Punkty , , dzielą dany okrąg w stosunku . Wyznacz miary wypukłych kątów środkowych opartych na łukach , i .
Punkty , , wyznaczają podział okręgu na piętnaście równych łuków – wypukłe kąty środkowe oparte na tych łukach maja miarę . Zatem kąt oparty na łuku ma miarę , kąt oparty na łuku ma miarę , a kąt oparty na łuku ma miarę . Oczywiście, mając miary katów opartych na łukach i , trzeci z kątów można wyznaczyć, jako dopełnienie sumy ich miar do kąta pełnego.
R188V7uXjfj0L1
Ćwiczenie 2
Punkty A, B, C dzielą dany okrąg w określonym stosunku. Wyznacz miary wypukłych kątów środkowych opartych na łukach A B, B C i C A. Dopasuj, łącząc w pary, podział okręgu z miarami odpowiednich kątów. trzy, podzielić na, cztery, podzielić na, pięć Możliwe odpowiedzi: 1. sześćdziesiąt stopni, osiemdziesiąt stopni, sto stopni, sto dwadzieścia stopni, 2. dziewięćdziesiąt stopni, sto dwadzieścia stopni, sto pięćdziesiąt stopni, 3. pięćdziesiąt cztery stopnie, siedemdziesiąt dwa stopnie, sto osiem stopni, sto dwadzieścia sześć stopni, 4. czterdzieści osiem stopni, dziewięćdziesiąt sześć stopni, dwieście szesnaście stopni dwa, podzielić na, cztery, podzielić na, dziewięć Możliwe odpowiedzi: 1. sześćdziesiąt stopni, osiemdziesiąt stopni, sto stopni, sto dwadzieścia stopni, 2. dziewięćdziesiąt stopni, sto dwadzieścia stopni, sto pięćdziesiąt stopni, 3. pięćdziesiąt cztery stopnie, siedemdziesiąt dwa stopnie, sto osiem stopni, sto dwadzieścia sześć stopni, 4. czterdzieści osiem stopni, dziewięćdziesiąt sześć stopni, dwieście szesnaście stopni trzy, podzielić na, cztery, podzielić na, pięć, podzielić na, sześć Możliwe odpowiedzi: 1. sześćdziesiąt stopni, osiemdziesiąt stopni, sto stopni, sto dwadzieścia stopni, 2. dziewięćdziesiąt stopni, sto dwadzieścia stopni, sto pięćdziesiąt stopni, 3. pięćdziesiąt cztery stopnie, siedemdziesiąt dwa stopnie, sto osiem stopni, sto dwadzieścia sześć stopni, 4. czterdzieści osiem stopni, dziewięćdziesiąt sześć stopni, dwieście szesnaście stopni trzy, podzielić na, cztery, podzielić na, sześć, podzielić na, siedem Możliwe odpowiedzi: 1. sześćdziesiąt stopni, osiemdziesiąt stopni, sto stopni, sto dwadzieścia stopni, 2. dziewięćdziesiąt stopni, sto dwadzieścia stopni, sto pięćdziesiąt stopni, 3. pięćdziesiąt cztery stopnie, siedemdziesiąt dwa stopnie, sto osiem stopni, sto dwadzieścia sześć stopni, 4. czterdzieści osiem stopni, dziewięćdziesiąt sześć stopni, dwieście szesnaście stopni
Punkty A, B, C dzielą dany okrąg w określonym stosunku. Wyznacz miary wypukłych kątów środkowych opartych na łukach A B, B C i C A. Dopasuj, łącząc w pary, podział okręgu z miarami odpowiednich kątów. trzy, podzielić na, cztery, podzielić na, pięć Możliwe odpowiedzi: 1. sześćdziesiąt stopni, osiemdziesiąt stopni, sto stopni, sto dwadzieścia stopni, 2. dziewięćdziesiąt stopni, sto dwadzieścia stopni, sto pięćdziesiąt stopni, 3. pięćdziesiąt cztery stopnie, siedemdziesiąt dwa stopnie, sto osiem stopni, sto dwadzieścia sześć stopni, 4. czterdzieści osiem stopni, dziewięćdziesiąt sześć stopni, dwieście szesnaście stopni dwa, podzielić na, cztery, podzielić na, dziewięć Możliwe odpowiedzi: 1. sześćdziesiąt stopni, osiemdziesiąt stopni, sto stopni, sto dwadzieścia stopni, 2. dziewięćdziesiąt stopni, sto dwadzieścia stopni, sto pięćdziesiąt stopni, 3. pięćdziesiąt cztery stopnie, siedemdziesiąt dwa stopnie, sto osiem stopni, sto dwadzieścia sześć stopni, 4. czterdzieści osiem stopni, dziewięćdziesiąt sześć stopni, dwieście szesnaście stopni trzy, podzielić na, cztery, podzielić na, pięć, podzielić na, sześć Możliwe odpowiedzi: 1. sześćdziesiąt stopni, osiemdziesiąt stopni, sto stopni, sto dwadzieścia stopni, 2. dziewięćdziesiąt stopni, sto dwadzieścia stopni, sto pięćdziesiąt stopni, 3. pięćdziesiąt cztery stopnie, siedemdziesiąt dwa stopnie, sto osiem stopni, sto dwadzieścia sześć stopni, 4. czterdzieści osiem stopni, dziewięćdziesiąt sześć stopni, dwieście szesnaście stopni trzy, podzielić na, cztery, podzielić na, sześć, podzielić na, siedem Możliwe odpowiedzi: 1. sześćdziesiąt stopni, osiemdziesiąt stopni, sto stopni, sto dwadzieścia stopni, 2. dziewięćdziesiąt stopni, sto dwadzieścia stopni, sto pięćdziesiąt stopni, 3. pięćdziesiąt cztery stopnie, siedemdziesiąt dwa stopnie, sto osiem stopni, sto dwadzieścia sześć stopni, 4. czterdzieści osiem stopni, dziewięćdziesiąt sześć stopni, dwieście szesnaście stopni
2
Ćwiczenie 3
Dany jest okrąg o środku . Cięciwa tego okręgu tworzy z jego promieniem kąt o mierze . Wyznacz miary obu kątów środkowych rozpiętych na tej cięciwie.
Trójkąt jest równoramienny, zatem miara jego kąta przy wierzchołku jest równa: . Ale ten kąt jest wypukłym kątem środkowym rozpiętym na danej cięciwie. Środkowy kąt wklęsły ma zatem miarę: .
2
Ćwiczenie 4
R1YZ3puL585SL
Dwa kąty środkowe danego okręgu oparte na łuku A B mają miary różniące się o siedemdziesiąt stopni. Miara wypukłego kąta środkowego opartego na łuku A B jest równa Możliwe odpowiedzi: 1. sto czterdzieści stopni, 2. sto czterdzieści pięć stopni, 3. sto pięćdziesiąt stopni, 4. sto pięćdziesiąt pięć stopni
Jeśli , oznaczają miary kątów środkowych opartych na łuku , to wówczas oraz .
2
Ćwiczenie 5
R1RN0V85C03Ss
Dany jest okrąg o środku O i promieniu r. Cięciwa A B tego okręgu ma długość równą promieniowi. Kąt środkowy rozpięty na tej cięciwie ma miarę Możliwe odpowiedzi: 1. trzydzieści stopni, 2. czterdzieści pięć stopni, 3. sześćdziesiąt stopni, 4. dziewięćdziesiąt stopni
Zauważ, że trójkąt jest równoboczny.
2
Ćwiczenie 6
Korzystając z danych przedstawionych na rysunku, wyznacz stosunek długości łuków, na które cięciwa podzieliła dany okrąg.
Rxb4QfajWhe6V
Rysunek przedstawia okrąg o środku w punkcie . Dwa promienie tego okręgu, to jest oraz , wyznaczają kąt wklęsły o mierze . Na rysunku zaznaczono również cięciwę i w ten sposób powstał trójkąt , który przy wierzchołku ma kąt wewnętrzny o mierze .
Zauważmy, że . Ale . Stąd , zatem . Stąd kąty środkowe mają miary: oraz . Zatem podział okręgu nastąpił w stosunku .
3
Ćwiczenie 7
Dany jest okrąg o środku i promieniu . Oblicz długość cięciwy tego okręgu, na której rozpięto kąt środkowy o mierze .
Zauważmy, że trójkąt jest trójkątem równoramiennym. Jego wysokość , poprowadzona z wierzchołka , dzieli cięciwę na połowę. Wtedy . Stąd .
R13hhToF8ija83
Ćwiczenie 8
Dany jest okrąg o środku O i promieniu r. Wykaż, że dla dowolnej cięciwy A B tego okręgu, różnej od średnicy, istnieje cięciwa C D, równoległe do, A B taka, że kąty środkowe oparte odpowiednio na łukach A C i B D są proste. Ułóż w kolejności etapy dowodu. Elementy do uszeregowania: 1. Zauważmy, że cięciwa, która nie jest średnicą, dzieli okrąg na dwa łuki o różnej długości., 2. Wtedy kąt środkowy A O C ma miarę dziewięćdziesiąt stopni., 3. Poprowadźmy przez punkt C prostą równoległą do cięciwy A B – przetnie ona okrąg w punkcie, który oznaczymy przez D., 4. Symetria osiowa zachowuje związki miarowe, w szczególności jest przekształceniem wiernokątnym, czyli zachowuje miary odpowiednich kątów., 5. Zatem wartość bezwzględna z, ∡ A O C, koniec wartości bezwzględnej, równa się, wartość bezwzględna z, ∡ B O D, koniec wartości bezwzględnej., 6. Pozostaje wykazać, że kąt B O D jest prosty., 7. Oczywiście tak wyznaczona cięciwa C D jest równoległa do A B., 8. Poprowadźmy przez środek okręgu prostą prostopadłą do obu cięciw., 9. Istnieje więc taki punkt C leżący na tym łuku, że łuk A C ma długość równą czwartej części tego okręgu., 10. Jego długość jest większa niż półokrąg., 11. Rozważmy dłuższy z łuków danego okręgu, o końcach w punktach A, B., 12. Kąty środkowe A O C i B O D mają taką samą miarę równą dziewięćdziesiąt stopni., 13. Jest ona osią symetrii tych cięciw oraz figury złożonej z odcinków O A, O C oraz O B, O D.
Dany jest okrąg o środku O i promieniu r. Wykaż, że dla dowolnej cięciwy A B tego okręgu, różnej od średnicy, istnieje cięciwa C D, równoległe do, A B taka, że kąty środkowe oparte odpowiednio na łukach A C i B D są proste. Ułóż w kolejności etapy dowodu. Elementy do uszeregowania: 1. Zauważmy, że cięciwa, która nie jest średnicą, dzieli okrąg na dwa łuki o różnej długości., 2. Wtedy kąt środkowy A O C ma miarę dziewięćdziesiąt stopni., 3. Poprowadźmy przez punkt C prostą równoległą do cięciwy A B – przetnie ona okrąg w punkcie, który oznaczymy przez D., 4. Symetria osiowa zachowuje związki miarowe, w szczególności jest przekształceniem wiernokątnym, czyli zachowuje miary odpowiednich kątów., 5. Zatem wartość bezwzględna z, ∡ A O C, koniec wartości bezwzględnej, równa się, wartość bezwzględna z, ∡ B O D, koniec wartości bezwzględnej., 6. Pozostaje wykazać, że kąt B O D jest prosty., 7. Oczywiście tak wyznaczona cięciwa C D jest równoległa do A B., 8. Poprowadźmy przez środek okręgu prostą prostopadłą do obu cięciw., 9. Istnieje więc taki punkt C leżący na tym łuku, że łuk A C ma długość równą czwartej części tego okręgu., 10. Jego długość jest większa niż półokrąg., 11. Rozważmy dłuższy z łuków danego okręgu, o końcach w punktach A, B., 12. Kąty środkowe A O C i B O D mają taką samą miarę równą dziewięćdziesiąt stopni., 13. Jest ona osią symetrii tych cięciw oraz figury złożonej z odcinków O A, O C oraz O B, O D.
