W celu ustalenia liczby punktów wspólnych prostej i okręgu, rozwiążemy układ równań:
Jeżeli drugie równanie podstawimy do pierwszego równania, to otrzymamy równanie z jedną niewiadomą:
.
Otrzymaliśmy równanie kwadratowe, które jest równoważne równaniu .
Liczba rozwiązań tego równania zależy od wartości wyróżnika.
Zatem:
.
Jeżeli , to równanie ma dwa rozwiązania:
, czyli dla prosta i okrąg przecinają się w dwóch punktach.
Jeżeli , to równanie ma jedno rozwiązanie:
, zatem dla lub prosta i okrag mają dokładnie jeden punkt wspólny.
Jeżeli , to równanie nie ma rozwiązań:
, zatem dla prosta i okrąg nie mają punktów wspólnych.