Sprawdź się

Pokaż ćwiczenia:

Ćwiczenie 1

Na poniższym rysunku przedstawiono okrąg i prostą.

RG5Dfs9mMCjxi

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus pięciu do pięciu oraz z pionową osią Y od minus trzech do pięciu. Na płaszczyźnie narysowano okrąg o środku w punkcie nawias 2 przecinek 1 zamknięcie nawiasu i o promieniu r równym trzy. Prosta określona jest wzorem y równa się minus x.

R3OROk0vlbuc5

RO41zrNkTWCgw

R5YV0Dr8XoDfJ1

Ćwiczenie 2

R19MKLDuca9p02

Ćwiczenie 3

Dany jest okrąg o równaniu

{(x + 4)}^{2} + {(y + 1)}^{2} = 9

oraz prosta o równaniu

x = a

, gdzie

a \in ℝ

. Połącz równanie prostej z liczbą punktów wspólnych tej prostej z danym okręgiem.

x = - 1

Możliwe odpowiedzi: 1.

2

punkty wspólne, 2.

0

punktów wspólnych, 3.

1

punkt wspólny

x = - 5

Możliwe odpowiedzi: 1.

2

punkty wspólne, 2.

0

punktów wspólnych, 3.

1

punkt wspólny

x = - 8

Możliwe odpowiedzi: 1.

2

punkty wspólne, 2.

0

punktów wspólnych, 3.

1

punkt wspólny

RFwHnvtp0NLPX2

Ćwiczenie 4

Pogrupuj elementy, zgodnie z podanym opisem. Równanie prostej oraz równanie okręgu, które nie mają punktów wspólnych: Możliwe odpowiedzi: 1.

y = - x - 2

oraz

{(x - 1)}^{2} + {(y + 1)}^{2} = 1

, 2.

y = 2 x + 4

oraz

x^{2} + {(y + 1)}^{2} = 4

, 3.

y = - x

oraz

x^{2} + {(y - 1)}^{2} = 9

, 4.

y = x + 3

oraz

{(x + 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 4

, 5.

y = x + 3

oraz

{(x - 1)}^{2} + {(y + 2)}^{2} = 4

, 6.

y = 3 x - 1

oraz

x^{2} + {(y + 1)}^{2} = 4

Równanie prostej oraz równanie okręgu, które mają dwa punkty wspólne: Możliwe odpowiedzi: 1.

y = - x - 2

oraz

{(x - 1)}^{2} + {(y + 1)}^{2} = 1

, 2.

y = 2 x + 4

oraz

x^{2} + {(y + 1)}^{2} = 4

, 3.

y = - x

oraz

x^{2} + {(y - 1)}^{2} = 9

, 4.

y = x + 3

oraz

{(x + 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 4

, 5.

y = x + 3

oraz

{(x - 1)}^{2} + {(y + 2)}^{2} = 4

, 6.

y = 3 x - 1

oraz

x^{2} + {(y + 1)}^{2} = 4

R1P8XIQno3FZR2

Ćwiczenie 5

Ile punktów wspólnych mają okrąg i wykres funkcji o zadanych parametrach? Uzupełnij luki odpowiednimi liczbami.

Okrąg ma równanie ${(x + 3)}^{2} + y^{2} = 1$ .
Prosta określona jest równaniem $y = x + 3$ .
Liczba punktów wspólnych: 1. $1$ , 2. $0$ , 3. $2$ , 4. $3$ .

Okrąg ma równanie $x^{2} + y^{2} = 4$ .
Prosta określona jest wzorem $y = x + 4$ .
Liczba punktów wspólnych: 1. $1$ , 2. $0$ , 3. $2$ , 4. $3$ .

Okrąg ma równanie ${(x - 1)}^{2} + y^{2} = 9$ .
Prosta określona jest równaniem $y = - 3$ .
Liczba punktów wspólnych: 1. $1$ , 2. $0$ , 3. $2$ , 4. $3$ .

R1ID4kwMXXQTo2

Ćwiczenie 6

R10XTIq3hIRfo3

Ćwiczenie 7

Ćwiczenie 8

Określ liczbę punktów wspólnych prostej o równaniu $y = x + m$ , gdzie $m \in ℝ$ , z okręgiem o równaniu $x^{2} + y^{2} = 4$ , w zależności od parametru $m$ .

W celu ustalenia liczby punktów wspólnych prostej i okręgu, rozwiążemy układ równań:

$\{\begin{cases} x^{2} + y^{2} = 4 \\ y = x + m \end{cases}$

Jeżeli drugie równanie podstawimy do pierwszego równania, to otrzymamy równanie z jedną niewiadomą:

$x^{2} + {(x + m)}^{2} = 4$ .

Otrzymaliśmy równanie kwadratowe, które jest równoważne równaniu $2 x^{2} + 2 m x + m^{2} - 4 = 0$ .

Liczba rozwiązań tego równania zależy od wartości wyróżnika.

Zatem:

$∆ = {(2 m)}^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (m^{2} - 4) = 4 m^{2} - 8 m^{2} + 32 = - 4 m^{2} + 32$ .

Jeżeli $∆ > 0$ , to równanie ma dwa rozwiązania:

$- 4 m^{2} + 32 > 0$ , czyli dla $m \in (- 2 \sqrt{2}, 2 \sqrt{2})$ prosta i okrąg przecinają się w dwóch punktach.

Jeżeli $∆ = 0$ , to równanie ma jedno rozwiązanie:

$- 4 m^{2} + 32 = 0$ , zatem dla $m = - 2 \sqrt{2}$ lub $m = 2 \sqrt{2}$ prosta i okrag mają dokładnie jeden punkt wspólny.

Jeżeli $∆ < 0$ , to równanie nie ma rozwiązań:

$- 4 m^{2} + 32 < 0$ , zatem dla $m \in (- \infty, - 2 \sqrt{2}) \cup (2 \sqrt{2}, \infty)$ prosta i okrąg nie mają punktów wspólnych.

Aplet

Dla nauczyciela