Sprawdź się

Pokaż ćwiczenia:

Ćwiczenie 1

Jakie równanie ma oś symetrii wykresu funkcji $f$ ?

RTsBdnlFYLUjM

Ilustracja przedstawia wykres funkcji kwadratowej w postaci paraboli o miejscach zerowych równych jeden i trzy oraz mającej wierzchołek w punkcie (2,-2).

R19fPIuYqgSKk

$y = - 2$
$x = 3$
$y = 0$
$x = 2$

RxJKU4eWWX6e51

Ćwiczenie 2

Wskaż wszystkie osie symetrii wykresu funkcji: $f (x) = 0, 3 x - 1$

$y = - 0, 3 x - 7$
$y = - 3 \frac{1}{3} x + 2$
$3 x + 10 y - 1 = 0$
$10 x + 3 y - 4 = 0$
$- 20 x - 6 y = 0$

RrVCQK4XymkSj1

Ćwiczenie 3

Wskaż prawidłową odpowiedź. Wykres funkcji $f (x) = \cos x$ dla $x \in "⟨"- \frac{π}{2}, \frac{5}{2} π"⟩"$ :

nie ma osi symetrii
ma $1$ oś symetrii
ma $2$ osie symetrii
ma nieskończenie wiele osi symetrii

Ćwiczenie 4

Na podstawie wykresu uzupełnij zdanie:

RVKbaKFeqn8Ou

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych. Zaznaczono na nim sinusoidę y=f(x)

RbhdFqzlzcD9i

$k \in ℤ$ , $f (x) = 2 \sin (x - \frac{π}{4})$ , $x = \frac{3 π}{4} + k π$ , $x = \frac{3 π}{4} + 2 k π$ , $f (x) = 2 \cos (x - \frac{π}{4})$ , $k \in ℕ$

Osie symetrii wykresu funkcji ........................ można opisać równaniem: ........................, gdzie .........................

R1PvLWq2dfb252

Ćwiczenie 5

Spośród podanych funkcji wybierz te, które nie mają osi symetrii, mają jedną oś symetrii lub mają nieskończenie wiele osi symetrii. Nie mają osi symetrii wykresy funkcji: Możliwe odpowiedzi: 1.

f (x) = - 2 x + 4

, 2.

f (x) = |2 |x - 2| - 1|

, 3.

f (x) = \frac{x^{3} + x}{x^{2} + 1}

, 4.

f (x) = tg x

, 5.

f (x) = |x + 5| - 7

, 6.

f (x) = (x - 4)

, 7.

f (x) = \sin (x - \frac{π}{2})

, 8.

f (x) = \frac{1}{2} {(x - 1)}^{2} + 2

, 9.

f (x) = 2^{x}

Jedną oś symetrii mają wykresy funkcji: Możliwe odpowiedzi: 1.

f (x) = - 2 x + 4

, 2.

f (x) = |2 |x - 2| - 1|

, 3.

f (x) = \frac{x^{3} + x}{x^{2} + 1}

, 4.

f (x) = tg x

, 5.

f (x) = |x + 5| - 7

, 6.

f (x) = (x - 4)

, 7.

f (x) = \sin (x - \frac{π}{2})

, 8.

f (x) = \frac{1}{2} {(x - 1)}^{2} + 2

, 9.

f (x) = 2^{x}

Nieskończenie wiele osi symetrii mają wykresy funkcji: Możliwe odpowiedzi: 1.

f (x) = - 2 x + 4

, 2.

f (x) = |2 |x - 2| - 1|

, 3.

f (x) = \frac{x^{3} + x}{x^{2} + 1}

, 4.

f (x) = tg x

, 5.

f (x) = |x + 5| - 7

, 6.

f (x) = (x - 4)

, 7.

f (x) = \sin (x - \frac{π}{2})

, 8.

f (x) = \frac{1}{2} {(x - 1)}^{2} + 2

, 9.

f (x) = 2^{x}

Spośród podanych funkcji wybierz te, które nie mają osi symetrii, mają jedną oś symetrii lub mają nieskończenie wiele osi symetrii.

Nie mają osi symetrii wykresy funkcji:
Jedną oś symetrii mają wykresy funkcji:
Nieskończenie wiele osi symetrii mają wykresy funkcji:

Ćwiczenie 6

Narysuj wykres funkcji $f (x) = {\begin{cases} x + 4 & x \in ⟨ - 2; 2 ⟩ \\ 2 {(x - p)}^{2} - 2 & x \in (2; 6) \\ a x + b & x \in ⟨ 6; 10 ⟩ \end{cases}$ , jeśli jej osią symetrii jest prosta o równaniu: $x = 4$ . Wyznacz współczynniki $a$ , $b$ i $p$ .

Jeśli prosta o równaniu: $x = 4$ jest osią symetrii wykresu funkcji $f$ , to jest również osią symetrii paraboli o równaniu $y = 2 {(x - p)}^{2} - 2$ , zatem $p = 4$ .

Zauważmy, że $f (- 2) = 2$ i $f (2) = 6$ , zatem, ze względu na symetrię względem prostej o równaniu $x = 4$ , $f (6) = 6$ i $f (10) = 2$ .

Wówczas:

$\begin{matrix} - \{\begin{cases} 6 = 6 a + b \\ 2 = 10 a + b \end{cases} \\ 4 = - 4 a \end{matrix}$

$a = - 1$

$6 = 6 \cdot (- 1) + b$

$b = 12$

Wykres tej funkcji wygląda następująco:

Rrg2O3NS6Cm10

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych. Zaznaczono na nim funkcję która jest rosnącą funkcją liniową w przedziale -2;2 następnie w przedziale 2;6 jest funkcją kwadratową, aby w przedziale 6;10 ponownie być funkcją liniową. Parabola ma wierzchołek o współrzędnych (4;-2). Prosta będąca osią symetrii przebiega przez punkt x=4.

Ćwiczenie 7

Napisz równanie paraboli, na której leżą punkty $A = (0, - 4)$ , $B = (- 1, - 1)$ i której oś symetrii ma równanie $x = 1$ .

Szukana parabola ma równanie $y = a x^{2} + b x + c$ , a oś symetrii ma równanie $x = - \frac{b}{2 a'}$ , czyli - $- \frac{b}{2 a} = 1$ .

Współczynniki $a$ , $b$ , $c$ obliczymy, rozwiązując układ równań:

$\{\begin{cases} - \frac{b}{2 a} = 1 \\ - 4 = c \\ - 1 = a - b + c \end{cases}$ , co daje: $\{\begin{cases} b = - 2 \\ c = - 4 \\ a = 1 \end{cases}$

Szukana parabola ma więc równanie $y = x^{2} - 2 x - 4$ .

Ćwiczenie 8

Do wykresu funkcji kwadratowej $f$ o osi symetrii $x = 4$ należy punkt przecięcia prostych o równaniach $5 x - 2 y - 10 = 0$ i $3 x + 2 y + 2 = 0$ . Wyznacz jej wzór, jeśli zbiorem wartości jest przedział $(- \infty; 2⟩$ .

Wyznaczymy punkt przecięcia danych prostych:

$\begin{matrix} + \{\begin{cases} 5 x - 2 y - 10 = 0 \\ \underline{3 x + 2 y + 2 = 0} \end{cases} \\ 8 x - 8 = 0 \end{matrix}$

$x = 1$

$5 \cdot 1 - 2 y - 10 = 0$

$y = - \frac{5}{2}$

Zatem: $P = (1; - \frac{5}{2})$

Ponieważ osią symetrii paraboli będącej wykresem funkcji $f$ jest prosta o równaniu $x = 4$ , a $Z W = (- \infty; 2 ⟩$ , to $p = 4$ i $q = 2$ . Wobec tego funkcja $f$ jest opisana wzorem:

$f (x) = a {(x - 4)}^{2} + 2$

Punkt $P$ należy do paraboli, więc:

$- \frac{5}{2} = a \cdot {(1 - 4)}^{2} + 2$

co daje:

$a = - \frac{1}{2}$

Funkcja jest zatem opisana wzorem: $f (x) = - \frac{1}{2} {(x - 4)}^{2} + 2$

Aplet

Dla nauczyciela