Sprawdź się

Pokaż ćwiczenia:

R6RzadZ8Onvaq1

Ćwiczenie 1

Przekrój sześcianu, którego dwoma bokami są krawędzie równoległych podstaw sześcianu jest nachylony do płaszczyzny podstawy pod kątem:

$45 °$
$90 °$
$60 °$
$55 °$

Ćwiczenie 2

Dany jest sześcian i jego przekrój w kształcie trójkąta jak na rysunku.

RBeKGZ8GKtymf

Ilustracja przedstawia sześcian A B C D E F G H taki, że wierzchołek E znajduję się nad wierzchołkiem A, wierzchołek F znajduje się nad wierzchołkiem B itd. Poprowadzono przekątną A C dolnej podstawy sześcianu. Na odcinku H D zaznaczono punkt K i połączono go z wierzchołkiem A i C. Wówczas powstał trójkąt równoramienny A C K.

RxPTr45RGFVJP

Jaką miarę może mieć kąt pomiędzy przekrojem na rysunku a płaszczyzną podstawy?

$49 °$
$60 °$
$90 °$
$57 °$

Ćwiczenie 3

Dany jest sześcian $A B C D A' B' C' D'$ jak na rysunku. Punkty $E$ , $F$ , $G$ , $H$ , $J$ są środkami krawędzi $A^{'} B^{'}, B^{'} C^{'}, B C, A B$ i $B B^{'}$ odpowiednio.

R1PTj0IccPctz

Ilustracja przedstawia sześcian ABCDA prim B prim C prim D prim. Zaznaczono punkty w połowie odcinka AB tworząc punkt H, odcinka BC tworząc punkt G, odcinka A prim E prim tworząc punkt E, odcinka B prim C prim tworząc punkt F.

R1AAkfpfpoqdz

Oceń prawdziwość zdań:

	Prawda	Fałsz
Przekrój przechodzący przez punkty $E, F, G, H$ jest prostopadły do podstawy $A B C D$ .	□	□
Przekrój przechodzący przez punkty $E, F, C, A$ jest nachylony do płaszczyzny podstawy pod kątem mniejszym niż $50 °$ .	□	□
Kąt nachylenia przekroju przechodzącego przez punkty $E, F, J$ do podstawy $A' B' C' D'$ jest mniejszy od kąta nachylenia przekroju przechodzącego przez punkty $A^{'}, C^{'}, B$ do tej podstawy	□	□

Ćwiczenie 4

Rn5jbWUs3ByhD

RFRuB7RSfdSH3

Ćwiczenie 5

W sześcianie $A B C D E F G H$ o krawędzi $a$ przeprowadzono przekrój przez środki krawędzi $B C$ i $C D$ (punkty $O$ i $L$ odpowiednio) oraz punkt $N$ leżący na krawędzi $C G$ . Powstały przekrój jest nachylony do podstawy pod kątem $60 °$ . Jaką długość ma odcinek $C N$ ?

R1Z28okioo7W9

RW3rl3jj89rsE

$\frac{a \sqrt{6}}{4}$
$\frac{a \sqrt{2}}{4}$
$\frac{a \sqrt{6}}{2}$
$\frac{a \sqrt{3}}{2}$

Ćwiczenie 6

RxsMquiqN2zCS

R79yXf6Or2ELX

Ćwiczenie 7

Kąt pomiędzy podstawą sześcianu, a płaszczyzną przechodzącą przez przekątną tej podstawy wynosi $45^{\circ}$ . Oblicz pole tego przekroju wiedząc, że krawędź sześcianu ma długość $6$ .

Ponieważ kąt pomiędzy przekrojem, a podstawą jest mniejszy od $55 °$ , to przekrój ten jest trójkątem równoramiennym. Wykonajmy rysunek pomocniczy.

RRKkvUJqnHB1r

Ilustracja przedstawia sześcian ABCDEDFGH. Oznaczono trójkąt ACK. Płaszczyzna nachylona pod kątem 45 stopni do podstawy.

Trójkąt $K D J$ jest prostokątny równoramienny i $|D J| = 3 \sqrt{2}$ , (jest to połowa przekątnej ściany sześcianu), czyli $|K D| = 3 \sqrt{2}$ oraz $|K J| = 6$ .

Mamy również $|A C| = 6 \sqrt{2}$ . Stąd szukane pole przekroju wynosi $P = \frac{6 \cdot 6 \sqrt{2}}{2} = 18 \sqrt{2}$ .

Ćwiczenie 8

Przekrój sześcianu o krawędzi $4$ przechodzący przez przekątną podstawy jest nachylony do tej podstawy pod kątem $75 °$ . Jaki kształt ma ten przekrój? Oblicz wysokość tego przekroju.

Ponieważ kąt nachylenia jest większy od $55 °$ , to przekrój ten jest trapezem równoramiennym. Zróbmy rysunek pomocniczy.

RXfiAj28PwcRY

Ilustracja przedstawia sześcian ABCDEFGH. Zaznaczono płaszczyznę ACJN. Punkt J znajduję się na odcinku EH, a punkt N na odcinku GH. Płaszczyzna nachylona jest do podstawy pod kątem 75 stopni.

Zauważmy, że wysokość tego trapezu $O I$ jest przeciwprostokątną trójkąta prostokątnego, którego wierzchołkami są $O$ , $I$ oraz rzut punktu $O$ na podstawę.

RZc25tU9WiQrv

Na rysunku powyżej trójkąt prostokątny, o którym mowa to trójkąt $O P I$ . Mamy, że $|O P| = 4$ .

Czyli $\sin 75 ° = \frac{4}{|O I|}$ , a stąd $|O I| = 4 : \sin 75 °$

Obliczmy $\sin 75 °$ .

Mamy, że

$\sin 75 ° = \sin (30 ° + 45 °) = \sin 30 ° \cos 45 ° + \sin 45 ° \cos 30 ° =$ $= \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ .

A zatem wysokość przekroju

$|O I| = 4 : \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} = 4 \cdot \frac{4}{\sqrt{6} + \sqrt{2}} = \frac{16}{\sqrt{6} + \sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{\sqrt{6} - \sqrt{2}} = \frac{16 (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{4} = 4 (\sqrt{6} - \sqrt{2})$ .

Aplet

Dla nauczyciela