Sprawdź się

Pokaż ćwiczenia:

RHMZmX2lYGmUE1

Ćwiczenie 1

R16XlcN8WaGIv1

Ćwiczenie 2

R1cmZbN3aMGiy2

Ćwiczenie 3

R14dI5oA0BUS32

Ćwiczenie 4

R1BSr5Qxbs2qF2

Ćwiczenie 5

Dostępne opcje do wyboru:

1

1

2

9

9

2

. Polecenie: Dane są liczby dodatnie

x

y

takie, że

7 x y = x^{2} + y^{2}

. Wykaż, że

\log_{3} \sqrt{x y} = \log_{3} (x + y) - 1

.
Uzupełnij rozwiązanie podanego wyżej zadania, przeciągając odpowiednie liczby.

7 x y = x^{2} + y^{2}

luka do uzupełnienia

\cdot x y = {(x + y)}^{2}

\log_{3}

luka do uzupełnienia

x y = \log_{3} {(x + y)}^{2}

\log_{3} 9 + \log_{3} x y =

luka do uzupełnienia

\cdot \log_{3} (x + y)

luka do uzupełnienia

+ \log_{3} x y = 2 \cdot \log_{3} (x + y)

luka do uzupełnienia

+ 0, 5 \cdot \log_{3} x y = \log_{3} (x + y)

\log_{3} \sqrt{x y} = \log_{3} (x + y) -

luka do uzupełnienia

REX8C7LdG1HHG2

Ćwiczenie 6

Ćwiczenie 7

Udowodnij, że jeżeli liczby $a$ , $b$ są liczbami rzeczywistymi takimi, że $a > 0$ , $b > 0$ i $a \neq 0$ to:

$\log_{a^{2}} b = \frac{1}{2} \cdot \log_{a} b$

Oznaczmy:

$\log_{a^{2}} b = x$

$\frac{1}{2} \cdot \log_{a} b = y$

Wtedy

$a^{2 x} = b$ i $a^{y} = b^{\frac{1}{2}}$

Podnosimy do kwadratu obie strony drugiej równości.

$a^{2 y} = b$

Stąd

$a^{2 y} = a^{2 x}$

$2 x = 2 y$

$x = y$

$\log_{a^{2}} b = \frac{1}{2} \cdot \log_{a} b$

Co kończy dowód.

Ćwiczenie 8

Dane są liczby $m > 0$ , $m \neq 1$ , $n > 0$ i $n \neq 1$ . Wykaż, że:

$\log_{\frac{1}{m}} \frac{1}{n} = \log_{m} n$

Oznaczmy:

$\log_{\frac{1}{m}} \frac{1}{n} = p$

Z definicji logarytmu.

${(\frac{1}{m})}^{p} = \frac{1}{n}$

$\frac{1}{m^{p}} = \frac{1}{n}$

Logarytmujemy obie strony równości.

$m^{p} = n$

$p \cdot \log_{m} m = \log_{m} n$

$p = \log_{m} n$

Zastępujemy liczbę $p$ odpowiednim logarytmem.

$\log_{\frac{1}{m}} \frac{1}{n} = \log_{m} n$

Co należało wykazać.

Animacja

Dla nauczyciela