ćwiczenie 7

Ćwiczenie 8

Określ liczbę punktów wspólnych prostej o równaniu $y = x + m$ , gdzie $m \in ℝ$ , z okręgiem o równaniu $x^{2} + y^{2} = 4$ , w zależności od parametru $m$ .

W celu ustalenia liczby punktów wspólnych prostej i okręgu, rozwiążemy układ równań:

$\{\begin{cases} x^{2} + y^{2} = 4 \\ y = x + m \end{cases}$

Jeżeli drugie równanie podstawimy do pierwszego równania, to otrzymamy równanie z jedną niewiadomą:

$x^{2} + {(x + m)}^{2} = 4$ .

Otrzymaliśmy równanie kwadratowe, które jest równoważne równaniu $2 x^{2} + 2 m x + m^{2} - 4 = 0$ .

Liczba rozwiązań tego równania zależy od wartości wyróżnika.

Zatem:

$∆ = {(2 m)}^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (m^{2} - 4) = 4 m^{2} - 8 m^{2} + 32 = - 4 m^{2} + 32$ .

Jeżeli $∆ > 0$ , to równanie ma dwa rozwiązania:

$- 4 m^{2} + 32 > 0$ , czyli dla $m \in (- 2 \sqrt{2}, 2 \sqrt{2})$ prosta i okrąg przecinają się w dwóch punktach.

Jeżeli $∆ = 0$ , to równanie ma jedno rozwiązanie:

$- 4 m^{2} + 32 = 0$ , zatem dla $m = - 2 \sqrt{2}$ lub $m = 2 \sqrt{2}$ prosta i okrag mają dokładnie jeden punkt wspólny.

Jeżeli $∆ < 0$ , to równanie nie ma rozwiązań:

$- 4 m^{2} + 32 < 0$ , zatem dla $m \in (- \infty, - 2 \sqrt{2}) \cup (2 \sqrt{2}, \infty)$ prosta i okrąg nie mają punktów wspólnych.

Aplet

Dla nauczyciela