Udowodnij, że dla dowolnej liczby całkowitej k prawdziwa jest nierówność 9k2-9k+1>0.
Zauważmy, że 9k2-9k+1=9kk-1+1. Liczby k i k-1 są całkowite i różnią się o 1, zatem:
obie mogą być dodatnie; wówczas ich iloczyn jest dodatni, więc liczba 9kk-1+1 również jest dodatnia;
obie mogą być ujemne; wówczas ich iloczyn jest dodatni, więc liczba 9kk-1+1 również jest dodatnia;
jedna może być równa zeru; wówczas 9kk-1+1=9⋅0+1=1, więc liczba 9kk-1+1 jest dodatnia.
W każdym z rozważanych przypadków otrzymaliśmy wniosek, że 9k2-9k+1>0, co kończy dowód.
Uwaga! Ponieważ liczby k i k-1 są całkowite i różnią się o 1, nie jest możliwe, aby jedna z nich była dodatnia, zaś druga ujemna.
Wykaż, że wartość mediany dwóch różnych ułamków dodatnich jest mniejsza od większego z nich.
Założenie: ab<cd; a, b, c, d są liczbami naturalnymi dodatnimi
Teza: a+cb+d<cd
Dowód:
Korzystając z własności relacji mniejszości przekształcimy założenie.
Zauważmy, że nierówność ab<cd jest równoważna z nierównością ab-cd<0, którą z kolei można przekształcić sprowadzając ułamki do wspólnego mianownika adbd-cbdb<0.
Zatem założenie przekształca się do postaci ad-cbbd<0.
Ponieważ z założenia liczba bd jest dodatnia, więc liczba ad-bc jest ujemna.
Rozważmy nierówność a+cb+d<cd.
Z własności relacji mniejszości jest ona równoważna nierówności a+cb+d-cd<0.
Zbadajmy zatem wyrażenie a+cb+d-cd:
a+cb+d-cd=da+cdb+d-b+dcb+dd=ad+cd-bc-dcdb+d=ad-bcdb+d
Wiemy już, że licznik powyższego ułamka jest liczbą ujemną.
Ponadto łatwo zauważyć, że mianownik jest liczbą dodatnią.
Ponieważ iloraz liczby ujemnej przez dodatnią jest ujemny, więc ad-bcdb+d<0.
Z przechodniości relacji równości mamy a+cb+d-cd<0, czyli a+cb+d<cd.
Uzasadnij, że poniższe stwierdzenia nie są prawdziwe. Podaj kontrprzykłady, tzn. liczby, dla których spełnione są założenia, ale teza nie zachodzi.
Stwierdzenie:
a) Jeżeli liczba jest mniejsza niż 5, to jej kwadrat jest mniejszy niż 25.
b) Jeżeli liczba jest dodatnia, to jej sześcian jest od niej większy.
c) Jeżeli liczba całkowita dzieli się przez 3 i przez 6, to dzieli się przez 18.
d) Kwadrat sumy dwóch liczb jest równy sumie ich kwadratów.
e) Pierwiastek sumy dwóch liczb jest równy sumie ich pierwiastków.
Kontrprzykład:
a) Liczba -10 jest mniejsza niż 5, zatem spełnia założenie, ale jej kwadrat, czyli 100, nie jest mniejszy niż 25.
b) Liczba 12 jest dodatnia, zatem spełnia założenie, ale jej sześcian, czyli 127 nie jest większy niż 12.
c) Liczba 12 dzieli się przez 3 i przez 6, zatem spełnia założenia, ale nie dzieli się przez 18.
d) Rozważmy liczby 1 i 2. Kwadrat ich sumy to 1+22=32=9, zaś suma ich kwadratów to 12+22=1+4=5.
e) Rozważmy liczby 9 i 16. Pierwiastek ich sumy to 9+16=25=5, zaś suma ich pierwiastków to 9+16=3+4=7.