Sprawdź się

Pokaż ćwiczenia:

R1eJXZbhdPHy91

Ćwiczenie 1

Ćwiczenie 2

Wskaż wszystkie zdania, które są prawdziwe.

Trójkąty równoboczne przedstawione na poniższych rysunkach są podobne w skali $k = \sqrt{2}$ .

RWruTUc0W2kZh

Na ilustracji przedstawiono dwa trójkąty równoboczne, w które wpisano okrąg. Figury są do siebie podobne i różnią się rozmiarem. Długości boków większego trójkąta oznaczono a. Promień okręgu wpisanego oznaczono r. W drugim, mniejszym trójkącie, długości boków oznaczono a prim, natomiast promień okręgu wpisanego r prim.

RHb7rN9o4K44F

Ćwiczenie 3

Kwadrat $K_{1}$ , w którym przekątna jest o $2$ dłuższa od boku jest podobny do kwadratu $K_{2}$ w skali $k = \frac{\sqrt{3}}{2}$ . Oblicz obwód kwadratu $K_{2}$ .

Jeżeli $a$ jest długością boku kwadratu $K_{1}$ , to do wyznaczenia wartości $a$ rozwiązujemy równanie:

$a \sqrt{2} = a + 2$

$a \sqrt{2} - a = 2$

$a \cdot (\sqrt{2} - 1) = 2$

$a = \frac{2}{\sqrt{2} - 1} = \frac{2 \cdot (\sqrt{2} + 1)}{(\sqrt{2} - 1) \cdot (\sqrt{2} + 1)} = \frac{2 \sqrt{2} + 2}{2 - 1} = 2 \sqrt{2} + 2$

Wobec tego obwód kwadratu $K_{1}$ jest równy:

$L_{1} = 4 \cdot (2 \sqrt{2} + 2) = 8 \sqrt{2} + 8$

Z podobieństwa tych kwadratów zachodzi zależność $k = \frac{L_{1}}{L_{2}}$ , gdzie $L_{2}$ jest obwodem kwadratu $K_{2}$ .

Zatem:

$\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{8 \sqrt{2} + 8}{L_{2}}$

$L_{2} = \frac{16 \sqrt{2} + 16}{\sqrt{3}} = \frac{16 \sqrt{6} + 16 \sqrt{3}}{3}$

Ćwiczenie 4

R1cZmDWJ7diCi

Ćwiczenie 5

RmnzrcQD6u5XZ

RreBaDKXDkk9c

Ćwiczenie 6

Wiadomo, że suma obwodów dwóch figur podobnych wynosi $264$ . Wyznacz obwody tych figur, jeżeli wiadomo, że ich skala podobieństwa wynosi $\frac{5}{6}$ .

Niech $L_{1}$ i $L_{2}$ będą obwodami dwóch figur podobnych.

Do wyznaczenia wartości $L_{1}$ i $L_{2}$ rozwiązujemy układ równań.

$\{\begin{cases} L_{1} + L_{2} = 264 \\ \frac{L_{1}}{L_{2}} = \frac{5}{6} \end{cases}$

Układ równań przekształcamy do postaci:

$\{\begin{cases} L_{1} + L_{2} = 264 \\ L_{1} = \frac{5}{6} \cdot L_{2} \end{cases}$ .

Wobec tego:

$\frac{5}{6} L_{2} + L_{2} = 264$

$\frac{11}{6} L_{2} = 264$

$L_{2} = 264 \cdot \frac{6}{11} = 144$ .

Zatem:

$L_{1} = 264 - 144 = 120$ .

Zatem obwody tych figur wynoszą odpowiednio $120$ i $144$ .

Ćwiczenie 7

RLTq1wonN9rWt

Ćwiczenie 8

Boki czworokąta $A B C D$ mają długości: $8$ , $10$ , $12$ , $14$ . Suma dwóch najkrótszych boków czworokąta $A' B' C' D'$ , który jest podobny do czworokąta $A B C D$ wynosi $45$ Oblicz długości boków w czworokącie $A' B' C' D'$ .

Narysujmy dwa czworokąty, które są podobne i wprowadźmy oznaczenia, jak na rysunkach.

RYyAH2R8zO5q6

Na ilustracji przedstawiono dwa czworokąty podobne. Pierwszy czworokąt ABCD jest mniejszy. Zaznaczono długości boków. Długość boku AB równa się 14, długość boku BC równa się 10, długość boku CD równa się 8, długość boku AD równa się 12. Zaznaczono kąty wewnętrzne. Kąt α przy wierzchołku A, kąt β przy wierzchołku B, kąt γ przy wierzchołku C, oraz kąt δ przy wierzchołku D. Drugi czworokąt oznaczono A’B’C’D’. Długości boków oznaczono małymi literami alfabetu. Bok A’B’ oznaczono z, bok B’C’ oznaczono y, bok C’D’ oznaczono x, bok A’D’ oznaczono t. Zaznaczono kąty wewnętrzne. Kąt α przy wierzchołku A', kąt β przy wierzchołku B', kąt γ przy wierzchołku C', oraz kąt δ przy wierzchołku D'.

Z przyjętych oznaczeń oraz z treści zadania wynika, że $x + y = 45$ .

Zatem $y = 45 - x$ .

Wobec faktu, że czworokąty są podobne, zachodzą następujące zależności:

$\frac{8}{x} = \frac{10}{45 - x}$

$8 \cdot (45 - x) = 10 \cdot x$

$360 - 8 x = 10 x$

Zatem $x = 20$ .

Wobec tego obliczamy długości pozostałych boków:

$y = 45 - 20 = 25$

$\frac{t}{12} = \frac{20}{8}$

$t = 30$

$\frac{z}{14} = \frac{20}{8}$

$z = 35$

Galeria zdjęć interaktywnych

Dla nauczyciela