Sprawdź się

Pokaż ćwiczenia:

RfjBWT4s9SMGQ2

Ćwiczenie 1

Dany jest zbiór $A = "{"1, 2, 3, \dots, 98, 99"}"$ wszystkich dodatnich liczb całkowitych mniejszych od $100$ . Losujemy z tego zbioru jednocześnie dwie liczby.
Na ile sposobów możemy wtedy wylosować taką parę liczb, których suma kwadratów jest podzielna przez $3$ ?

Odp. ............

R1GGVKRH4wvZd2

Ćwiczenie 2

Rzucamy $15$ razy sześcienną kostką do gry. Oblicz, ile jest wszystkich wyników tego doświadczenia, które spełniają jednocześnie dwa warunki:
- dokładnie $4$ razy wypadła nieparzysta liczba oczek,
- suma wyrzuconych oczek jest równa $26$ .

$(\begin{matrix} 11 \\ 4 \end{matrix})$
$(\begin{matrix} 15 \\ 4 \end{matrix})$
$(\begin{matrix} 26 \\ 4 \end{matrix})$
$(\begin{matrix} 22 \\ 4 \end{matrix})$

Ćwiczenie 3

Dany jest prostokąt $A B C D$ , w którym $|A B| = 5$ oraz $|A D| = 8$ . Prostokąt ten podzielono liniami siatki na kwadraty jednostkowe (jak na rysunku poniżej).

R1U5GJFziJOjd

Ilustracja przedstawia prostokąt A B C D. W środku znajdują się jednakowe kwadraciki tworzące siatkę.

Oblicz, ile jest wszystkich najkrótszych dróg prowadzących po liniach siatki od punktu $A$ do punktu $C$ .

RthbrrjMAzZfT

R1Vb1Vf1deESM

RLV1J1TeIHB9E2

Ćwiczenie 4

Oblicz, ile jest czterocyfrowych liczb naturalnych, spełniających jednocześnie trzy następujące warunki:
(1) cyfra tysięcy jest większa od cyfry setek,
(2) cyfra setek jest większa od cyfry dziesiątek,
(3) cyfra dziesiątek jest większa od cyfry jedności.

Odp. Wszystkich takich liczb czterocyfrowych jest ............ ............ ............

R12k79jjteaf32

Ćwiczenie 5

Rozpatrujemy $30$ -cyfrowe liczby naturalne o sumie cyfr równej $6$ . Oznaczmy przez $n$ liczbę tych spośród nich, w których zapisie dziesiętnym pierwsza cyfra jest parzysta, a wśród pozostałych są dokładnie $4$ cyfry nieparzyste.
Wynika stąd, że:

$n = (\begin{matrix} 30 \\ 4 \end{matrix})$
$n = (\begin{matrix} 29 \\ 4 \end{matrix})$
$n = (\begin{matrix} 30 \\ 6 \end{matrix})$
$n = (\begin{matrix} 29 \\ 6 \end{matrix})$

RAhWcL9cXqU4Q2

Ćwiczenie 6

Liczba $(\begin{matrix} 58 \\ 11 \end{matrix})$ dzieli się przez

$29$
$25$
$24$
$23$

R9WmeBhqDVcnh2

Ćwiczenie 7

Rozpatrujemy wszystkie funkcje ze zbioru

A_{k} = \{1, 2, \dots, k\}

wszystkich dodatnich liczb całkowitych, które nie są większe od pewnej ustalonej liczby naturalnej

k

, do zbioru

B_{n} = \{1, 2, \dots, n\}

wszystkich dodatnich liczb całkowitych, które nie są większe od pewnej ustalonej liczby naturalnej

n

.
Podane niżej liczby uporządkuj rosnąco. Elementy do uszeregowania: 1. Liczba funkcji malejących ze zbioru

A_{10}

do zbioru

B_{12}

., 2. Liczba funkcji malejących ze zbioru

A_{4}

do zbioru

B_{8}

., 3. Liczba funkcji malejących ze zbioru

A_{6}

do zbioru

B_{9}

., 4. Liczba funkcji malejących ze zbioru

A_{2}

do zbioru

B_{10}

Rozpatrujemy wszystkie funkcje ze zbioru $A_{k} = "{"1, 2, \dots, k"}"$ wszystkich dodatnich liczb całkowitych, które nie są większe od pewnej ustalonej liczby naturalnej $k$ , do zbioru $B_{n} = "{"1, 2, \dots, n"}"$ wszystkich dodatnich liczb całkowitych, które nie są większe od pewnej ustalonej liczby naturalnej $n$ .
Podane niżej liczby uporządkuj rosnąco.

Liczba funkcji malejących ze zbioru $A_{2}$ do zbioru $B_{10}$
Liczba funkcji malejących ze zbioru $A_{10}$ do zbioru $B_{12}$
Liczba funkcji malejących ze zbioru $A_{4}$ do zbioru $B_{8}$
Liczba funkcji malejących ze zbioru $A_{6}$ do zbioru $B_{9}$

RNuywC6CXkveG3

Ćwiczenie 8

Rozpatrujemy permutacje $(a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}, a_{5}, a_{6}, a_{7}, a_{8}, a_{9}, a_{10}, a_{11})$ zbioru $"{"1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11"}"$ .
Oznaczmy przez $k$ liczbę tych spośród nich, które spełniają dwa następujące warunki:
(1) ciąg $(a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}, a_{5})$ jest rosnący,
(2) ciąg $(a_{5}, a_{6}, a_{7}, a_{8}, a_{9}, a_{10}, a_{11})$ jest malejący.
Wynika stąd, że:

$k > 120$
$k > 210$
$k < 252$
$k < 330$

Ćwiczenie 9

W pewnej grze losowej należy zaznaczyć na kuponie wybrane $5$ liczb spośród $32$ początkowych dodatnich liczb całkowitych. Na ile sposobów można wytypować $5$ liczb w tej grze tak, aby nie było wśród nich dwóch kolejnych?

R1b3VQNlWc3Lz

R10Ku0x9fXPWk

Animacja

Dla nauczyciela