Jeśli $D_f=\mathrm{ℝ}\setminus \left\{4\right\}$, to $p=4$, jeśli $Z{W}_f=\mathrm{ℝ}\setminus \left\{3\right\}$, to $q=3$

czyli wzór funkcji ma postać:

$f\left(x\right)=\frac{a}{x-4}+3$

z informacji o miejscu zerowym mamy:

$f\left(5\right)=0$

$0=\frac{a}{5-4}+3$

$a=-3$

Odpowiedź:

$a=-3$, $p=4$, $q=3$

Asymptotami wykresu funkcji są proste o równaniach: $x=-4$ oraz $y=-2$. Oznacza to, że funkcja nie jest określona dla $x=-4$ oraz nie osiąga wartości $y=-2$. Zatem $p=-4$ oraz $q=-2$. Wzór funkcji możemy zapisać w postaci kanonicznej:

$f\left(x\right)=\frac{a}{x+4}-2$

Wiedząc, że do wykresu funkcji należy punkt $\left(0;-3\right)$ mamy:

$-3=\frac{a}{0+4}-2$

czyli $a=-4$

zatem

$f\left(x\right)=\frac{-4}{x+4}-2=\frac{-4-2\left(x+4\right)}{x+4}=\frac{-2x-12}{x+4}$

Jeśli punkt $\left(1;3\right)$ jest środkiem symetrii wykresu funkcji $f\left(x\right)=\frac{s}{x-p}+q$, to asymptotami wykresu funkcji są proste o równaniach: $x=1$ oraz $y=3$.

Jeśli punkt $\left(1;3\right)$ jest środkiem symetrii wykresu funkcji $f\left(x\right)=\frac{s}{x-p}+q$, to asymptotami wykresu funkcji są proste o równaniach: $x=1$ oraz $y=3$. Oznacza to, że funkcja nie jest określona dla $x=1$ oraz nie osiąga wartości $y=3$. Zatem $p=1$ oraz $q=3$. Wzór funkcji możemy zapisać w postaci:

$f\left(x\right)=\frac{s}{x-1}+3$

Aby obliczyć $s$ należy skorzystać z informacji, że liczba $\left(-\frac{2}{3}\right)$ jest miejscem zerowym funkcji $f\left(x\right)$:

$0=\frac{s}{-{\displaystyle \frac{2}{3}}-1}+3$

zatem $s=5$.

Teraz należy przedstawić funkcję w postaci ilorazu dwóch wielomianów:

$f\left(x\right)=\frac{5}{x-1}+3=\frac{5+3\left(x-1\right)}{x-1}=\frac{3x+2}{x-1}$

Odpowiedź:

$a=3$, $b=2$, $c=1$, $d=-1$