Sprawdź się

Pokaż ćwiczenia:

Ćwiczenie 1

R16XdsZClQw4K

R1CXLUCwR73Jh

RaurceTyloMse1

Ćwiczenie 2

Wstaw odpowiednią długość z podanych poniżej możliwości.

$9$ , $3$ , $4$ , $4, 5$

Objętość graniastosłupa prawidłowego trójkątnego wynosi $27 \sqrt{3}$ , a krawędź podstawy ma długość $6$ . Wysokość tego graniastosłupa ma długość .............

R1bh7jQWoLOtU2

Ćwiczenie 3

Wybierz zdanie prawdziwe.

Objętość graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego o krawędzi podstawy $2 \sqrt{3}$ i wysokości $4 \sqrt{3}$ jest liczbą niewymierną.
Objętość sześcianu o krawędzi $4$ jest dwa razy mniejsza od objętości graniastosłupa prawidłowego czworokątnego o krawędzi podstawy $4$ i wysokości $8$ .

RGVENf6Vcp2bw2

Ćwiczenie 4

Każdą krawędź podstawy graniastosłupa zwiększono dwukrotnie tak, że w podstawie znajduje się wielokąt podobny, a wysokość zmniejszono dwukrotnie. Jak zmieniła się objętość?

Zwiększyła się dwukrotnie.
Zmniejszyła się dwukrotnie.
Zwiększyła się czterokrotnie.
Pozostała bez zmian.

R1DXtSIonFVTw2

Ćwiczenie 5

Producent słoików w kształcie graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego deklaruje, że pojemność słoika wynosi $318 ml$ . Wysokość takiego słoika ma długość $10 cm$ . To oznacza, że długość dłuższej przekątnej podstawy (w przybliżeniu do $1 mm$ ) wynosi:

$70 mm$
$35 mm$
$140 mm$
$40 mm$

R19ErWpWXi07N2

Ćwiczenie 6

W podstawie graniastosłupa prostego znajduje się romb, którego dłuższa przekątna ma długość $8$ . Dłuższa przekątna graniastosłupa ma długość $10$ , a przekątna ściany bocznej $2 \sqrt{14}$ . Objętość tego graniastosłupa wynosi:

$48 \sqrt{7}$
$196$
$96$
$150$

Ćwiczenie 7

Podstawą graniastosłupa jest pięciokąt jak na rysunku (jedna kratka to jedna jednostka).

Rpqo2hcj1NP2r

Ilustracja przedstawia pięciokąt ABCDE. Pięciokąt możemy podzielić na prostokąt o szerokości trzech kratek i wysokości czterech kratek oraz dwa takie same trójkąty prostokątne równoramienne o ramieniu długości dwóch kratek.

Przekątna $B J$ jest nachylona pod kątem $45 °$ do płaszczyzny podstawy.

R1LEhKkCzZg69

Ilustracja przedstawia graniastosłup A B C D E F G H I J o podstawie pięciokąta ABCDE. Zaznaczono przekątną graniastosłupa BJ.

Oblicz objętość tego graniastosłupa.

Obliczmy pole podstawy i długość przekątnej $B E$ podstawy.

R1bf9jvvZ5Tr9

Ilustracja przedstawia pięciokąt ABCDE. Podzielono go na prostokąt ABCE oraz trójkąt DCE. Zaznaczono przekątną prostokąta BE oraz wysokość trójkąta DK. Punkt K jest środkiem podstawy CE.

Pole pięciokąta policzymy jako sumę pól prostokąta $A B C E$ i trójkąta $C D E$ .

$P_{p} = 4 \cdot 3 + \frac{4 \cdot 2}{2} = 16$

Przekątna podstawy $B E$ jest przeciwprostokątną trójkąta $B C E$ o przyprostokątnych $3$ i $4$ , a zatem ze znanej trójki pitagorejskiej mamy:

$|B E| = 5$ .

Obliczymy teraz wysokość graniastosłupa korzystając z przekątnej graniastosłupa $B J$ .

R4GCC6w57Vjj5

Ilustracja przedstawia graniastosłup ABCDEFGHIJ o podstawie pięciokąta. Zaznaczono przekątną graniastosłupa, przekątną podstawy oraz krawędź ściany bocznej. Tworzą one trójkąt prostokątny BEJ o kącie przy wierzchołku B równym 45 stopni.

Trójkąt $J B E$ jest prostokątny i równoramienny, a zatem:

$|J E| = |B E| = 5$ .

Możemy teraz obliczyć objętość graniastosłupa:

$V = 16 \cdot 5 = 80$ .

Ćwiczenie 8

Podstawą graniastosłupa prostego jest trapez równoramienny o podstawach długości $2$ i $6$ i wysokości $2$ . Przekątna graniastosłupa jest nachylona pod kątem $53 °$ do płaszczyzny podstawy. Oblicz objętość graniastosłupa.

Musimy najpierw obliczyć długość przekątnej podstawy.

RJkzXgyaiC3Px

Ilustracja przedstawia trapez równoramienny ABCD. Zaznaczono przekątną AC oraz wysokość CI. Punkt I jest punktem na podstawie AD.

Przekątna podstawy jest przeciwprostokątną trójkąta prostokątnego $A I C$ o przyprostokątnych $|A I| = 4$ i $|I C| = 2$ . Długość przekątnej $d$ obliczymy z twierdzenia Pitagorasa:

$4^{2} + 2^{2} = d^{2}$ , czyli

$d = 2 \sqrt{5}$ .

Obliczymy teraz długość wysokości graniastosłupa.

R1U4QXL8Z9Nxg

Ilustracja przedstawia graniastosłup ABCDEFGH o podstawie trapezu. Na trapezie ABCD zaznaczono przekątną AC oraz wysokość CI. Punkt I jest punktem na podstawie AD. Przekątna AC tworzy z przekątną graniastosłupa CE kąt 53 stopni.

Korzystając z funkcji tangens dla kąta nachylenia przekątnej graniastosłupa do podstawy, mamy:

$tg 53 ° = \frac{|A E|}{|A C|}$ .

Korzystając z danych i tablic wartości funkcji trygonometrycznych, otrzymujemy:

$1, 3270 \approx \frac{| A E |}{2 \sqrt{5}}$ , czyli

$|A E| \approx 5, 93$ .

A zatem objętość tego graniastosłupa wynosi w przybliżeniu

$V = \frac{(2 + 6) \cdot 2}{2} \cdot 5, 93 = 47, 44$ .

Animacja 3D

Dla nauczyciela