Sprawdź się

Pokaż ćwiczenia:

Ćwiczenie 1

Stosunek długości przekątnych rombu jest równy $p : q$ , a pole rombu jest równe $p \cdot q$ . Oblicz długość boku rombu.

Przyjmijmy oznaczenia, jak na rysunku: dłuższa przekątna ma długość $2 p x$ , a krótsza $2 q x$ .

R1JAMCljazLPJ

Ilustracja przedstawia romb o boku długości a. Dłuższa przekątna ma długość 2px, a krótsza 2qx.

Wtedy pole $P$ rombu można zapisać jako: $P = 4 \cdot (\frac{1}{2} \cdot (p x) \cdot (q x)) = 2 p q x^{2}$ . Ale z treści zadania wynika, że $P = p q$ , stąd $2 p q x^{2} = p q$ , czyli $x^{2} = \frac{1}{2}$ .

Zauważmy, że długość boku $a$ rombu można wyznaczyć korzystając z twierdzenia Pitagorasa: $a^{2} = {(p x)}^{2} + {(q x)}^{2} = x^{2} (p^{2} + q^{2}) = \frac{p^{2} + q^{2}}{2}$ . Stąd $a = \sqrt{\frac{p^{2} + q^{2}}{2}}$ .

Ćwiczenie 2

Dany jest trapez prostokątny $A B C D$ , w którym dłuższa podstawa $A B$ ma długość
$6$ , a krótsza ma długość $3$ . Na ramieniu $A D$ o długości $12$ , prostopadłym do podstawy, wybrano taki punkt $E$ , że suma jego odległości od końców drugiego ramienia trapezu jest najmniejsza. Wyznacz $|B E| + |C E|$ .

Oznaczmy przez $C'$ obraz punktu $C$ w symetrii względem prostej $A D$ i poprowadźmy odcinek $B C'$ , jak na rysunku.

R50rLgIsAWRZS

Ilustracja przedstawia trapez prostokątny ABCD. Na ramieniu AD wybrano punkt E. Zaznaczono punkt C prim jako obraz punktu C w symetrii względem prostej CD i poprowadzono odcinki D C prim oraz B C prim. Prostopadle do punktu C prim i równolegle do odcinka AB utworzono punkt G. Połączono punkty tworząc większy trapez prostokątny GBC C prim.

Punkt $E$ będzie punktem wspólnym ramienia $A D$ i odcinka $B C'$ . Trójkąty prostokątne $C D E$ i $C' D E$ są przystające, stąd $|C E| = |C' E|$ . Zatem $|B E| + |C E| = |B E| + |C' E|$ . Zauważmy, że dla dowolnego innego punktu $F$ leżącego na ramieniu $A D$ mamy $|B F| + |C' F| > |B E| + |C' E|$ , czyli punkt $E$ jest szukanym punktem, dla którego suma odległości od końców drugiego ramienia jest najmniejsza.

Oznaczmy przez $G$ punkt leżący na prostej $A B$ , taki, że odcinek $G C'$ jest do tej prostej prostopadły. Wtedy $|G C'| = |A D|$ . Ale ${|B C'|}^{2} = {|B G|}^{2} + {|G C'|}^{2} = {(6 + 3)}^{2} + 12^{2} = 225$ . Stąd $|B C'| = |B E| + |C E| = 15$ .

RQUy1t7NRXB8m1

Ćwiczenie 3

Ćwiczenie 4

Dwa kwadraty o boku długości $6$ , których odpowiednie osie symetrii pokrywają się, jak na rysunku, tworzą szesnastokąt.

REe6rpaR1D8US

Ilustracja przedstawia szesnastokąt w kształcie gwiazdy przecięty czterema osiami symetrii.

Wyznacz pole tego szesnastokąta.

Zauważmy, że trójkąty wyróżnione na poniższym rysunku są przystające.

RqWs5d6rmLdJC

Ilustracja przedstawia szesnastokąt w kształcie gwiazdy. W jego środku znajduje się ośmiokąt, na każdym boku ośmiokąta umieszczony został trójkąt równoramienny.

Każdy z nich jest równoramiennym trójkątem prostokątnym. Jeżeli jego przyprostokątną oznaczymy przez $x$ , to możemy zapisać równość $2 x + x \sqrt{2} = 6$ . Stąd $x = \frac{6}{2 + \sqrt{2}} = 6 - 3 \sqrt{2}$ .

Pozostaje teraz zauważyć, że pole szesnastokąta jest równe polu każdego z kwadratów powiększonego o pola czterech trójkątów prostokątnych, zatem: $P = 6^{2} + 4 \cdot (\frac{1}{2} x^{2}) = 36 + 2 {(6 - 3 \sqrt{2})}^{2} = 72 (2 - \sqrt{2})$ .

RkE2AR7nM4lFd21

Ćwiczenie 5

RaAJWEbz6VXIl2

Ćwiczenie 6

Ćwiczenie 7

Prostokąt $A B C D$ podzielono na sześć przystających kwadratów, których wybrane wierzchołki oznaczono, jako: $P$ , $Q$ , $R$ , $S$ , $T$ jak na rysunku.

R9L4ZnO7RExVM

Ilustracja przedstawia prostokąt ABCD, który podzielono na sześć przystających kwadratów o wierzchołkach TPQR. Z wierzchołka D poprowadzono odcinki DP, DQ, DR pod pewnym kątem.

Z wierzchołka $D$ poprowadzono odcinki $D P$ , $D Q$ , $D R$ . Udowodnij, że suma miar kątów ostrych, jakie te odcinki tworzą z prostą $P Q$ jest równa $90 °$ .

Re8ALyqOb44Lg

Ćwiczenie 8

RTieiVuaJzWRL

R1YVnX0JEybnG

W opisach zawarto wybrane informacje o długości odcinków w trapezie równoramiennym. Dopasuj długość x zaznaczonego odcinka do odpowiedniego opisu. x, równa się, trzynaście Możliwe odpowiedzi: 1. Ilustracja przedstawia trapez równoramienny ABCD. Zaznaczono na nim jego wysokości DE i CF. Górna podstawa CD ma długość 8, odcinek AE ma długość 5, a odcinek BE ma długość x., 2. Ilustracja przedstawia trapez równoramienny ABCD. Zaznaczono na nim jego wysokości DE i CF. Górna podstawa CD ma długość 12, odcinek AE ma miarę x, wysokość DE ma długość 10, a przekątna BD długość dwadzieścia sześć., 3. Ilustracja przedstawia trapez równoramienny ABCD. Zaznaczono na nim jego wysokości DE i CF. Górna podstawa CD ma długość 6, odcinek AB ma długość 20, a odcinek AE ma miarę x., 4. Ilustracja przedstawia trapez równoramienny ABCD. Zaznaczono na nim jego wysokości DE i CF. Górna podstawa CD ma długość x, odcinek AE ma miarę 7, a odcinek AB ma miarę 24 jednostki. x, równa się, siedem Możliwe odpowiedzi: 1. Ilustracja przedstawia trapez równoramienny ABCD. Zaznaczono na nim jego wysokości DE i CF. Górna podstawa CD ma długość 8, odcinek AE ma długość 5, a odcinek BE ma długość x., 2. Ilustracja przedstawia trapez równoramienny ABCD. Zaznaczono na nim jego wysokości DE i CF. Górna podstawa CD ma długość 12, odcinek AE ma miarę x, wysokość DE ma długość 10, a przekątna BD długość dwadzieścia sześć., 3. Ilustracja przedstawia trapez równoramienny ABCD. Zaznaczono na nim jego wysokości DE i CF. Górna podstawa CD ma długość 6, odcinek AB ma długość 20, a odcinek AE ma miarę x., 4. Ilustracja przedstawia trapez równoramienny ABCD. Zaznaczono na nim jego wysokości DE i CF. Górna podstawa CD ma długość x, odcinek AE ma miarę 7, a odcinek AB ma miarę 24 jednostki. x, równa się, dziesięć Możliwe odpowiedzi: 1. Ilustracja przedstawia trapez równoramienny ABCD. Zaznaczono na nim jego wysokości DE i CF. Górna podstawa CD ma długość 8, odcinek AE ma długość 5, a odcinek BE ma długość x., 2. Ilustracja przedstawia trapez równoramienny ABCD. Zaznaczono na nim jego wysokości DE i CF. Górna podstawa CD ma długość 12, odcinek AE ma miarę x, wysokość DE ma długość 10, a przekątna BD długość dwadzieścia sześć., 3. Ilustracja przedstawia trapez równoramienny ABCD. Zaznaczono na nim jego wysokości DE i CF. Górna podstawa CD ma długość 6, odcinek AB ma długość 20, a odcinek AE ma miarę x., 4. Ilustracja przedstawia trapez równoramienny ABCD. Zaznaczono na nim jego wysokości DE i CF. Górna podstawa CD ma długość x, odcinek AE ma miarę 7, a odcinek AB ma miarę 24 jednostki. x, równa się, dwanaście Możliwe odpowiedzi: 1. Ilustracja przedstawia trapez równoramienny ABCD. Zaznaczono na nim jego wysokości DE i CF. Górna podstawa CD ma długość 8, odcinek AE ma długość 5, a odcinek BE ma długość x., 2. Ilustracja przedstawia trapez równoramienny ABCD. Zaznaczono na nim jego wysokości DE i CF. Górna podstawa CD ma długość 12, odcinek AE ma miarę x, wysokość DE ma długość 10, a przekątna BD długość dwadzieścia sześć., 3. Ilustracja przedstawia trapez równoramienny ABCD. Zaznaczono na nim jego wysokości DE i CF. Górna podstawa CD ma długość 6, odcinek AB ma długość 20, a odcinek AE ma miarę x., 4. Ilustracja przedstawia trapez równoramienny ABCD. Zaznaczono na nim jego wysokości DE i CF. Górna podstawa CD ma długość x, odcinek AE ma miarę 7, a odcinek AB ma miarę 24 jednostki.

Animacja

Dla nauczyciela