Wróć do informacji o e-podręczniku Wydrukuj Pobierz materiał do PDF Pobierz materiał do EPUB Pobierz materiał do MOBI Zaloguj się, aby dodać do ulubionych Zaloguj się, aby skopiować i edytować materiał Zaloguj się, aby udostępnić materiał Zaloguj się, aby dodać całą stronę do teczki
1
Pokaż ćwiczenia:
R1K5eLcTRFW7c1
Ćwiczenie 1
Łączenie par. Oceń poprawność poniższych zdań. Zaznacz Prawda lub Fałsz.. a. Możliwe odpowiedzi: Prawda, Fałsz
RvRMlcs9AcEBa11
Ćwiczenie 2
Wybierz jedno nowe słowo poznane podczas dzisiejszej lekcji i ułóż z nim zdanie.
R10ZxoWQhMSkG2
Ćwiczenie 3
Wykaż, że dla liczb rzeczywistych x, y nie mniejszych od 2 zachodzi nierówność xy+42x+2y.
Uporządkuj poniższe wypowiedzi, aby otrzymać rozwiązanie powyższego zadania. Elementy do uszeregowania: 1. xy+4-2x-2y=xy-2x-2y+4 , 2. Ponieważ powyższa nierówność równoważna jest tezie, dowód uznajemy za zakończony., 3. Zauważmy, że skoro liczby xy są nie mniejsze niż 2, więc liczby x-2y-2 są nieujemne., 4. Poniewaz iloczyn liczb nieujmenych jest nieujemny, więc y-2x-20., 5. Rozważymy zatem wyrażenie xy+4-2x-2y, które przekształca się kolejno do:, 6. Korzystając z rozdzielności mnożenia względem dodawania i odejmowania otrzymujemy xy-2-2·y-2., 7. Z przechodniości relacji równości wynika, że xy+4-2x-2y0., 8. Zauważmy najpierw, że teza jest równoważna nierówności xy+4-2x-2y0., 9. Ponownie korzystając z rozdzielności mnożenia względem odejmowania otrzymujemy y-2x-2.
2
Ćwiczenie 4

Udowodnij, że dla dowolnej liczby całkowitej k prawdziwa jest nierówność 9k2-9k+1>0.

R1ckvlyYQ6Uci21
Ćwiczenie 5
Poniżej znajduje się dowód twierdzenia. Wykaż, że dla dowolnych liczb rzeczywistych x, y zachodzi nierówność 2x+y28xy. Do każdego faktu wybierz odpowiedni argument. Fakt pierwszy: Teza jest równoważna nierówności 2x+y2-8xy0. Możliwe odpowiedzi: 1. Z rozdzielności mnożenia względem dodawania., 2. Z definicji potęgowania., 3. Z własności relacji wynika, że od obu stron nierówności można odjąć tę samą liczbę., 4. Z własności relacji wynika, że do obu stron nierówności można dodać tę samą liczbę., 5. Z definicji potęgowania., 6. Z przechodniości relacji równości., 7. Z rozdzielności mnożenia względem odejmowania., 8. Z łączności i przemienności dodawania., 9. Z faktu: potęga o wykładniku parzystym jest nieujemna., 10. Z rozdzielności mnożenia względem odejmowania. Fakt drugi: 2x+y2x+y-8xy=. Możliwe odpowiedzi: 1. Z rozdzielności mnożenia względem dodawania., 2. Z definicji potęgowania., 3. Z własności relacji wynika, że od obu stron nierówności można odjąć tę samą liczbę., 4. Z własności relacji wynika, że do obu stron nierówności można dodać tę samą liczbę., 5. Z definicji potęgowania., 6. Z przechodniości relacji równości., 7. Z rozdzielności mnożenia względem odejmowania., 8. Z łączności i przemienności dodawania., 9. Z faktu: potęga o wykładniku parzystym jest nieujemna., 10. Z rozdzielności mnożenia względem odejmowania. Fakt trzeci: =4x2+2xy+2xy+y2-8xy=. Możliwe odpowiedzi: 1. Z rozdzielności mnożenia względem dodawania., 2. Z definicji potęgowania., 3. Z własności relacji wynika, że od obu stron nierówności można odjąć tę samą liczbę., 4. Z własności relacji wynika, że do obu stron nierówności można dodać tę samą liczbę., 5. Z definicji potęgowania., 6. Z przechodniości relacji równości., 7. Z rozdzielności mnożenia względem odejmowania., 8. Z łączności i przemienności dodawania., 9. Z faktu: potęga o wykładniku parzystym jest nieujemna., 10. Z rozdzielności mnożenia względem odejmowania. Fakt czwarty: =4x2-2xy-2xy+y2=. Możliwe odpowiedzi: 1. Z rozdzielności mnożenia względem dodawania., 2. Z definicji potęgowania., 3. Z własności relacji wynika, że od obu stron nierówności można odjąć tę samą liczbę., 4. Z własności relacji wynika, że do obu stron nierówności można dodać tę samą liczbę., 5. Z definicji potęgowania., 6. Z przechodniości relacji równości., 7. Z rozdzielności mnożenia względem odejmowania., 8. Z łączności i przemienności dodawania., 9. Z faktu: potęga o wykładniku parzystym jest nieujemna., 10. Z rozdzielności mnożenia względem odejmowania. Fakt piąty: =2x2x-y-y2x-y=. Możliwe odpowiedzi: 1. Z rozdzielności mnożenia względem dodawania., 2. Z definicji potęgowania., 3. Z własności relacji wynika, że od obu stron nierówności można odjąć tę samą liczbę., 4. Z własności relacji wynika, że do obu stron nierówności można dodać tę samą liczbę., 5. Z definicji potęgowania., 6. Z przechodniości relacji równości., 7. Z rozdzielności mnożenia względem odejmowania., 8. Z łączności i przemienności dodawania., 9. Z faktu: potęga o wykładniku parzystym jest nieujemna., 10. Z rozdzielności mnożenia względem odejmowania. Fakt szósty: =2x-y2x-y=. Możliwe odpowiedzi: 1. Z rozdzielności mnożenia względem dodawania., 2. Z definicji potęgowania., 3. Z własności relacji wynika, że od obu stron nierówności można odjąć tę samą liczbę., 4. Z własności relacji wynika, że do obu stron nierówności można dodać tę samą liczbę., 5. Z definicji potęgowania., 6. Z przechodniości relacji równości., 7. Z rozdzielności mnożenia względem odejmowania., 8. Z łączności i przemienności dodawania., 9. Z faktu: potęga o wykładniku parzystym jest nieujemna., 10. Z rozdzielności mnożenia względem odejmowania. Fakt siódmy: =2x-y2. Możliwe odpowiedzi: 1. Z rozdzielności mnożenia względem dodawania., 2. Z definicji potęgowania., 3. Z własności relacji wynika, że od obu stron nierówności można odjąć tę samą liczbę., 4. Z własności relacji wynika, że do obu stron nierówności można dodać tę samą liczbę., 5. Z definicji potęgowania., 6. Z przechodniości relacji równości., 7. Z rozdzielności mnożenia względem odejmowania., 8. Z łączności i przemienności dodawania., 9. Z faktu: potęga o wykładniku parzystym jest nieujemna., 10. Z rozdzielności mnożenia względem odejmowania. Fakt ósmy: 2x-y20. Możliwe odpowiedzi: 1. Z rozdzielności mnożenia względem dodawania., 2. Z definicji potęgowania., 3. Z własności relacji wynika, że od obu stron nierówności można odjąć tę samą liczbę., 4. Z własności relacji wynika, że do obu stron nierówności można dodać tę samą liczbę., 5. Z definicji potęgowania., 6. Z przechodniości relacji równości., 7. Z rozdzielności mnożenia względem odejmowania., 8. Z łączności i przemienności dodawania., 9. Z faktu: potęga o wykładniku parzystym jest nieujemna., 10. Z rozdzielności mnożenia względem odejmowania. Fakt dziewiąty: 2x+y2-8xy0. Możliwe odpowiedzi: 1. Z rozdzielności mnożenia względem dodawania., 2. Z definicji potęgowania., 3. Z własności relacji wynika, że od obu stron nierówności można odjąć tę samą liczbę., 4. Z własności relacji wynika, że do obu stron nierówności można dodać tę samą liczbę., 5. Z definicji potęgowania., 6. Z przechodniości relacji równości., 7. Z rozdzielności mnożenia względem odejmowania., 8. Z łączności i przemienności dodawania., 9. Z faktu: potęga o wykładniku parzystym jest nieujemna., 10. Z rozdzielności mnożenia względem odejmowania. Fakt dziesiąty: 2x+y28xy. Możliwe odpowiedzi: 1. Z rozdzielności mnożenia względem dodawania., 2. Z definicji potęgowania., 3. Z własności relacji wynika, że od obu stron nierówności można odjąć tę samą liczbę., 4. Z własności relacji wynika, że do obu stron nierówności można dodać tę samą liczbę., 5. Z definicji potęgowania., 6. Z przechodniości relacji równości., 7. Z rozdzielności mnożenia względem odejmowania., 8. Z łączności i przemienności dodawania., 9. Z faktu: potęga o wykładniku parzystym jest nieujemna., 10. Z rozdzielności mnożenia względem odejmowania.
2
Ćwiczenie 6

Wykaż, że wartość mediany dwóch różnych ułamków dodatnich jest mniejsza od większego z nich.

R1U2M6t3JVJMp3
Ćwiczenie 7
Wykaż, że istnieje dokładnie jedna liczba pierwsza p, dla której p+10 oraz p+14 są liczbami pierwszymi.
Uporządkuj poniższe wypowiedzi, aby otrzymać rozwiązanie powyższego zadania. Elementy do uszeregowania: 1. Z powyższego rozumowania wynika, że jedyną liczbą pierwszą p, dla której p+10p+14 są liczbami pierwszymi jest p=3., 2. Zauważmy najpierw, że liczba p=3 spełnia warunki zadania., 3. Dla p=3k+1 mamy p+14=3k+1+14=3k+15=3·k+5, zatem liczba p+14 dzieli się przez 3, czyli nie jest pierwsza.
Dla p=3k+2 mamy p+10=3k+2+10=3k+12=3·k+4, zatem liczba p+10 dzieli się przez 3, czyli nie jest pierwsza., 4. Rzeczywiście: liczby p+10=13 oraz p+14=17 są pierwsze., 5. W związku z powyższym pozostałe liczby p są postaci: p=3k+1 lub p=3k+2  dla pewnej liczby naturalnej k., 6. Pozostałe liczby pierwsze nie dzielą się przez 3.
3
Ćwiczenie 8

Uzasadnij, że poniższe stwierdzenia nie są prawdziwe. Podaj kontrprzykłady, tzn. liczby, dla których spełnione są założenia, ale teza nie zachodzi.

Stwierdzenie:

a) Jeżeli liczba jest mniejsza niż 5, to jej kwadrat jest mniejszy niż 25.

b) Jeżeli liczba jest dodatnia, to jej sześcian jest od niej większy.

c) Jeżeli liczba całkowita dzieli się przez 3 i przez 6, to dzieli się przez 18.

d) Kwadrat sumy dwóch liczb jest równy sumie ich kwadratów.

e) Pierwiastek sumy dwóch liczb jest równy sumie ich pierwiastków.

Aplikacje dostępne w
Pobierz aplikację ZPE - Zintegrowana Platforma Edukacyjna na androida