Sprawdź się

Pokaż ćwiczenia:

Re3vUUIUXsrdn1

Ćwiczenie 1

Wstaw poprawną odpowiedź.

$0, 125$ , $- 125$ , $- 0, 53$ , $0, 008$

Liczba $5^{- 3}$ jest równa .............

RwsqOy3RUXKei1

Ćwiczenie 2

Wskaż poprawną odpowiedź.
Jeżeli $x = 2, 34 \cdot 10^{- 3}$ , to:

$x = 0, 00234$
$x = 0, 0234$
$x = 234$
$x = 2340$

R13Li8FY7jMUe1

Ćwiczenie 3

Połącz w pary równoważne zapisy.

1234000

Możliwe odpowiedzi: 1.

1, 234 \cdot 10^{6}

, 2.

3, 5127 \cdot 10^{2}

, 3.

10^{- 3}

, 4.

3, 18 \cdot 10^{- 5}

, 5.

3, 4 \cdot 10^{- 4}

, 6.

2, 99 \cdot 10^{- 10}

351, 27

Możliwe odpowiedzi: 1.

1, 234 \cdot 10^{6}

, 2.

3, 5127 \cdot 10^{2}

, 3.

10^{- 3}

, 4.

3, 18 \cdot 10^{- 5}

, 5.

3, 4 \cdot 10^{- 4}

, 6.

2, 99 \cdot 10^{- 10}

0, 034

Możliwe odpowiedzi: 1.

1, 234 \cdot 10^{6}

, 2.

3, 5127 \cdot 10^{2}

, 3.

10^{- 3}

, 4.

3, 18 \cdot 10^{- 5}

, 5.

3, 4 \cdot 10^{- 4}

, 6.

2, 99 \cdot 10^{- 10}

0, 001

Możliwe odpowiedzi: 1.

1, 234 \cdot 10^{6}

, 2.

3, 5127 \cdot 10^{2}

, 3.

10^{- 3}

, 4.

3, 18 \cdot 10^{- 5}

, 5.

3, 4 \cdot 10^{- 4}

, 6.

2, 99 \cdot 10^{- 10}

0, 0000318

Możliwe odpowiedzi: 1.

1, 234 \cdot 10^{6}

, 2.

3, 5127 \cdot 10^{2}

, 3.

10^{- 3}

, 4.

3, 18 \cdot 10^{- 5}

, 5.

3, 4 \cdot 10^{- 4}

, 6.

2, 99 \cdot 10^{- 10}

0, 000000000299

Możliwe odpowiedzi: 1.

1, 234 \cdot 10^{6}

, 2.

3, 5127 \cdot 10^{2}

, 3.

10^{- 3}

, 4.

3, 18 \cdot 10^{- 5}

, 5.

3, 4 \cdot 10^{- 4}

, 6.

2, 99 \cdot 10^{- 10}

Połącz w pary równoważne zapisy.

$1234000$
$351, 27$
$0, 034$
$0, 001$
$0, 0000318$
$0, 000000000299$

RedPktPPObscO2

Ćwiczenie 4

Wskaż poprawne odpowiedzi.
Liczba $1000$ razy mniejsza od liczby $10^{- 3}$ to:

$0, 000001$
$10^{- 6}$
$0, 0000001$
$10^{- 300}$
$10^{6}$
$10^{- 1003}$

R15Vghhlnoaln2

Ćwiczenie 5

Wskaż liczby dodatnie:

${(- 3)}^{- 2}$
${(- 0, 7)}^{- 2}$
${(6 \frac{2}{3})}^{- 3}$
${(- 2)}^{- 3}$

REhd77nJUj9ww2

Ćwiczenie 6

Wpisz poprawną odpowiedź.

Liczbą całkowitą $k$ , dla której spełniona jest podwójna nierówność $0, 000001 < 1, 23 \cdot 10^{- k} < 0, 00001$ jest $k =$ .............

R1MvoUOSAsrPT2

Ćwiczenie 7

Wskaż poprawną odpowiedź.
$25 %$ liczby $128^{- 3}$ jest równe:

$2^{- 23}$
$32^{- 3}$
$0, 25^{11}$
$0, 5^{24}$

RaGPcAmiGFEgq2

Ćwiczenie 8

Wstaw poprawną odpowiedź.

$25^{- 2}$ , ${(0, 8)}^{8}$ , $5^{- 3}$ , ${(0, 8)}^{- 8}$

$4 %$ liczby $x^{- 2}$ to ${(0, 2)}^{- 4}$ . Wynika stąd, że $x =$ .............

Ćwiczenie 9

Ile razy trzeba dodać do siebie liczbę $27^{- 5}$ aby otrzymać $9^{- 2}$ ?

Ponieważ
$\frac{9^{- 2}}{27^{- 5}} = \frac{{(3^{2})}^{- 2}}{{(3^{3})}^{- 5}} = \frac{3^{- 2 \cdot 2}}{3^{- 5 \cdot 3}} = \frac{3^{- 4}}{3^{- 15}} = 3^{- 4 - (- 15)} = 3^{11} = 177147$ ,
więc liczba $9^{- 2}$ jest sumą $177147$ liczb $27^{- 5}$ .

$3^{11} = 177147$ razy.

Ćwiczenie 10

Masa elektronu to $9, 1 \cdot 10^{- 31} kg$ , a masa protonu to $1, 67 \cdot 10^{- 27} kg$ .
Słoń waży $5, 7 t$ , a gęś kanadyjska waży $3, 5 kg$ .
Oznaczmy stosunek masy protonu do masy elektronu przez $k$ , a stosunek masy słonia do masy gęsi kanadyjskiej przez $n$ . Która liczba jest większa: $k$ czy $n$ ?

Obliczamy, że:
$k = \frac{1, 67 \cdot 10^{- 27} kg}{9, 1 \cdot 10^{- 31} kg} = \frac{167 \cdot 10^{- 29}}{91 \cdot 10^{- 32}} = \frac{167}{91} \cdot 10^{3} = 1835, 16 \dots$
$n = \frac{5, 7 t}{3, 5 kg} = \frac{5, 7 \cdot 10^{3} kg}{3, 5 kg} = \frac{57}{35} \cdot 10^{3} = 1628, 57 \dots$
Zatem $k > n$ .

Proton od elektronu jest cięższy około $1835$ razy, a słoń jest cięższy od gęsi około $1629$ razy, stąd $k > n$ .

Ćwiczenie 11

Wykaż, że liczba
$x = \frac{31^{- 11} + 31^{- 10} + 31^{- 9} + 31^{- 8} + 31^{- 7} + 31^{- 6} + 31^{- 5} + 31^{- 4}}{(31^{- 2} + 31^{- 4}) \cdot (31^{- 4} + 31^{- 8})}$
jest całkowita.

Ponieważ
$x = \frac{31^{- 11} \cdot (1 + 31 + 31^{2} + 31^{3} + 31^{4} + 31^{5} + 31^{6} + 31^{7})}{31^{- 4} \cdot (31^{2} + 1) \cdot 31^{- 8} \cdot (31^{4} + 1)} =$
$= \frac{31^{- 11}}{31^{- 4} \cdot 31^{- 8}} \cdot \frac{1 + 31 + 31^{2} + 31^{3} + 31^{4} + 31^{5} + 31^{6} + 31^{7}}{(31^{2} + 1) \cdot (31^{4} + 1)} =$
$= 31^{- 11 + 4 + 8} \cdot \frac{(1 + 31^{2} + 31^{4} + 31^{6}) \cdot (31 + 1)}{(31^{6} + 31^{4} + 31^{2} + 1)} = 31^{1} \cdot (31 + 1) = 31 \cdot 32 = 992$ ,
więc $x$ jest liczbą całkowitą.

Ćwiczenie 12

Rozpatrzmy liczbę $t = \frac{5^{- 16} + 11^{- 16}}{5^{- 17} + 11^{- 17}}$ . Wykaż, że $t \in (5, 6)$ .

Najpierw wykażemy, że $t > 5$ .

Przekształcamy tę nierówność równoważnie.

$\frac{5^{- 16} + 11^{- 16}}{5^{- 17} + 11^{- 17}} > 5$
$5^{- 16} + 11^{- 16} > 5 \cdot (5^{- 17} + 11^{- 17})$
$5^{- 16} + 11^{- 16} > 5 \cdot 5^{- 17} + 5 \cdot 11^{- 17}$
$5^{- 16} + 11^{- 16} > 5^{- 16} + 5 \cdot 11^{- 17}$
$11^{- 16} > 5 \cdot 11^{- 17}$ ,
skąd po pomnożeniu stronami przez $11^{17}$ otrzymujemy prawdziwą nierówność $11 > 5$ . Zatem $t > 5$ .

Wykażemy z kolei, że $t < 6$ .

Tę nierówność także przekształcamy równoważnie.

$\frac{5^{- 16} + 11^{- 16}}{5^{- 17} + 11^{- 17}} < 6$
$5^{- 16} + 11^{- 16} < 6 \cdot (5^{- 17} + 11^{- 17})$
$11^{- 16} - 6 \cdot 11^{- 17} < 6 \cdot 5^{- 17} - 5^{- 16}$
$11^{- 17} \cdot (11 - 6) < 5^{- 17} \cdot (6 - 5)$
$\frac{5}{11^{17}} < \frac{1}{5^{17}}$
$5 < \frac{11^{17}}{5^{17}}$
${(\frac{11}{5})}^{17} > 5$ .

Zauważmy, że prawdziwe są nierówności
${(\frac{11}{5})}^{17} = {(2 \frac{1}{5})}^{17} > 2^{17} = 2^{3} \cdot 2^{14} > 2^{3} = 8 > 5$ ,
a więc ${(\frac{11}{5})}^{17} > 5$ . Wobec tego $t < 6$ .

W ten sposób dowód został zakończony.

Film edukacyjny

Dla nauczyciela