Sprawdź się

Pokaż ćwiczenia:

Ćwiczenie 1

Rt2p1iLPrqhFT

Ile najwięcej mogą mieć punktów wspólnych wykresy funkcji i funkcji do niej odwrotnej? Przeciągnij poprawną odpowiedź w wyznaczone miejsce.

trzy punkty wspólne, dwa punkty wspólne, jeden punkt wspólny, nieskończenie wiele punktów wspólnych

Wykresy funkcji i funkcji do niej odwrotnej mogą mieć najwięcej: .

Przykładem może być funkcja $f (x) = x$ .

RzQBsjw1lqJzr2

Ćwiczenie 2

Zaznacz poprawną odpowiedź. Pole ograniczone osiami układu oraz wykresami funkcji $f (x) = 3 x - 6$ oraz funkcji do niej odwrotnej jest równe:

Ćwiczenie 3

RSlU0Q4nGb38H

Dana jest funkcja $f : ℝ \to ℝ$ , $f (x) = - x + b$ , $b \in ℝ$ . Zaznacz poprawną odpowiedź.

$f (x) = - f^{- 1} (x)$
$f (x) = f^{- 1} (- x)$
$f (x) = f^{- 1} (x)$
$f (x) = - f^{- 1} (- x)$

Ćwiczenie 4

Sprawdź, czy funkcja $f (x) = x^{2}$ , $f : ℝ \to ℝ$ jest różnowartościowa i „na”. Czy istnieje funkcja odwrotna? $f^{- 1} (x) < 1$

Zauważmy, że funkcja $f$ nie jest różnowartościowa, ponieważ np. dla $x_{1} = - 7$ i $x_{2} = 7$ prawdziwa jest koniunkcja $x_{1} \neq x_{2}$ i $f (x_{1}) = f (x_{2}) = 49$ . Już możemy powiedzieć, że nie istnieje funkcja odwrotna. Jednak sprawdźmy jeszcze drugi warunek: czy funkcja jest „na”?

Nie jest „na” cały zbiór $ℝ$ , ponieważ istnieje taki $y = - 7$ , że dla każdego $x \in ℝ$ , $f (x) = x^{2} \neq - 7 = y$ .

Uwaga:

Można natomiast wyznaczyć funkcję odwrotną dla $f_{1} (x) = x^{2}$ , jeśli będzie ona określona w następujący sposób: $f_{1} : ⟨0, \infty) \to ⟨0, \infty)$ . Wówczas jest to funkcja ściśle monotoniczna, rosnąca, a więc różnowartościowa. Zbiór wartości funkcji $f_{1}^{}$ to przedział $⟨0, \infty)$ , funkcja jest „na” cały zbiór $⟨0, \infty)$ . Stąd istnieje funkcja odwrotna do $f_{1} (x) = x^{2}$ i jest postaci: $f_{1}^{- 1} (x) = \sqrt{x}$ , $f_{1}^{- 1} : ⟨0, \infty) \to ⟨0, \infty)$ .

Ćwiczenie 5

Dana jest funkcja $f (x) = 2^{x + 1} - 4$ . Rozwiąż nierówność: $f^{- 1} (x) < 1$ .

Narysujmy wykres funkcji $f$ , który jest przesunięciem o wektor $[- 1, - 4]$ wykresu funkcji $g (x) = 2^{x}$ .

R1CZfADTyf0Dm

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z pionową osią od minus 4 do trzech oraz z poziomą osią od minus 5 do pięciu. Narysowano wykres funkcji o wzorze y=f-1(x) przebiegająca przez pierwszą trzecią oraz czwartą ćwiartkę układu. Posiada miejsce zerowe w punkcie jeden oraz przecina oś Y w punkcie minus dwa. Kolejny wykres funkcji o wzorze y=f(x) wykres przebiega przez pierwszą drugą oraz trzecią ćwiartkę układu współrzędnych. W pierwszej ćwiartce jest zaznaczony linią przerywaną. Posiada miejsce zerowe w punkcie minus dwa i przebiega przez oś y w punkcie jeden. Asymptoty funkcji to minus cztery oraz jeden.

Odczytując z rysunku $f : ℝ \to (- 4, \infty)$ . Funkcja $f$ jest rosnąca, a więc różnowartościowa. Ponieważ $f (ℝ) = (- 4, \infty)$ , jest „na”. Istnieje funkcja odwrotna. Znajdźmy funkcję odwrotną:
$y = 2^{x + 1} - 4$ , więc $y + 4 = 2 \cdot 2^{x}$ , skąd $2^{x} = \frac{1}{2} y + 2$ i $x = \log_{2} (\frac{1}{2} y + 2)$ . Zamieniając zmienne otrzymujemy wzór
$y = \log_{2} (\frac{1}{2} x + 2)$ , czyli $f^{- 1} (x) = \log_{2} (\frac{1}{2} x + 2)$ .
Dziedziną funkcji odwrotnej jest zbiór $(- 4, \infty)$ .
Rozwiążmy nierówność: $f^{- 1} (x) < 1$ .

Mamy, że $\log_{2} (\frac{1}{2} x + 2) < 1$ , skąd $(\frac{1}{2} x + 2) < 2^{1}$ , więc $x < 0$ .
Uwzględniając dziedzinę funkcji odwrotnej otrzymujemy: $x \in (- 4, 0)$ .

Ćwiczenie 6

Niech $f : (0, \infty) \to (- 1, \infty)$ , $f (x) = x^{2} - 1$ . Wyznacz funkcję odwrotną do funkcji $f$ i rozwiąż równanie $f (x) = f^{- 1} (x)$ .

Pokażemy z definicji, że $f$ jest $1 - 1$ . Weźmy dowolne $x_{1}$ , $x_{2} \in (0, \infty)$ . Wówczas z warunku $f (x_{1}) = f (x_{2})$ , tj. $x_{1}^{2} - 1 = x_{2}^{2} - 1$ , mamy ciąg równoważnych równości: $x_{1}^{2} = x_{2}^{2}$ , czyli $x_{1}^{2} - x_{2}^{2} = 0$ , skąd $(x_{1} - x_{2}) (x_{1} + x_{2}) = 0$ i ostatecznie $x_{1} = x_{2}$ . Ponieważ z założenia $x_{1} > 0$ i $x_{2} > 0$ , to $x_{1} + x_{2} > 0$ .

Funkcja jest „na”, ponieważ jej zbiorem wartości jest przedział $(- 1, \infty)$ .
Zatem istnieje funkcja odwrotna $f^{- 1} : (- 1, \infty) \to (0, \infty)$ .
Znajdźmy ją: $y = x^{2} - 1$ , więc $y + 1 = x^{2}$ . Stąd $y + 1$ jest większe od $0$ . Wyznaczając $x$ otrzymujemy: $x = \sqrt{y + 1}$ . Czyli $f^{- 1} (x) = \sqrt{x + 1}$ .

Rozwiążmy równanie: $f (x) = f^{- 1} (x)$ , czyli $x^{2} - 1 = \sqrt{x + 1}$ . Dla $x \in (0, 1)$ otrzymujemy sprzeczność, gdyż lewa strona tej równości będzie ujemna, zaś pierwiastek jest dodatni. Załóżmy, że $x \in ⟨1, \infty)$ . Wówczas możemy równanie podnieść obustronnie do kwadratu. Otrzymujemy równość: ${(x^{2} - 1)}^{2} = x + 1$ ,
więc $x^{4} - 2 x^{2} + 1 - x - 1 = 0$ .

Przekształćmy lewą stronę równania: $x^{4} - 2 x^{2} - x = x (x^{3} - 2 x - 1) = x (x^{3} - x - x - 1) = x (x (x^{2} - 1) - (x + 1)) =$ $= x (x (x - 1) (x + 1) - (x + 1)) = x (x + 1) (x (x - 1) - 1) = x (x + 1) (x^{2} - x - 1)$ .

Mamy więc równanie $x (x + 1) (x^{2} - x - 1) = 0$ z czterema rozwiązaniami $x_{1} = 0 \lor x_{2} = - 1 \lor x_{3} = \frac{1 - \sqrt{5}}{2} \lor x_{4} = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ . Ale $x_{1}$ , $x_{2}$ , $x_{3} \notin (1, \infty)$ . Naszym rozwiązaniem jest $x_{4} = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ .

R1RzQ5laigmMN3

Ćwiczenie 7

Dobierz w pary funkcje, które są odwrotne:

f (x) = x^{3} + 1

Możliwe odpowiedzi: 1.

f^{- 1} (x) = \frac{1}{3} x - 1

, 2.

f^{- 1} (x) = \sqrt[3]{x - 1}

, 3.

f^{- 1} (x) = \sqrt[3]{x + 1}

, 4.

f^{- 1} (x) = \sqrt[3]{1 - x}

, 5.

f^{- 1} (x) = \sqrt[3]{x} - 1

, 6.

f^{- 1} (x) = \sqrt[3]{x} + 1

f (x) = x^{3} - 1

Możliwe odpowiedzi: 1.

f^{- 1} (x) = \frac{1}{3} x - 1

, 2.

f^{- 1} (x) = \sqrt[3]{x - 1}

, 3.

f^{- 1} (x) = \sqrt[3]{x + 1}

, 4.

f^{- 1} (x) = \sqrt[3]{1 - x}

, 5.

f^{- 1} (x) = \sqrt[3]{x} - 1

, 6.

f^{- 1} (x) = \sqrt[3]{x} + 1

f (x) = {(x + 1)}^{3}

Możliwe odpowiedzi: 1.

f^{- 1} (x) = \frac{1}{3} x - 1

, 2.

f^{- 1} (x) = \sqrt[3]{x - 1}

, 3.

f^{- 1} (x) = \sqrt[3]{x + 1}

, 4.

f^{- 1} (x) = \sqrt[3]{1 - x}

, 5.

f^{- 1} (x) = \sqrt[3]{x} - 1

, 6.

f^{- 1} (x) = \sqrt[3]{x} + 1

f (x) = {(x - 1)}^{3}

Możliwe odpowiedzi: 1.

f^{- 1} (x) = \frac{1}{3} x - 1

, 2.

f^{- 1} (x) = \sqrt[3]{x - 1}

, 3.

f^{- 1} (x) = \sqrt[3]{x + 1}

, 4.

f^{- 1} (x) = \sqrt[3]{1 - x}

, 5.

f^{- 1} (x) = \sqrt[3]{x} - 1

, 6.

f^{- 1} (x) = \sqrt[3]{x} + 1

f (x) = 3 x + 3

Możliwe odpowiedzi: 1.

f^{- 1} (x) = \frac{1}{3} x - 1

, 2.

f^{- 1} (x) = \sqrt[3]{x - 1}

, 3.

f^{- 1} (x) = \sqrt[3]{x + 1}

, 4.

f^{- 1} (x) = \sqrt[3]{1 - x}

, 5.

f^{- 1} (x) = \sqrt[3]{x} - 1

, 6.

f^{- 1} (x) = \sqrt[3]{x} + 1

f (x) = - x^{3} + 1

Możliwe odpowiedzi: 1.

f^{- 1} (x) = \frac{1}{3} x - 1

, 2.

f^{- 1} (x) = \sqrt[3]{x - 1}

, 3.

f^{- 1} (x) = \sqrt[3]{x + 1}

, 4.

f^{- 1} (x) = \sqrt[3]{1 - x}

, 5.

f^{- 1} (x) = \sqrt[3]{x} - 1

, 6.

f^{- 1} (x) = \sqrt[3]{x} + 1

Dobierz w pary funkcje, które są odwrotne:

$f (x) = x^{3} + 1$
$f (x) = x^{3} - 1$
$f (x) = {(x + 1)}^{3}$
$f (x) = {(x - 1)}^{3}$
$f (x) = 3 x + 3$
$f (x) = - x^{3} + 1$

RjDDEbYK8uLjx3

Ćwiczenie 8

W poniższej tabeli przedstawiono wzory funkcji. Dla każdej z nich dobierz maksymalny zbiór $D$ tak aby $f : D \to ℝ$ była różnowartościowa i poprawnie określona. Przeciągnij w odpowiednie miejsca poprawne odpowiedzi.

$f (x) = x^{3}$ , $f (x) = \frac{1}{x}$ , $f (x) = tg x$ , $f (x) = \cos x$ , $f (x) = x^{2}$ , $f (x) = x^{2} + 2 x + 1$ , $f (x) = \log x$ , $f (x) = "|"x - 3"|"$

Funkcja	Maksymalny zbiór $D$
$f (x) = x^{3}$
$f (x) = \frac{1}{x}$
$f (x) = tg x$
$f (x) = \cos x$
$f (x) = x^{2}$
$f (x) = x^{2} + 2 x + 1$
$f (x) = \log x$
$f (x) = "\|"x - 3"\|"$

Infografika

Dla nauczyciela